期末复习：空壳内与地表下的万有引力、计算中心天体的质量与密度 专项训练-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

**基本信息** 聚焦万有引力两大核心模块，通过结构化解题思路与梯度化典例设计，系统构建模型建构与科学推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空壳内与地表下的万有引力|3例+3变式|薄壳引力特性（壳内为0/壳外质点）、地下深度质量取舍法、重力加速度比较模型|从理想球壳模型建构到复杂挖空问题应用，形成"模型→公式→变式"推理链条| |计算中心天体的质量与密度|3例+3变式|黄金代换法、卫星参数向心力公式选择、密度公式整合（含近地卫星简化）|从地表重力与万有引力等效（黄金代换）到卫星运动参数应用，构建"已知条件→公式选择→结果计算"逻辑链|

期末复习：空壳内与地表下的万有引力、计算中心天体的质量与密度专项训练 期末复习：空壳内与地表下的万有引力、计算中心天体的质量与密度专项训练 考点目录 空壳内与地表下的万有引力 计算中心天体的质量与密度 考点一 空壳内与地表下的万有引力 解题思路点拨 1. 薄壳问题：在壳内→壳引力为0；壳外→按质点万有引力公式； 1. 地下深度问题：舍去外围球壳，只用内部实心小球质量列式； 1. 比较重力加速度：地表、地下、高空。 例1．（25-26高一下·山东滨州·期中）如图甲所示，质量分布均匀的大球质量为M、球心为O、半径为R，从大球中挖去一个半径为的小球，大、小球表面相切于A点，B点为小球球心。将质量为m的小物体（可视为质点）置于A点，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。如图乙所示，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方有一半径为R的球形“防空掩体”空腔区域。假定区域周围岩石均匀分布，密度为。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离。重力加速度在原竖直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫作重力加速度反常。已知球形“防空掩体”空腔的体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），，引力常量为G。 (1)①求图甲大球剩余部分对质量为m的小物体的引力大小； ②图甲，将质量为m的小物体移动到B点时，求大球剩余部分对小物体的引力大小； (2)求图乙“防空掩体”空腔引起的Q点的重力加速度反常的大小。 【答案】(1)①；② (2) 【详解】（1）①大球的质量为M，设挖去小球的质量为，则， 则 大球对A点小物体的引力 小球单独存在时对A点小物体的引力 则挖去小球后，大球剩余部分对A点小物体的引力 解得 ②质量分布均匀的球壳对内部物体的引力为零；大球对B点小物体的引力相当于球心在O、半径为的球体对B点小物体的引力，即 由①可知 又因为小物体位于挖去小球的球心处，质量分布均匀的小球对其球心处小物体的引力为零，即 则 （2）如果将球形“防空掩体”空腔区域填满相同密度的岩石，则Q点重力加速度将回归正常值，因此该处重力加速度反常可通过填充后的球形区域附加引力计算，若在Q点放置一质量为的质点，则该附加引力 根据牛顿第二定律，“防空掩体”空腔引起的重力加速度变化满足 其中 则，方向沿OQ连线指向地面外侧； 因此Q处重力加速度反常大小为 其中 解得 方向竖直向上。 例2．（25-26高一下·山东滨州·期中）如图甲所示，质量分布均匀的大球质量为M、球心为O、半径为R，从大球中挖去一个半径为的小球，大、小球表面相切于A点，B点为小球球心。将质量为m的小物体（可视为质点）置于A点。如图乙所示，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方有一半径为R的球形“防空掩体”空腔区域。假定区域周围岩石均匀分布，密度为ρ。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离。重力加速度在原竖直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫作重力加速度反常。已知球形“防空掩体”空腔的体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），，引力常量为G。