2.6 指数与指数函数 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“指数与指数函数”专题，依据高考评价体系梳理了根式、分数指数幂运算、指数函数图象与性质三大核心考点，通过近三年模拟题分析明确指数函数性质应用占比达50%的高频考点，归纳出指数运算、大小比较、不等式求解等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题解析+素养渗透+技巧总结”，如以2025年合肥期末奇函数性质题为例，运用“单调性转化+变量代换”法突破恒成立问题，培养数学思维中的逻辑推理与数学语言的符号表达能力。特设“易错陷阱警示”（如底数分类讨论）和“答题模板”，助力学生掌握得分技巧，教师可据此开展针对性复习，提升备考效率。

指数与 指数函数 1.根式 (1)一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. (3)()n= . 当n为奇数时，= ， 当n为偶数时，=|a|= a a 2.分数指数幂 正数的正分数指数幂：= (a>0，m，n∈N*，n>1). 正数的负分数指数幂：= =(a>0，m，n∈N*，n>1). 0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂没有意义. 3.指数幂的运算性质 aras= ；(ar)s= ；(ab)r= (a>0，b>0，r，s∈R). 0 ar+s ars arbr 4.指数函数及其性质 (1)概念：一般地，函数y=ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是 . R (2)指数函数的图象与性质   a>1 0<a<1 图象     定义域 ___ 值域 _________ R (0，+∞)   a>1 0<a<1 性质 过定点 ，即x=0时，y=1 当x>0时， ；当x<0时， _______ 当x<0时， ；当x>0时，_______ 函数 函数 (0，1) y>1 0<y<1 y>1 0<y<1 增 减 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)=-4.(　　) (2)2a·2b=2ab.(　　) (3)函数y=ax与y=a-x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称.(　　) (4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　　) 自主诊断 × × √ × 2.给出下列函数，其中为指数函数的是 A.y=x4 B.y=xx C.y=πx D.y=-4x √ 解析　因为指数函数的形式为y=ax(a>0且a≠1)，所以y=πx是指数函数，即C正确； 而A，B，D中的函数都不满足要求，故A，B，D错误. 3.(2025·中山模拟)将·化成分数指数幂的形式是 A.　　　B.　　　C.　　　D. √ 解析　 ·=·=·=. 4.已知函数f(x)的定义域为R，f(0)=1，=2，=2，=2，=2，…，=2(n∈N*).写出满足上述条件的一个函数：　　　　　 　　　　.  f(x)=2x(答案不唯一) 解析　例如f(x)=2x，则f(x)的定义域为R，f(0)=1，且==2，所以f(x)=2x符合题意. 1.掌握指数函数图象的三个特点 (1)指数函数y=ax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，1)，(1，a)，， 依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象. 微点提醒 (2)任意两个指数函数的图象都是相交的，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称. (3)指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图所示，其中0<c<d<1<a<b. 微点提醒 返回 2.谨防一个失误点 讨论指数函数的单调性及值域问题时，当指数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论. 例1　(1)计算：++×[(-2)4=　　　　.  题型一　指数运算 +19 解析　原式=+-1+×23 =2+-1+×8 =+1+×8=+19. (2)若+=3，则=　　　.  解析　由+=3， 等号两边平方得a+a-1=7， 等号两边再平方可得a2+a-2=47， 所以==. (1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加. ②运算的先后顺序. (2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 思维升华 跟踪训练1　(1)(多选)下列各式正确的是(式中字母均是正数) A.= B.=a C.=36 D.