期末复习：平抛运动中速度与位移的计算、平抛运动中的临界问题 专项训练-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

**基本信息** 聚焦平抛运动两类核心问题，以四步解题法和临界条件分析为框架，构建从基础计算到综合应用的系统性训练体系，培养运动与相互作用观念及科学推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |速度与位移计算|3例+3变式|运动分解→时间突破→分运动计算→合成运算|基于运动独立性原理，从分运动规律到合运动合成，形成“分解-求解-合成”完整逻辑链| |临界问题|3例+3变式|临界条件判断（相切/边界/极值）→几何关系转化→分运动方程联立|以基础计算为前提，通过临界状态分析实现知识迁移，培养模型建构与多情境问题解决能力|

期末复习：平抛运动中速度与位移的计算、平抛运动中的临界问题专项训练 期末复习：平抛运动中速度与位移的计算、平抛运动中的临界问题专项训练 考点目录 平抛运动中速度与位移的计算 平抛运动中的临界问题 考点一 平抛运动中速度与位移的计算 解题思路点拨 1. 运动分解：始终拆为水平、竖直两个独立分运动。 1. 找运动时间：优先由竖直方向下落高度、竖直分速度求（解题突破口）。 1. 分运动计算：用依次求水平位移、竖直位移、两分速度。 1. 合成运算：勾股定理求合位移、合速度；三角函数求偏角。 例1．（25-26高一下·山东济南·期中）国内首条口岸区域无人机配送航线在深圳开航，利用无人机进行快递配送的目的主要在于解决偏远地区的配送问题，提高配送效率。如图所示，无人机悬停在距水平地面3.2m高度处，某时刻以的加速度水平向右飞行，经过释放一包裹。已知重力加速度，不计空气阻力。求： (1)包裹落地时的速度大小； (2)包裹落地点与悬停点之间的水平距离。 例2．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）以的速度水平抛出一石子，石子落地时速度方向与抛出时速度方向成角，不计空气阻力，那么；； (1)石子落地时速度多大？ (2)石子抛出点与落地点的高度差是多少？ (3)石子抛出点与落地点的水平距离？ 例3．（25-26高一下·河南郑州·期中）如图甲所示，一同学站在靶心的正前方，面朝倾斜靶纸抛球，其简化模型如图乙。靶纸紧贴在倾角的倾斜支架上，支架固定在水平地面上，接触点为点。该同学在点水平向右抛出小球，点离地高度，与点的水平距离。若小球只在图乙所示竖直面内运动，视为质点，不计小球受到的空气阻力和靶纸厚度，重力加速度g取。 (1)小球抛出时初速度，分析小球是落在水平地面上还是靶纸上，并求出对应落点的末速度大小； (2)若小球抛出时初速度为，求小球下落高度。 变式1．（25-26高一下·河南·期中）如图1所示，倾角为的足够长传送带以速度顺时针匀速运行。在传送带的左上方将一物块（视为质点）以水平向右的初速度抛出，经过一段时间物块落到传送带左端，速度正好沿着传送带。设物块落到传送带上后运动的位移为时，物块的速度为，关系图像如图2所示，已知重力加速度为，，。求： (1)物块平抛运动的初速度大小以及物块刚落到传送带上时的速度大小； (2)物块与传送带间的动摩擦因数。 变式2．（25-26高一下·广东汕尾·期中）风洞被称为飞行器的摇篮，我国的风洞技术在世界处于领先地位。如图所示，在一次实验中，风洞竖直放置且足够长，质量为的小球从点以速度沿直径水平进入风洞。小球在风洞中运动时受到的风力方向竖直向上，大小可调节。小球可视作质点，碰壁后不反弹，重力加速度取，风洞横截面直径。 (1)当时，小球从进入到撞击右壁所用时间； (2)保持不变，当时，求： ①小球撞击右壁时，竖直方向下落的高度H； ②撞击右壁时速度的大小和方向。 变式3．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）滑板运动深受青少年的喜爱。如图所示，左侧是一个水平平台，在平台右侧有一倾角为的滑道。一可视为质点的滑板运动员从平台边缘点以的速度水平飞出，恰从点沿倾斜滑道方向进入倾斜滑道，经过一段时间到达点。已知、间的距离为，重力加速度取，，，不计空气阻力，不计滑板与倾斜滑道间的摩擦，求： (1)、两点间的竖直距离； (2)滑板运动员到达点时的速度大小。 