求： (1)图甲大球剩余部分对质量为m的小物体的引力大小； (2)图乙“防空掩体”空腔引起的Q点的重力加速度反常的大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）大球的质量为M，设挖去小球的质量为，则， 可得 大球对A点小物体的引力 小球单独存在时对A点小物体的引力 则挖去小球后，大球剩余部分对A点小物体的引力 解得 （2）如果将球形“防空掩体”空腔区域填满相同密度的岩石，则Q点重力加速度将回归正常值，因此该处重力加速度反常可通过填充后的球形区域附加引力计算； 若在Q点放置一质量为的质点，则该附加引力 根据牛顿第二定律，“防空掩体”空腔引起的重力加速度变化满足 其中 则 方向沿OQ连线指向地面外侧； 因此Q处重力加速度反常大小为 其中 解得 方向竖直向上。 例3．（25-26高一下·安徽·期中）如图所示，某同学设计了一条贯通地球的弦线隧道：质量为的小球从入口的点由静止开始穿过隧道到达另一端的点，为隧道的中点，与地心的距离为，地球可看作半径为、质量为的均匀球体，已知质量分布均匀的球壳对球壳内物体引力为零，引力常量为，不计一切阻力，忽略地球自转的影响，试求： (1)小球从点进入隧道瞬间的加速度大小； (2)小球经过隧道中点时所受的支持力大小； (3)点是隧道中到的距离为的一点，试求小球经过点时的加速度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）点处，引力垂直隧道方向的分力与支持力平衡，引力在沿隧道方向的分力提供加速度，根据牛顿第二定律得：    解得： （2）小球经过隧道中点时，所受的支持力与万有引力平衡，根据平衡条件有：    地球看作均匀球体有：    解得： （3）由（1）（2）同理可知，小球在点所受合力为万有引力在沿轨道方向的分力，设点到地球球心距离为，根据牛顿第二定律有：    地球看作均匀球体有： 解得： 变式1．（25-26高一下·北京石景山·期中）用相同材料做成的半径分别为R和r的两个实心球体，，如图所示，半径为R的大球质量为M、球心为O，半径为r的小球球心为，引力常数为G。 (1)质量为m的小物体（可视为质点）位于两球连线上一点，距O点2R，距点1.5R，求两球对小物体万有引力的合力的大小； (2)去掉小球，同时从大球中挖去一个半径为r的小球，求大球剩余部分对小物体的引力大小； (3)已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。将小物体移动到挖去小球的球心位置时，求大球剩余部分对小物体的引力大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题图可知小球半径，因材料相同，密度相等，小球质量 大球对小物体m的万有引力 方向指向大球球心O。小球对小物体m的万有引力 方向指向小球球心。由于两力方向相反，合力大小 （2）采用割补法，剩余部分引力等于完整大球引力减去挖去部分引力。由图可知，挖去的小球与大球内切于右侧且过球心O，故挖去小球球心距O点距离为 小物体m距O点2R，则距挖去小球球心距离 完整大球对m的引力 挖去部分质量，对m的引力 两力方向均指向左侧，故剩余部分引力大小 （3）小物体m移动到挖去小球的球心位置，即距大球球心O距离为处。此时m位于大球内部。根据球壳定理, 质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。完整大球对m的引力等效于半径为的内部球体产生的引力。该内部球体质量 完整大球对m的引力 挖去的小球球心即为m所在位置，均匀球体对球心处质点引力为零，即挖去的小球对m的引力 故剩余部分对m的引力大小 变式2．（25-26高一下·北京丰台·期中）开普勒以全部精力整理第谷的观测数据，经过16年坚持不懈的分析和计算，终于发现了行星运动的三个定律。 (1)牛顿在开普勒行星运动定律的基础上得出了万有引力定律。若已知地球质量为M，地球半径为R，某卫星的质量为m，距离地面高度为h，求地球对该卫星的引力F； (2)开普勒第二定律指出：行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。已知某行星在近日点与太阳中心的距离为r1，线速度大小为v1 ；在远日点与太阳中心的距离为r2，线速度大小为v2，请根据开普勒第二定律推导v1和v2的比值； (3)将行星绕太阳运行的轨道简化为圆轨道，开普勒第三定律可简化为：所有行星绕太阳运动轨道半径r的三次方跟它公转周期T的二次方的比值都相等，即。此规律也适用于卫星绕地球的运动，即 ，请分析说明k卫与k是否相等。 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）根据万有引力定律 （2）根据开普勒第二定律，行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 化简可得，即 （3）卫星围绕地球做匀速圆周运动 解得 行星绕太阳做匀速圆周运动 解得    联立可得，所以k卫与k不相等 变式3．