=- 解析　对于A，==，故A正确； 对于B，=|a|=a，故B正确； 对于C，==62=36，故C正确； 对于D，==，故D错误. √ √ √ (2)计算：0.12-+[(-2)2+(×)6=　 　　.  解析　0.12-+[(-2)2+(×)6 =-1+2+× =2+1+8×9=75. 75 例2　(1)(多选)已知函数f(x)=ax-b(a>0，且a≠1，b≠0)的图象如图所示，则 A.a>1 B.0<a<1 C.b>1 D.0<b<1 题型二　指数函数的图象及应用 √ √ 解析　观察图象得，函数f(x)=ax-b是减函数， 因此0<a<1， 设图象与y轴交点的纵坐标为y0， 则0<y0<1， 又y0=f(0)=1-b， 于是得0<1-b<1，解得0<b<1， 所以0<a<1，0<b<1. (2)(多选)(2025·淮安模拟)已知实数a，b满足等式=，则下列关系式中可能成立的是 A.0<b<a B.b<a<0 C.a=b D.a<b<0 √ √ √ 解析　如图所示， 当=>1时， 则a<b<0； 当==1时， 则a=b=0； 当0<=<1时，0<b<a. 对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. 思维升华 跟踪训练2　(1)已知函数f(x)=ax-2+1(a>0，a≠1)的图象恒过定点M(m，n)，则函数g(x)=mx-n的图象不经过 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ 解析　由已知条件得当x=2时，f(2)=2，则函数f(x)的图象恒过点(2，2)， 即m=2，n=2，此时g(x)=2x-2， 由于g(x)的图象由y=2x的图象向下平移2个单位长度得到，且过点(0，-1)， 由此可知g(x)的图象不经过第二象限. (2)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点，则实数b的取值范围是　　　　.  (0，2) 解析　在同一平面直角坐标系中画出y=|2x-2|与y=b的图象，如图所示. ∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点. ∴实数b的取值范围是(0，2). 例3　(2026·大同模拟)设a=0.30.2，b=1.10.2，c=1.10.3，则 A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.c<a<b √ 命题点1　比较指数式的大小 题型三　指数函数的性质及应用 解析　因为函数y=1.1x单调递增，所以1=1.10<1.10.2<1.10.3，故1<b<c， 又函数y=0.3x单调递减，所以a=0.30.2<0.30=1，所以a<b<c. 例4　(2025·大连期末)不等式2·10x-3x-6x≤0的解集为　　　　　.  命题点2　解简单的指数方程或不等式 解析　原不等式等价于2--≤0， 令f(x)=2--，则f(0)=0， 所以f(x)≤f(0)， 因为y=和y=在R上单调递减，所以函数f(x)在R上单调递增， 所以x≤0， 所以原不等式的解集为(-∞，0]. (-∞，0] 例5　(2025·合肥期末)已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数. (1)求实数a的值； 命题点3　指数函数性质的综合应用 解　由f(x)是定义在R上的奇函数， 得f(0)===0， 解得a=1，经检验，a=1符合题意， 所以a=1. 例5　(2025·合肥期末)已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数. (2)判断函数f(x)的单调性，并说明理由； 解　函数f(x)在R上是减函数，理由如下. 由(1)知f(x)==-1， 因为函数y=ex+1在R上单调递增， 所以函数y=在R上单调递减， 所以函数f(x)=-1在R上单调递减， 即函数f(x)在R上是减函数. 例5　(2025·合肥期末)已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数. (3)若不等式f(m·3x)+f(3x-9x-2)>0对任意的x≥0恒成立，求实数m的取值范围. 解　由f(m·3x)+f(3x-9x-2)>0， 得f(m·3x)>-f(3x-9x-2)=f(9x-3x+2)， 由(2)知，f(x)是R上的减函数， 则m·3x<9x-3x+2， 即m<=3x+-1， 依题意，m<3x+-1对任意的x≥0恒成立， 例5　(2025·合肥期末)已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数. (3)若不等式f(m·3x)+f(3x-9x-2)>0对任意的x≥0恒成立，求实数m的取值范围. 解　而3x≥1，则3x+-1≥2-1=2-1，当且仅当3x=， 即3x=时取等号， 因此m<2-1， 所以实数m的取值范围是(-∞，2-1). (1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量. (2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断. 