考点二 平抛运动中的临界问题 解题思路点拨 1. 找准临界条件（核心） · 擦过挡板/边界：轨迹与边界相切，或落点刚好在边界端点； · 落到斜面：位移沿斜面方向； · 刚好落地：竖直下落高度等于竖直边界高度。 1. 结合分解规律，把临界几何关系转化为分运动的位移、速度关系。 1. 利用竖直方向求时间，再联立水平方向公式列方程。 1. 极值类问题：结合几何关系、函数最值求解最大/最小初速度、射程。 1. 多临界组合问题：分段分析，逐个判断临界状态再列式计算。 例1．（25-26高一下·广东汕尾·期中）冲关节目是一种户外娱乐健康游戏，如图甲所示为参赛者遇到的一个关卡。一个半径为R的圆盘浮在水面上，圆盘表面保持水平且与水平跑道的高度差，M为圆盘边缘上一点。某时刻，参赛者从跑道上边缘P点以初速度水平向右跳出，初速度的方向与圆盘半径OM在同一竖直平面内。已知圆盘的圆心与P点之间的水平距离为，圆盘半径，重力加速度取，不计空气阻力。求： (1)参赛者从P点跳出至落至圆盘经历的时间t； (2)参赛者要落在圆盘上，的范围； (3)若转盘边缘间隔均匀地固定有6个相同障碍桩（桩高度大于），如图乙所示。障碍桩及桩和桩之间的间隔对应的圆心角均相等，俯视图如图丙。某参赛者（可视为质点）从平台边缘P点，以水平速度沿PO方向跳离平台的同时，圆盘绕圆心O以角速度从丙图所示位置开始逆时针匀速转动。要使参赛者不碰到障碍桩落到圆盘上，求圆盘转动的角速度ω（只考虑圆盘转动一周内的情况）。不计桩的厚度，结果可以保留π。 例2．（25-26高一下·广东·期中）跑酷运动员常借助墙面间的反复跳跃来完成速降，简化过程如下：如图，水平地面左侧有一高度为8h的竖直平台，右侧有一足够高的竖直挡板AB（挡板AB和平台右侧面平行且B点位于地面上），一质量为m的小球（视为质点）从平台的边缘O点以初速度水平抛出，恰好落在B点且落地前小球和平台右侧面、挡板AB没有发生碰撞。已知小球与挡板AB或平台右侧面碰撞时，水平方向速度大小不变、方向反向，竖直方向速度不变，重力加速度大小为g，不计空气阻力，求： (1)挡板AB和平台右侧面间的水平距离； (2)其他条件不变，水平移动挡板AB，使小球和挡板AB只发生1次碰撞后落在平台右侧面与竖直挡板正中间的地面上，则挡板AB和平台右侧面间的水平距离可能为多少？ (3)水平移动挡板AB，使挡板AB和平台右侧面间的水平距离为h，改变小球水平抛出的初速度大小，小球与平台右侧面、挡板AB共发生5次碰撞后，落在地面上，则改变后，小球初速度的取值范围为多少？ 例3．（25-26高一下·陕西西安·阶段检测）一种新型智能网球发球机可将网球从发球口沿水平面内任意方向击出，供运动员进行日常训练。如图所示，运动员将发球机置于网球场左侧底线AB的中点G处，发球口在G点正上方高度为2h的H点。球网两侧球场ABCF与FCDE均为边长l的正方形，I为DE中点，球网高度为h，网球可视为质点，不计空气阻力，重力加速度大小为g。 (1)若网球水平击出后恰好垂直击中球网，求发球速度v0与运动时间t。 (2)若发球方向可在水平面内任意调节，求能越过球网的最小初速度，以及能落在右侧球场内的最大初速度。 变式1．（25-26高一下·浙江·期中）如图所示，水平屋顶高，围墙高，围墙外马路宽。已知小球飞离屋顶的速度，为使小球恰好碰到围墙上边沿落在马路上，取， (1)小球运动到围墙上边沿所用时间t； (2)围墙到房子的水平距离L； (3)小球落在马路上的速度大小。 变式2．（25-26高一上·浙江温州·期末）如图所示，某鱼塘养殖区沿水平方向依次排列着4个方形网箱（编号1至4）。所有网箱宽度均为，左右边沿均与水面平齐。养殖区左岸的自动投料机投料口位于网箱1左边沿正上方，离水面高度。鱼饵（视为质点）从投料口以初速度水平射出，忽略空气阻力，求： (1)当时，鱼饵在空中运动的总时间和落入网箱的编号； (2)当时，为使鱼饵落入网箱4，所有网箱需同步抬起的最小高度； (3)使鱼饵落入网箱4的初速度的取值范围。 变式3．（24-25高一下·福建泉州·期中）如图所示，从一高楼顶部向一较低的平台水平抛射物品（可视为质点），已知抛出点P和平台上Q点的连线与水平方向夹角为，P、Q连线的长度为，M为P、Q连线上的一点，重力加速度，忽略空气阻力，，。 (1)某次水平抛射，物品恰好落在Q点，求物品水平抛射初速度的大小； (2)某次水平抛射速度不够大，物品经过M点，求此时物品速度的方向与水平方向间夹角的正切值； (3)在（1）问中的情况下，求物品离PQ连线的最远距离。 