（25-26高一下·河南濮阳·阶段检测）已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，设地球是一个质量分布均匀的球体，其质量为M，半径为R，设想以地心为圆心，r（r<R）为半径处挖一条圆形隧道，如图所示，给小球一合适的速度，使小球恰好在隧道内做圆周运动，且不与隧道壁接触，不考虑隧道宽度与阻力，小球可视为质点，引力常量为G。求： (1)轨道处重力加速度大小； (2)小球线速度的大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意，均匀球壳对壳内物体引力为零，因此小球所在位置，只有半径为的内部球体对小球产生引力作用，地球的密度为 半径的内部球体质量 对轨道处质量为的物体，引力等于重力，得 代入，化简得 （2）小球做圆周运动，重力提供向心力，有 将代入，化简得 考点二 计算中心天体的质量与密度 解题思路点拨 1. 已知天体表面、半径：用黄金代换求； 1. 已知卫星轨道、周期/线速度/角速度：选对应向心力公式求中心天体； > 注意：只能求中心天体质量，不能求环绕天体质量 1. 求密度：算出后代入；近地卫星直接用； 1. 区分：天体自身半径，卫星轨道半径。 例1．（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知中国空间站质量为，绕地球运行的周期为，地球半径为，地球表面重力加速度为，引力常量为，忽略地球自转影响。求： (1)地球的质量； (2)空间站到地球表面的距离。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）忽略地球自转影响，地球表面任意物体的重力等于地球对它的万有引力，有 解得 （2）空间站绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有 解得 例2．（25-26高一下·宁夏吴忠·期中）一颗人造卫星A绕地心做匀速圆周运动。已知地球的半径为R，人造卫星距地面的高度为h，绕地球运动的周期为T，万有引力常量为G。求： (1)地球的质量； (2)地球的密度。 【答案】(1) ； (2) 【详解】（1）设地球的质量为M，卫星A的质量为，卫星A的万有引力提供向心力，有 则地球的质量 （2）地球可视为球体，体积为 ，根据密度定义 将地球质量代入化简得 例3．（25-26高一下·北京西城·期中）1798年，英国物理学家卡文迪什通过实验测定了引力常量G的值，他还把自己的实验说成是“称量地球的重量”。由于地面的重力加速度g和地球半径R在测定G值之前就已知道，一旦测得引力常量G，就可以算出地球的质量M。他的计算思路是：若不考虑地球自转的影响，地面上物体所受的重力近似等于地球对物体的万有引力。 (1)请写出卡文迪什计算地球质量的过程； (2)若已知球体积公式为，写出计算地球平均密度ρ的过程。 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）忽略地球自转，根据万有引力与重力的关系 可得 （2）地球平均密度为 变式1．（25-26高一下·福建莆田·期中）在“天问一号”火星探测器在登陆火星前，天问一号”在距火星表面高度为h的轨道上绕火星做匀速圆周运动，周期为T。已知火星的半径为R，引力常量为G，忽略其他天体对探测器的引力作用，求： (1)探测器绕火星做匀速圆周运动的半径r和线速度大小v； (2)火星的质量M； 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）探测器绕火星做匀速圆周运动的半径 根据线速度与周期关系可得探测器绕火星做匀速圆周运动的线速度大小 （2）根据万有引力提供向心力可得 解得火星的质量 变式2．（25-26高一下·浙江·期中）如图所示一个水平转盘装置可绕着中心轴旋转，转盘上有一质量为m的物块放在距离转轴r处，随着转盘一起做匀速圆周运动，已知物块与转盘之间的动摩擦因数为μ。若该装置在地面上以某一角速度转动时，物块恰好发生滑动。重力加速度为g，万有引力常数为G。最大静摩擦等于滑动摩擦力。求： (1)转盘装置转动的角速度大小ω； (2)物块的线速度大小v； (3)若把该装置放到另一个半径为R的星球上，物块也恰好发生滑动时，转盘转动的角速度是地球上的倍，求该星球表面的重力加速度g0以及星球的质量M。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）物块恰好发生滑动，此时摩擦力达到最大，有 解得转盘装置转动的角速度大小 （2）根据解得物块的线速度大小 （3）根据 解得该星球表面的重力加速度 根据 解得星球的质量 变式3．