思维升华 跟踪训练3　(1)已知函数f(x)=(a>0且a≠1)在区间[0，2]上单调递增，则实数a的取值范围是 A.(1，+∞) B. C.∪(1，+∞) D. √ 解析　设t=ax2-2x+1，则y=at， 由复合函数的单调性可知当a>1时，需满足t=ax2-2x+1在区间[0，2]上单调递增， 所以只需≤0，则a<0，与a>1矛盾； 当0<a<1时，需满足t=ax2-2x+1在区间[0，2]上单调递减， 所以只需≥2，解得0<a≤. 故实数a的取值范围是. (2)若关于x的方程4x-a·2x+a=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是　　　　　.  (4，+∞) 解析　令t=2x，∴t>0， 原方程可化为t2-at+a=0， 依题意该方程有两个不相等的正实数根， ∴解得a>4. 故实数a的取值范围是(4，+∞). 抽象函数 抽象函数主要研究赋值求值、证明函数的性质、解不等式等，一般通过代入特殊值求值、通过f(x1)-f(x2)的变换判定单调性、出现f(x)及f(-x)判定抽象函数的奇偶性、换x为x+T确定周期性. (1)判断抽象函数单调性的方法 ①若给出的是“和型”抽象函数f(x+y)=…，判断符号时要变形为f(x2)-f(x1) =f((x2-x1)+x1)-f(x1)或f(x2)-f(x1)=f(x2)-f((x1-x2)+x2)； ②若给出的是“积型”抽象函数f(xy)=…，判断符号时要变形为f(x2)-f(x1) =f-f(x1)或f(x2)-f(x1)=f(x2)-f. 微拓展 (2)常见的抽象函数模型 ①正比例函数f(x)=kx(k≠0)，对应f(x±y)=f(x)±f(y)； ②幂函数f(x)=xa，对应f(xy)=f(x)f(y)或f=； ③指数函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)，对应f(x+y)=f(x)f(y)或f(x-y)=； ④对数函数f(x)=logax(a>0，且a≠1)，对应f(xy)=f(x)+f(y)或f=f(x)-f(y) 或f(xn)=nf(x)； ⑤正弦函数f(x)=sin x，对应f(x+y)f(x-y)=[f(x)］2-[f(y)］2，来源于sin 2α-sin 2β =sin(α+β)·sin(α-β)； 微拓展 ⑥余弦函数f(x)=cos x，对应f(x)+f(y)=2ff，来源于cos α+cos β =2cos ·cos ； ⑦正切函数f(x)=tan x，对应f(x±y)=，来源于tan(α±β)=. 微拓展 典例　(多选)(2026·南通模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x)是偶函数；②当x>0时，f(x)>1；③当x≥0，y≥0时，f(x+y)=f(x)f(y).则下列结论错误的是 A.f(0)=1或f(0)=0 B.f(x)在[0，+∞)上单调递减 C.不等式f(x)<的解集为(-2，2) D.f(x)至少有一个零点 微拓展 √ √ √ 解析　方法一　对于A，由条件③当x≥0，y≥0时，f(x+y)=f(x)f(y)， 令x=0，y=1，得f(1)=f(0)f(1)， 又由条件②得f(1)>1，∴f(0)=1，A错误； 对于B，∀x1，x2∈[0，+∞)，且x1<x2， 则f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x1+x2-x1) =f(x1)-f(x1)f(x2-x1) =f(x1)[1-f(x2-x1)］， ∵0≤x1<x2，∴f(x1)≥1，x2-x1>0， ∴f(x2-x1)>1，1-f(x2-x1)<0， 解析　∴f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在[0，+∞)上单调递增，B错误； 对于C，∵f(4)=f(2+2)=f(2)f(2)，f(2)>1， ∴不等式f(x)<等价于f(x)<f(2)， 又f(x)在[0，+∞)上单调递增，且由条件①得f(x)是偶函数， ∴|x|<2，∴不等式f(x)<的解集为(-2，2)，C正确； 对于D，由当x>0时，f(x)>1，f(0)=1，且f(x)是偶函数， 故f(x)的值域为[1，+∞)，所以f(x)没有零点，D错误. 解析　方法二　对于A，由条件③当x≥0，y≥0时，f(x+y)=f(x)f(y)， 令x=0，y=1，得f(1)=f(0)f(1)， 又由条件②得f(1)>1，∴f(0)=1，故A错误； 对于B，D，由当x≥0，y≥0时，f(x+y)=f(x)f(y)知， 当x≥0时，函数f(x)=ax(a>1)满足②③， 此时，f(x)在[0，+∞)上单调递增，f(x)在[0，+∞)上的值域为[1，+∞)，所以f(x)在[0，+∞)上无零点，又f(x)为偶函数，所以f(x)无零点，故B，D错误； C解析同方法一. 