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：平抛运动中速度与位移的计算、平抛运动中的临界问题专项训练 期末复习：平抛运动中速度与位移的计算、平抛运动中的临界问题专项训练 考点目录 平抛运动中速度与位移的计算 平抛运动中的临界问题 考点一 平抛运动中速度与位移的计算 解题思路点拨 1. 运动分解：始终拆为水平、竖直两个独立分运动。 1. 找运动时间：优先由竖直方向下落高度、竖直分速度求（解题突破口）。 1. 分运动计算：用依次求水平位移、竖直位移、两分速度。 1. 合成运算：勾股定理求合位移、合速度；三角函数求偏角。 例1．（25-26高一下·山东济南·期中）国内首条口岸区域无人机配送航线在深圳开航，利用无人机进行快递配送的目的主要在于解决偏远地区的配送问题，提高配送效率。如图所示，无人机悬停在距水平地面3.2m高度处，某时刻以的加速度水平向右飞行，经过释放一包裹。已知重力加速度，不计空气阻力。求： (1)包裹落地时的速度大小； (2)包裹落地点与悬停点之间的水平距离。 【答案】(1)10m/s (2)13.8m 【详解】（1）包裹释放时的速度为 落地时，竖直方向的速度满足 落地的速度为 解得 （2）水平加速度位移为 根据平抛运动规律有， 解得 例2．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）以的速度水平抛出一石子，石子落地时速度方向与抛出时速度方向成角，不计空气阻力，那么；； (1)石子落地时速度多大？ (2)石子抛出点与落地点的高度差是多少？ (3)石子抛出点与落地点的水平距离？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设物体落地前瞬间的速度大小为v，初速度为，则 解得 （2）设石子平抛运动的过程中，竖直方向的位移为h，落地时速度的竖直分量为 有 解得 （3）在竖直方向上有 解得 石子抛出点与落地点的水平距离 例3．（25-26高一下·河南郑州·期中）如图甲所示，一同学站在靶心的正前方，面朝倾斜靶纸抛球，其简化模型如图乙。靶纸紧贴在倾角的倾斜支架上，支架固定在水平地面上，接触点为点。该同学在点水平向右抛出小球，点离地高度，与点的水平距离。若小球只在图乙所示竖直面内运动，视为质点，不计小球受到的空气阻力和靶纸厚度，重力加速度g取。 (1)小球抛出时初速度，分析小球是落在水平地面上还是靶纸上，并求出对应落点的末速度大小； (2)若小球抛出时初速度为，求小球下落高度。 【答案】(1)落在水平地面上， (2) 【详解】（1）若小球能下降的高度为H，则有 可解得时间 此种情况下小球水平方向的位移大小为 经过比较可知，所以小球会落在平面上，小球落地前瞬间竖直方向速度为 落地时的末速度为 （2）若小球的抛出速度为，小球会打在倾斜靶上，竖直方向上有 水平方向上有 由于倾斜靶与平面的角度为45°，可以写出几何关系 代入数据后可解得 变式1．（25-26高一下·河南·期中）如图1所示，倾角为的足够长传送带以速度顺时针匀速运行。在传送带的左上方将一物块（视为质点）以水平向右的初速度抛出，经过一段时间物块落到传送带左端，速度正好沿着传送带。设物块落到传送带上后运动的位移为时，物块的速度为，关系图像如图2所示，已知重力加速度为，，。求： (1)物块平抛运动的初速度大小以及物块刚落到传送带上时的速度大小； (2)物块与传送带间的动摩擦因数。 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设物块的初速度以及刚到达传送带上的速度分别为、，把分别沿着水平和竖直方向分解，则有 结合 联立解得， （2）对物块受力分析，物块在传送带上运动的第一段过程 由牛顿第二定律可得 由速度位移关系式可得 结合 解得 变式2．（25-26高一下·广东汕尾·期中）风洞被称为飞行器的摇篮，我国的风洞技术在世界处于领先地位。如图所示，在一次实验中，风洞竖直放置且足够长，质量为的小球从点以速度沿直径水平进入风洞。小球在风洞中运动时受到的风力方向竖直向上，大小可调节。小球可视作质点，碰壁后不反弹，重力加速度取，风洞横截面直径。 (1)当时，小球从进入到撞击右壁所用时间； (2)保持不变，当时，求： ①小球撞击右壁时，竖直方向下落的高度H； ②撞击右壁时速度的大小和方向。 【答案】(1)1s (2)①5m；②，速度与水平方向夹角为45° 【详解】（1）当时，小球从进入到撞击右壁，做匀速直线运动           解得 （2）①当时，小球做平抛运动，竖直方向的分位移            解得             ②竖直分速度为           小球撞击右壁的速度大小          令速度与水平方向夹角为，则有               又 解得 变式3．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）滑板运动深受青少年的喜爱。如图所示，左侧是一个水平平台，在平台右侧有一倾角为的滑道。一可视为质点的滑板运动员从平台边缘点以的速度水平飞出，恰从点沿倾斜滑道方向进入倾斜滑道，经过一段时间到达点。已知、间的距离为，重力加速度取，，，不计空气阻力，不计滑板与倾斜滑道间的摩擦，求： (1)、两点间的竖直距离； (2)滑板运动员到达点时的速度大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）滑板运动员从点运动到点做平抛运动，有，     由几何关系得     联立各式得 （2）由几何关系得     滑板运动员在倾斜滑道上运动时的加速度为     由匀变速直线运动规律得     代入数据得 考点二 平抛运动中的临界问题 解题思路点拨 1. 找准临界条件（核心） · 擦过挡板/边界：轨迹与边界相切，或落点刚好在边界端点； · 落到斜面：位移沿斜面方向； · 刚好落地：竖直下落高度等于竖直边界高度。 1. 结合分解规律，把临界几何关系转化为分运动的位移、速度关系。 1. 利用竖直方向求时间，再联立水平方向公式列方程。 1. 极值类问题：结合几何关系、函数最值求解最大/最小初速度、射程。 1. 多临界组合问题：分段分析，逐个判断临界状态再列式计算。 例1．（25-26高一下·广东汕尾·期中）冲关节目是一种户外娱乐健康游戏，如图甲所示为参赛者遇到的一个关卡。一个半径为R的圆盘浮在水面上，圆盘表面保持水平且与水平跑道的高度差，M为圆盘边缘上一点。某时刻，参赛者从跑道上边缘P点以初速度水平向右跳出，初速度的方向与圆盘半径OM在同一竖直平面内。已知圆盘的圆心与P点之间的水平距离为，圆盘半径，重力加速度取，不计空气阻力。求： (1)参赛者从P点跳出至落至圆盘经历的时间t； (2)参赛者要落在圆盘上，的范围； (3)若转盘边缘间隔均匀地固定有6个相同障碍桩（桩高度大于），如图乙所示。障碍桩及桩和桩之间的间隔对应的圆心角均相等，俯视图如图丙。某参赛者（可视为质点）从平台边缘P点，以水平速度沿PO方向跳离平台的同时，圆盘绕圆心O以角速度从丙图所示位置开始逆时针匀速转动。要使参赛者不碰到障碍桩落到圆盘上，求圆盘转动的角速度ω（只考虑圆盘转动一周内的情况）。不计桩的厚度，结果可以保留π。 【答案】(1) (2) (3)（） 【详解】（1）参赛者从P点运动到M点做平抛运动，竖直方向有          代入数据解得             （2）参赛者要能落在圆盘上，最小时恰好落在圆盘左侧边缘，由水平方向参赛者做匀速直线运动可得           代入数据可得               参赛者要能落在圆盘上，最大时恰好落在圆盘右侧边缘，由水平方向参赛者做匀速直线运动可得             代入数据可得：        所以的范围为            （3）要使参赛者不碰到障碍桩落到圆盘上，在一周内，必须满足          解得            圆盘转动周期        而t的可能取值为，，，，， 即满足，（） 解得，（） 例2．（25-26高一下·广东·期中）跑酷运动员常借助墙面间的反复跳跃来完成速降，简化过程如下：如图，水平地面左侧有一高度为8h的竖直平台，右侧有一足够高的竖直挡板AB（挡板AB和平台右侧面平行且B点位于地面上），一质量为m的小球（视为质点）从平台的边缘O点以初速度水平抛出，恰好落在B点且落地前小球和平台右侧面、挡板AB没有发生碰撞。