（25-26高一下·广东东莞·期中）中国自行研制，具有完全自主知识产权的“神舟号”飞船，目前已经达到或优于国际第三代载人飞船技术，其发射过程简化如下：飞船在酒泉卫星发射中心发射，由长征运载火箭送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，飞船飞行五周后进行变轨，进入预定圆轨道，如图所示，设飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，若已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，万有引力常量为G，求： (1)地球的质量是多少； (2)地球的平均密度是多少； (3)椭圆轨道远地点B距地面的高度h。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在地球表面附近，万有引力与重力近似相等，有 解得 （2）根据质量、密度、体积间的关系可知，地球的质量为 解得地球的平均密度 （3）飞船在预定圆轨道上飞行时由万有引力提供向心力，有 由题意可知，飞船在预定圆轨道上运行的周期为 联立解得，椭圆轨道远地点B距地面的高度为 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：空壳内与地表下的万有引力、计算中心天体的质量与密度专项训练 期末复习：空壳内与地表下的万有引力、计算中心天体的质量与密度专项训练 考点目录 空壳内与地表下的万有引力 计算中心天体的质量与密度 考点一 空壳内与地表下的万有引力 解题思路点拨 1. 薄壳问题：在壳内→壳引力为0；壳外→按质点万有引力公式； 1. 地下深度问题：舍去外围球壳，只用内部实心小球质量列式； 1. 比较重力加速度：地表、地下、高空。 例1．（25-26高一下·山东滨州·期中）如图甲所示，质量分布均匀的大球质量为M、球心为O、半径为R，从大球中挖去一个半径为的小球，大、小球表面相切于A点，B点为小球球心。将质量为m的小物体（可视为质点）置于A点，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。如图乙所示，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方有一半径为R的球形“防空掩体”空腔区域。假定区域周围岩石均匀分布，密度为。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离。重力加速度在原竖直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫作重力加速度反常。已知球形“防空掩体”空腔的体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），，引力常量为G。 (1)①求图甲大球剩余部分对质量为m的小物体的引力大小； ②图甲，将质量为m的小物体移动到B点时，求大球剩余部分对小物体的引力大小； (2)求图乙“防空掩体”空腔引起的Q点的重力加速度反常的大小。 例2．（25-26高一下·山东滨州·期中）如图甲所示，质量分布均匀的大球质量为M、球心为O、半径为R，从大球中挖去一个半径为的小球，大、小球表面相切于A点，B点为小球球心。将质量为m的小物体（可视为质点）置于A点。如图乙所示，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方有一半径为R的球形“防空掩体”空腔区域。假定区域周围岩石均匀分布，密度为ρ。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离。重力加速度在原竖直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫作重力加速度反常。已知球形“防空掩体”空腔的体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），，引力常量为G。求： (1)图甲大球剩余部分对质量为m的小物体的引力大小； (2)图乙“防空掩体”空腔引起的Q点的重力加速度反常的大小。 例3．（25-26高一下·安徽·期中）如图所示，某同学设计了一条贯通地球的弦线隧道：质量为的小球从入口的点由静止开始穿过隧道到达另一端的点，为隧道的中点，与地心的距离为，地球可看作半径为、质量为的均匀球体，已知质量分布均匀的球壳对球壳内物体引力为零，引力常量为，不计一切阻力，忽略地球自转的影响，试求： (1)小球从点进入隧道瞬间的加速度大小； (2)小球经过隧道中点时所受的支持力大小； (3)点是隧道中到的距离为的一点，试求小球经过点时的加速度大小。 变式1．（25-26高一下·北京石景山·期中）用相同材料做成的半径分别为R和r的两个实心球体，，如图所示，半径为R的大球质量为M、球心为O，半径为r的小球球心为，引力常数为G。 (1)质量为m的小物体（可视为质点）位于两球连线上一点，距O点2R，距点1.5R，求两球对小物体万有引力的合力的大小； (2)去掉小球，同时从大球中挖去一个半径为r的小球，求大球剩余部分对小物体的引力大小； (3)已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。