返回 一、单项选择题 1.函数y=3|x|-1的定义域为[-1，2]，则其值域为 A.[2，8] B.[1，8] C.[0，8] D.[-1，8] √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 知识过关 解析　由题意x∈[-1，2]，所以|x|∈[0，2]，y=3|x|-1∈[0，8]. 2.已知指数函数f(x)=(a-1)bx的图象经过点，则等于 A.　　　B.　　　C.2　　　D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 答案 解析　由指数函数f(x)=(a-1)bx的图象经过点， 得解得a=b=2， 所以==. 3.(2025·汕头期末)设a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为 A.c>a>b B.a>b>c C.b>a>c D.a>c>b √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　依题意，函数y=在(0，+∞)上单调递增，函数y=在R上单调递减， 则>>， 即a，b，c的大小关系为a>c>b. 4.(2025·乌鲁木齐模拟)函数y=ax-(a>0且a≠1)的图象可能是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　当a>1时，0<<1，函数y=ax-单调递增， 且图象由y=ax(a>1)的图象向下平移个单位长度得到，故A，B错误； 当0<a<1时，>1，函数y=ax-单调递减， 且图象由y=ax(0<a<1)的图象向下平移个单位长度得到，故D正确，C错误. 5.(2026·哈尔滨模拟)已知函数y=a+b的图象经过原点，且无限接近直线y=2，但又不与该直线相交，则ab等于 A.-1　　　B.-2　　　C.-4　　　D.-9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ 解析　因为函数y=a+b的图象经过原点，所以a+b=0， 即a+b=0，又该函数图象无限接近直线y=2，且不与该直线相交， 所以b=2，则a=-2， 所以ab=-4. 6.已知奇函数f(x)=ax+b·a-x(a>0，a≠1)在[-1，1]上的最大值为，则a等于 A.或3 B.或2 C.3 D.2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　因为f(x)是奇函数，且定义域是R， 所以f(0)=a0+b·a0=1+b=0， 解得b=-1， 经检验，b=-1符合题意，所以f(x)=ax-a-x， 当a>1时，函数f(x)=ax-a-x在[-1，1]上单调递增， 所以f(x)max=f(1)=a-a-1=， 整理得3a2-8a-3=0， 解得a=3或a=-(舍去)，所以a=3； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　当0<a<1时，函数f(x)=ax-a-x在[-1，1]上单调递减， 所以f(x)max=f(-1)=a-1-a=， 整理得3a2+8a-3=0， 解得a=或a=-3(舍去)，所以a=， 综上，a=或a=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 二、多项选择题 7.下列各式正确的是 A.若2a=，则8a= B.若am=3，an=4，则=24 C.若a>0，则= D.若a>0，b>0，则4÷=-6ab-1 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　对于A，因为2a=，所以8a=23a=(2a)3=，A正确； 对于B，=am·=3·(an=3×=3×(22=3×23=3×8=24，B正确； 对于C，===，C错误； 对于D，4÷=4××=-6ab-1，D正确. 8.下列是真命题的是 A.函数f(x)=+1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(1，1) B.函数y=的值域为(0，2] C.函数f(x)=-为奇函数 D.若存在x∈(-∞，0]满足x2-3x+a<0(a∈R)，则a的取值范围是(-∞，1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　对于A，令x-1=0，则x=1，当x=1时，f(1)=a0+1=2，所以函数f(x)的图象恒过定点(1，2)，故A错误； 对于B，令u=x2-1，所以u≥-1，又y=为减函数，所以y=∈(0，2]， 即y=的值域为(0，2]，B正确； 对于C，因为函数f(x)=-的定义域为R，关于原点对称，且f(-x)= -=-，则f(-x)+f(x)=0，所以函数f(x)=-为奇函数，故C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　对于D，依题意，存在x∈(-∞，0]满足a<-x2+3x，令f(x)=-x2+3x，x∈(-∞，0]， 因为y=-x2与y=3x在(-∞，0]上单调递增，所以f(x)在(-∞，0]上单调递增，所以f(x)max=f(0)=1，所以a<1，即a的取值范围是(-∞，1)，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 三、填空题 9.