已知小球与挡板AB或平台右侧面碰撞时，水平方向速度大小不变、方向反向，竖直方向速度不变，重力加速度大小为g，不计空气阻力，求： (1)挡板AB和平台右侧面间的水平距离； (2)其他条件不变，水平移动挡板AB，使小球和挡板AB只发生1次碰撞后落在平台右侧面与竖直挡板正中间的地面上，则挡板AB和平台右侧面间的水平距离可能为多少？ (3)水平移动挡板AB，使挡板AB和平台右侧面间的水平距离为h，改变小球水平抛出的初速度大小，小球与平台右侧面、挡板AB共发生5次碰撞后，落在地面上，则改变后，小球初速度的取值范围为多少？ 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）小球抛出后做平抛运动竖直方向上， 水平方向上， 解得 （2）小球与挡板AB或平台右侧面碰撞时，水平方向速度大小不变、方向反向，竖直方向速度不变 小球运动的总时间 若小球只与挡板AB碰撞1次，不与平台右侧面碰撞，如图甲，根据对称性 结合 解得 若小球与挡板AB、平台右侧面各碰1次，如图乙，根据对称性 ，结合 解得 （3）小球运动的总时间 经过5次碰撞后，落在地面上在水平方向上，由几何关系， 解得 例3．（25-26高一下·陕西西安·阶段检测）一种新型智能网球发球机可将网球从发球口沿水平面内任意方向击出，供运动员进行日常训练。如图所示，运动员将发球机置于网球场左侧底线AB的中点G处，发球口在G点正上方高度为2h的H点。球网两侧球场ABCF与FCDE均为边长l的正方形，I为DE中点，球网高度为h，网球可视为质点，不计空气阻力，重力加速度大小为g。 (1)若网球水平击出后恰好垂直击中球网，求发球速度v0与运动时间t。 (2)若发球方向可在水平面内任意调节，求能越过球网的最小初速度，以及能落在右侧球场内的最大初速度。 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）网球水平击出后恰好垂直击中球网，则竖直方向下落高度 且有 解得 水平方向有 解得 （2）恰好过网有， 解得 恰好落底线有 右侧球场内离G最远点为D或E顶点，G到该点的水平距离 且有 解得 变式1．（25-26高一下·浙江·期中）如图所示，水平屋顶高，围墙高，围墙外马路宽。已知小球飞离屋顶的速度，为使小球恰好碰到围墙上边沿落在马路上，取， (1)小球运动到围墙上边沿所用时间t； (2)围墙到房子的水平距离L； (3)小球落在马路上的速度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球在竖直方向有 代入数据，解得 （2）围墙到房子的水平距离 （3）小球在竖直方向有 解得 落地时竖直方向速度大小 因此小球落在马路上的速度大小 变式2．（25-26高一上·浙江温州·期末）如图所示，某鱼塘养殖区沿水平方向依次排列着4个方形网箱（编号1至4）。所有网箱宽度均为，左右边沿均与水面平齐。养殖区左岸的自动投料机投料口位于网箱1左边沿正上方，离水面高度。鱼饵（视为质点）从投料口以初速度水平射出，忽略空气阻力，求： (1)当时，鱼饵在空中运动的总时间和落入网箱的编号； (2)当时，为使鱼饵落入网箱4，所有网箱需同步抬起的最小高度； (3)使鱼饵落入网箱4的初速度的取值范围。 【答案】(1)，鱼饵落入网箱2 (2) (3) 【详解】（1）当时，由 得， 故鱼饵落入网箱2 （2）当时，由于，因此落在网箱4右边界，有 解得 竖直方向 解得： （3）平抛的水平距离在之间，有 解得 变式3．（24-25高一下·福建泉州·期中）如图所示，从一高楼顶部向一较低的平台水平抛射物品（可视为质点），已知抛出点P和平台上Q点的连线与水平方向夹角为，P、Q连线的长度为，M为P、Q连线上的一点，重力加速度，忽略空气阻力，，。 (1)某次水平抛射，物品恰好落在Q点，求物品水平抛射初速度的大小； (2)某次水平抛射速度不够大，物品经过M点，求此时物品速度的方向与水平方向间夹角的正切值； (3)在（1）问中的情况下，求物品离PQ连线的最远距离。 【答案】(1)7.5m/s (2) (3)3m 【详解】（1）由平抛运动规律有， 代入数据联立解得， （2）设物品经过点时速度的方向与水平方向间夹角为，则有 竖直方向位移与水平方向位移夹角的正切值为 故 （3）将初速度与重力加速度分别沿方向和垂直方向进行分解，则物品在垂直方向先做匀减速运动，则当此方向的分速度减为0时，距离最远，则有垂直方向向上的分初速度大小为 垂直方向向下的分加速度大小为 则最远距离为 2 学科网（北京）股份有限公司 $