2.8 指、对、幂的大小比较 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“指、对、幂的大小比较”核心考点，依据高考评价体系明确直接比较（利用函数性质、中间值、特殊值）和化简比较（作差、作商、乘方）两大考查方向，通过近5年真题及模拟题分析，归纳出6类常考命题点，构建系统备考框架，凸显高考针对性。 课件亮点在于“真题溯源+技巧建模+素养提升”，如2020全国Ⅲ卷例2用中间值法突破对数比较，2025成都模拟例5通过作商法强化幂函数性质应用，培养学生数学思维（推理能力）和数学语言（模型意识）。特设跟踪训练与易错点分析，助力学生掌握得分技巧，教师可据此精准开展专题复习，提升备考效率。

指、对、幂的大小比较 例1　(2026·湘东教学联盟高三联考)若a=log7，b=70.1，c=，则a，b，c的大小关系为 A.c<a<b B.a<b<c C.a<c<b D.c<b<a 题型一　直接法比较大小 命题点1　利用函数的性质 √ 解析　因为函数y=log7x在(0，+∞)上单调递增，所以log71<log7<log77，即0<a<1， 因为b=70.1，c==， 函数y=x0.1在(0，+∞)上单调递增， 所以70.1>>，即b>c>1， 故b>c>a. 例2　(2020·全国Ⅲ卷)设a=log32，b=log53，c=，则 A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 命题点2　找中间值 √ 解析　∵3log32=log38<2， ∴log32<，即a<c. ∵3log53=log527>2， ∴log53>，即b>c. ∴a<c<b. 例3　已知a>b>1，0<c<，则下列结论正确的是 A.ac<bc B.abc<bac C.alogbc<blogac D.logac<logbc 命题点3　特殊值法 √ 解析　取特殊值，令a=4，b=2，c=， 则ac=，bc=，∴ac>bc，故A错误； abc=4×=，bac=2×=， ∴abc>bac，故B错误； logac=log4=-1，logbc=log2=-2， alogbc=-8，blogac=-2， ∴alogbc<blogac，logac>logbc，故C正确，D错误. 利用特殊值作“中间量” 在指数、对数中通常可优先选择“-1，0，，1”对所比较的数进行划分， 然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1=log22<log23<log24=2，进而可估计log23是一个1~2之间的小数，从而便于比较. 思维升华 跟踪训练1　(1)已知a=，b=，c=log2e，则 A.a>b>c B.b>c>a C.b>a>c D.c>b>a √ 解析　∵y=在R上单调递减，且<， ∴>， 又y=在(0，+∞)上单调递增，且<， ∴<， ∴<<1， 又log2e>1，∴a<b<c. (2)设a=0.20.5，b=log53，c=50.2，则a，b，c的大小关系是 A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b √ 解析　0<a=0.20.5=<=， 1>b=log53>log5=， c=50.2>50=1，所以a<b<c. 例4　已知a=log62，b=log404，c=log455，则 A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.a>c>b 题型二　利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小 √ 命题点1　作差法 解析　=log26=1+log23=1+， =log440=1+log410=1+=1+，=log545=1+log59=1+， ∵-=<0， ∴<， ∵-=-==>0， ∴>， 综上有>>>0，∴c>a>b. 例5　(2025·成都模拟)若a=，b=，c=lo，则a，b，c的大小关系为 A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a √ 命题点2　作商法 解析　因为0<a=<30=1，0<b=<=1， 令==×=×， 而=×()12 =3×2-4=<1， 即×<1，所以a<b， 又因为c=lo=lo>lo=lo=1，所以c>b>a. 例6　已知a=log35，b=log57，c=，则 A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.a>c>b √ 命题点3　乘方法 解析　因为53=125>=81，所以5>， 所以log35>log3=，即a>c. 因为73=343<=625，所以7<， 所以log57<log5=，即b<c.所以a>c>b. 求同存异法比较大小 如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数的公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的形式. 思维升华 跟踪训练2　(1)(2025·天津河西区模拟)设a=，b=20.4，c=ln，则a，b，c的大小关系为 A.b<c<a B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a √ 解析　a==30.3>1，b=20.4>1， a10=33=27，b10=24=16，故a10>b10，所以a>b>1， 又c=ln<ln e=1，所以c<b<a. (2)(2025·柳州模拟)已知137<216，346<217，设a=log3421，b=log2113，c=log138，则 A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.c<b<a √ 解析　由137<216，得log21137<log21216， 即7log2113<6，则log2113<， 由346<217，得log34346<log34217，即6<7log3421，则log3421>， 则log2113<log3421，即b<a. 又log2113>0，log138>0，则=log138×log1321<= (log13)2<1， 因此log138<log2113，即c<b，所以c<b<a. 一、单项选择题 1.(2025·保定模拟)设a=50.4，b=，c=log32，则a，b，c的大小关系为 A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.b<a<c √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析　由指数函数y=5x的单调性可知，b==50.6>a=50.4>1， 又c=log32<log33=1，所以c<a<b. 2.