将小物体移动到挖去小球的球心位置时，求大球剩余部分对小物体的引力大小。 变式2．（25-26高一下·北京丰台·期中）开普勒以全部精力整理第谷的观测数据，经过16年坚持不懈的分析和计算，终于发现了行星运动的三个定律。 (1)牛顿在开普勒行星运动定律的基础上得出了万有引力定律。若已知地球质量为M，地球半径为R，某卫星的质量为m，距离地面高度为h，求地球对该卫星的引力F； (2)开普勒第二定律指出：行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。已知某行星在近日点与太阳中心的距离为r1，线速度大小为v1 ；在远日点与太阳中心的距离为r2，线速度大小为v2，请根据开普勒第二定律推导v1和v2的比值； (3)将行星绕太阳运行的轨道简化为圆轨道，开普勒第三定律可简化为：所有行星绕太阳运动轨道半径r的三次方跟它公转周期T的二次方的比值都相等，即。此规律也适用于卫星绕地球的运动，即 ，请分析说明k卫与k是否相等。 变式3．（25-26高一下·河南濮阳·阶段检测）已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，设地球是一个质量分布均匀的球体，其质量为M，半径为R，设想以地心为圆心，r（r<R）为半径处挖一条圆形隧道，如图所示，给小球一合适的速度，使小球恰好在隧道内做圆周运动，且不与隧道壁接触，不考虑隧道宽度与阻力，小球可视为质点，引力常量为G。求： (1)轨道处重力加速度大小； (2)小球线速度的大小。 考点二 计算中心天体的质量与密度 解题思路点拨 1. 已知天体表面、半径：用黄金代换求； 1. 已知卫星轨道、周期/线速度/角速度：选对应向心力公式求中心天体； > 注意：只能求中心天体质量，不能求环绕天体质量 1. 求密度：算出后代入；近地卫星直接用； 1. 区分：天体自身半径，卫星轨道半径。 例1．（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知中国空间站质量为，绕地球运行的周期为，地球半径为，地球表面重力加速度为，引力常量为，忽略地球自转影响。求： (1)地球的质量； (2)空间站到地球表面的距离。 例2．（25-26高一下·宁夏吴忠·期中）一颗人造卫星A绕地心做匀速圆周运动。已知地球的半径为R，人造卫星距地面的高度为h，绕地球运动的周期为T，万有引力常量为G。求： (1)地球的质量； (2)地球的密度。 例3．（25-26高一下·北京西城·期中）1798年，英国物理学家卡文迪什通过实验测定了引力常量G的值，他还把自己的实验说成是“称量地球的重量”。由于地面的重力加速度g和地球半径R在测定G值之前就已知道，一旦测得引力常量G，就可以算出地球的质量M。他的计算思路是：若不考虑地球自转的影响，地面上物体所受的重力近似等于地球对物体的万有引力。 (1)请写出卡文迪什计算地球质量的过程； (2)若已知球体积公式为，写出计算地球平均密度ρ的过程。 变式1．（25-26高一下·福建莆田·期中）在“天问一号”火星探测器在登陆火星前，天问一号”在距火星表面高度为h的轨道上绕火星做匀速圆周运动，周期为T。已知火星的半径为R，引力常量为G，忽略其他天体对探测器的引力作用，求： (1)探测器绕火星做匀速圆周运动的半径r和线速度大小v； (2)火星的质量M； 变式2．（25-26高一下·浙江·期中）如图所示一个水平转盘装置可绕着中心轴旋转，转盘上有一质量为m的物块放在距离转轴r处，随着转盘一起做匀速圆周运动，已知物块与转盘之间的动摩擦因数为μ。若该装置在地面上以某一角速度转动时，物块恰好发生滑动。重力加速度为g，万有引力常数为G。最大静摩擦等于滑动摩擦力。求： (1)转盘装置转动的角速度大小ω； (2)物块的线速度大小v； (3)若把该装置放到另一个半径为R的星球上，物块也恰好发生滑动时，转盘转动的角速度是地球上的倍，求该星球表面的重力加速度g0以及星球的质量M。 变式3．（25-26高一下·广东东莞·期中）中国自行研制，具有完全自主知识产权的“神舟号”飞船，目前已经达到或优于国际第三代载人飞船技术，其发射过程简化如下：飞船在酒泉卫星发射中心发射，由长征运载火箭送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，飞船飞行五周后进行变轨，进入预定圆轨道，如图所示，设飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，若已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，万有引力常量为G，求： (1)地球的质量是多少； (2)地球的平均密度是多少； (3)椭圆轨道远地点B距地面的高度h。 2 学科网（北京）股份有限公司 $