计算：3π0+×-=　　　.  解析　原式=3+×-3 =× =×=×=. 10.已知函数f(x)=|ax-1|(a>0，且a≠1)，若直线y=2a与函数f(x)的图象有两个 公共点，则实数a的取值范围是　　　　 　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　y=|ax-1|的图象由y=ax的图象向下平移一个单位长度，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方得到，分a>1和0<a<1两种情况分别作图，如图所示， 当a>1时，2a>2，显然不符合题意； 当0<a<1时，要使直线y=2a与函数f(x)的图象有两个公共点，则0<2a<1， 即0<a<. 综上，实数a的取值范围是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 四、解答题 11.(2026·莆田模拟)已知函数f(x)=(a∈R). (1)若a=-2，求f(x)的单调区间； 解　当a=-2时，f(x)=的定义域为R， 令t=-2x2-4x+3=-2(x+1)2+5≤5， 因为t=-2x2-4x+3在(-∞，-1)上单调递增，在(-1，+∞)上单调递减， 且y=在t∈(-∞，5]上单调递减， 所以f(x)在(-∞，-1)上单调递减，在(-1，+∞)上单调递增， 即f(x)的单调递增区间是(-1，+∞)，单调递减区间是(-∞，-1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 11.(2026·莆田模拟)已知函数f(x)=(a∈R). (2)若f(x)有最大值3，求a的值. 解　令g(x)=ax2-4x+3，f(x)=， 由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值-1， 因此必有 解得a=1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 12.(2025·南通模拟)已知函数f(x)=22x+2k·2x+1的最小值为-3，k∈R. (1)求实数k的值； 解　令t=2x>0，g(t)=t2+2kt+1，t>0，则g(t)的图象开口向上，且对称轴为直线t=-k， 当-k≤0，即k≥0时，g(t)在(0，+∞)上单调递增， 由t=2x单调递增可知f(x)单调递增，此时f(x)无最值，不满足题意； 当-k>0，即k<0时，g(t)在(0，-k)上单调递减，在(-k，+∞)上单调递增， 所以f(x)min=g(t)min=g(-k)=-k2+1=-3， 可得k=-2(正值舍去). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 12.(2025·南通模拟)已知函数f(x)=22x+2k·2x+1的最小值为-3，k∈R. (2)若不等式f(x)≤-8有实数解，求实数a的取值范围. 解　由题意及(1)知f(x)=22x-4·2x+1≤-8有解， 即≥2x+-4有解， 而2x+-4≥2-4=2， 当且仅当2x=3，即x=log23时取等号， 故只需≥2，解得0<a≤. 故实数a的取值范围为. 13.(2025·成都模拟)已知a>2，8a+15a=17b，则 A.a>b>2 B.a>2>b C.b>a>2 D.b>2，但a和b的大小关系无法确定 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 能力拓展 √ 解析　由于a>2，所以17b=8a+15a>82+152=172，因此b>2， 又因为17b-a=+<+=1，即b-a<0，故2<b<a. 14.(多选)函数y=f(x)和y=f(-x)，若两函数在区间[m，n]上的单调性相同，则把区间[m，n]叫做y=f(x)的“稳定区间”，已知区间[1，2 025]为函数 y=的“稳定区间”，则实数a的可能取值是 A.-　　　B.-　　　C.0　　　D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　因为y=f(x)=， 则f(-x)==|2x+a|， 由题意得f(x)=与f(-x)=|2x+a|在区间[1，2 025]上单调性相同. 若单调递增，则在区间[1，2 025]上恒成立，即 所以-2≤a≤-； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 解析　若单调递减，则在区间[1，2 025]上恒成立， 即无解， 综上，实数a的取值范围是，所以A，B选项符合题意. 返回 $