(2025·海南省直辖县级单位模拟)已知a=log23，b=，c=log53，则 A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.b<a<c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 答案 解析　因为a=log23=log2<，c=log53>log5=，所以a<b<c. 3.(2025·天津北辰区模拟)设a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为 A.c<b<a　　　B.a<c<b　　　C.a<b<c　　　D.c<a<b √ 解析　因为0<<，则0<a<1，而b===>1，则a<b， 又0<<30，即0<c<1， a==>=c， 故c<a<b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 4.已知a=log32，b=log43，c=tan，则a，b，c的大小关系为 A.c>a>b B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析　c=tan=>1，a=log32<log33=1， b=log43<log44=1. 方法一　a-b=-=， 因为ln 2>0，ln 4>0，则ln 2+ln 4>2⇒ln 2×ln 4<×(ln 8)2<× (ln 9)2=(ln 3)2， 又ln 3>0，ln 4>0，则a-b<0，故a<b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析　方法二　因为3a=3log32=log38<log39=2， 所以a<， 同理3b=3log43=log427>log416=2， 则b>，故a<b. 综上，c>b>a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 5.(2026·德州模拟)设2 024a=2 025，b=log2 0232 026，2 022c=2 026，则 A.a>c>b B.a>b>c C.b>c>a D.c>b>a √ 解析　依题意，c=log2 0222 026，b=<=log2 0222 026=c， a=log2 0242 025=<=log2 0232 025<log2 0232 026=b， 所以c>b>a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 6.(2025·广州模拟)已知57>310，410>77.设a=log47，b=2log72+log73，c=log925，则 A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.b<a<c √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析　由题意可得b=log712，c=log35， 因为57>310，410>77，所以两边取对数并整理得log35>，log47<， 所以a<c. 又a=log47=>1，b=log712=>1，=， 且<=<=ln 7，即ln 4×ln 12<(ln 7)2， 所以>1，即a>b，所以b<a<c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 二、多项选择题 7.(2025·保定模拟)下列不等式成立的有 A.log0.30.2>log0.20.3 B.0.30.2>0.20.3 C.log30.2<log20.2 D.30.2<20.3 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析　对于A，log0.30.2>log0.30.3=1，log0.20.3<log0.20.2=1，故log0.30.2> log0.20.3，A正确； 对于B，0.30.2>>0.20.3，故0.30.2>0.20.3，B正确； 对于C，由于log30.2<0，log20.2<0，故===log23>1， 故log30.2>log20.2，C错误； 对于D，因为(30.2)10=32=9，(20.3)10=23=8，所以(30.2)10>(20.3)10，故30.2>20.3，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 8.(2025·萍乡模拟)已知实数a，b，c满足0<c<1<b<a，则 A.ca<cb B.> C.lob< D.tan c<tan b √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析　对于A，因为0<c<1，所以y=cx在R上单调递减，又a>b， 所以ca<cb，故A正确； 对于B，令a=4，b=2，c=，所以==，=，所以=， 故B错误； 对于C，因为b>1，所以lob<0，>1， 所以lob<，故C正确； 对于D，取c=，b=，可得tan c=1，tan b=-1， 则tan c>tan b，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 9.(2026·天津模拟)已知a=log3，b=lo3，c=，则a，b，c的大小关系 为　　　 　.(用“>”连接)  b>c>a 三、填空题 解析　a=log3=log3=-， b=lo3=2log53=log59>log55=1， 0<c=<=1， 所以b>c>a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 10.(2025·沈阳模拟)设a=，b=ln，c=，则a，b，c的大小关系为 　　　　 .(用“>”连接)  a>b>c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析　a=>e0=1，b=ln <1，c=<1， 故a>b，a>c，要比较ln 与的大小， 即比较ln与ln 2.2的大小， 等价于比较1.110与2.2的大小，等价于比较1.19与2的大小， 又1.19=1.1×1.18=1.1×1.214>1.1×1.24=1.1×1.442>1.1×1.42=1.1×1.96>2， 故1.19>2，即ln >，即b>c， 故a>b>c. $