25.2.1.2 用配方法解一元二次方程（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“用配方法解一元二次方程”，通过填空完全平方式、求完全平方式中字母值等导入问题，搭建从完全平方公式到配方法的学习支架，帮助学生衔接旧知与新知。 其亮点在于以问题链引导探究，如“如何将方程转化为完全平方形式”，培养抽象能力与创新意识（数学眼光），通过规范步骤（移项、配方等）强化逻辑推理与运算能力（数学思维），例题涵盖不同系数及根的情况，用“(x+n)²=p”模型表达（数学语言），助力学生掌握方法，教师教学有清晰步骤与实例支持。

25.2　降次——解一元二次方程 25.2.1　配方法 第2课时 用配方法解一元二次方程 人教版 九年级 数学（上） 第25章 一元二次方程 新课导入 1．填空： (1)x2＋6x＋______＝(x＋______)2； (2)x2－5x＋(______)2＝(x－______)2； (3)x2＋x＋(______)2＝(x＋______)2. 9 3 2 2．若x2－mx＋64是一个完全平方式，则m的值是________． ±16 探究新知 解方程(x+3)2=5时，因为它的左边是含有x的完全平方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程. 对于任意一个一元二次方程，能否都转化为这种可以直接降次的形式再求解呢？ 探究： 怎样解方程x2＋6x＋4＝0 ？ 把方程(x＋3)2＝5化成一般形式，然后与所探究中的方程进行比较，你有什么发现？ 如何将方程x2＋6x＋4＝0化成(x＋3)2＝5的形式呢？ 要把方程x2＋6x＋4＝0转化为像(x＋3)2＝5这种形式的方程，关键是将方程的左边转化为一个完全平方式. 对方程x2＋6x＋4＝0移项，得 x2＋6x＝−4 . 由a2+2ab+b2 = (a+b)2，将上述方程两边同时加()2，即9，方程左边就可以配成x2+2mx+m2形式的完全平方式，即x2＋6x＋9 ＝−4＋9. 左边写成完全平方形式，得(x+3)2＝5. 解这个方程，得x1=3+，x2=3. 可以验证,3±是方程x2＋6x＋4＝0的两个根. 像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 配方法的基本思路： 把方程化为(x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解. 把常数项移到方程右边之后，为什么要在x2＋6x＝－4的两边都加上9？加其他数行吗？ x2＋6x＋9 ＝−4＋9 配方是为了利用开方实现降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解. 通过x2＋6x＋4＝0的解题过程，你能说说配方的一般步骤是什么吗？ 配方的关键是什么吗？ 解方程3x2－2x－1＝0. 如果一个一元二次方程的二次项系数不为1，还能用配方法来解吗？ 请将方程3x2－2x－1＝0的二次项系数化为1，并尝试解此方程. 解方程3x2－2x－1＝0. 解：移项，得：3x2 −2x=1. 二次项系数化为1，两边同除以3得：x2 − x = . 配方，得：x2 − x + = + ， x1= + = 1，x2= = . ± 用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边； ②二次项系数化为1，方程左、右两边同时除以二次项系数； ③配方，方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方； ④降次，利用平方根的意义降次； ⑤解两个一元一次方程，移项、合并同类项. 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 p . （1）当p>0时，则=±，方程有两个不等的实数根x1 =−+ ，x2 = −−； （2）当p=0时，则=0，方程有两个相等的实数根x1 = x2 =−； （3）当p<0时，因为对任意实数x，都有0，所以方程无实数根. 知识归纳 1．通过配成____________形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法． 完全平方 2．对于任意一元二次方程，用配方法解的一般步骤：(1)先化成____________； (2)将常数项移到等式右边； (3)两边除以____________； (4)方程两边都加上______________________； (5)将等式左边化成________________； (6)两边开方，并求出方程的解． 一般形式 二次项系数 一次项系数一半的平方 完全平方形式 (1)配方过程中，在等式两边加上的常数与一次项系数的关系如何？ 提出问题： (2)配方过程中，若等号右边为负数，这个方程有没有实数根？ (3)配方过程中还需注意哪些问题？ 例 1 例题与练习 (1) x2-8x+1=0； (2) 2x2+1=3x； (3) 3x2-6x+4=0. 分析： (1) 方程的二次项系数为1，直接运用配方法. 解下列方程： (2) 先把方程化成 2x2-3x+1=0.它的二次项系数为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1，为此方程的两边都除以2. (3) 与(2)类似，方程的两边都除以3后再配方. 解：移项，得：x2 − 8x = −1. (1) x2-8x+1=0； 配方，得：x2 − 8x + 42 = −1+ 42， (x − 4)2 = 15 x − 4 = ± x1= +，x2= . (2) 2x2+1=3x 解：移项，得：2x2 −3x = −1. 二次项系数化为1，得：x2 − x = − . 配方，得：x2 − x + = + ， x1= + = 1，x2= = . ± (3) 3x2-6x+4=0 因为 < 0, 解：移项，得：3x2 −6x = −4. 二次项系数化为1，得：x2 − x = − . 配方，得：x2 − x + = + ， 所以原方程无实数根. 例 2 求证：无论x为何值，代数式2x2－4x＋3的值恒大于0. 证明：2x2－4x＋3＝2(x2－2x＋) ∵(x－1)2≥0， ∴2(x－1)2＋1＞0， ∴无论x为何值，代数式2x2－4x＋3的值恒大于0. ＝2[(x－1)2＋] ＝2(x－1)2＋1. 二次三项式的配方与一元二次方程的配方有什么区别，请指出具体区别在什么地方？ 二次三项式配方时，不能除以二次项的系数，只能提取二次项的系数，并添上括号，再用配方法构造一个完全平方式；而一元二次方程配方时，两边除以二次项系数后，再用配方法构造一个完全平方式． 1.填空： (1) x2+10x +______= ( x +______)2； (2) x2−12x +______= ( x −______)2； (3) x2+5x +______= ( x +______)2； (4) x2− x +______= ( x −______)2. 25 5 36 6 解：移项，得 x2+10x =－9 配方，得 x2+10x +52 =－9+52 (x+5)2 =16 由此可得 x+5 =±4 x1= －1 ， x2=－9 2. 解下列方程： （1）x2+10x +9 = 0； 解：移项，得 x2 － x = 配方，得x2 － x +( )2 = + ( )2 (x － )2 = 2 由此可得 x－ =± x1= + ， x2= － （2）x2 －x － = 0； 解：移项，得 3x2+6x =4 二次项系数化为1，得 x2+2x = 配方，得 x2+2x +12 = +12 由此可得 x+1 =± x1= －1+ ， x2=－1－ (x +1)2 = （3）3x2+6x －4 = 0； 解：移项，得 4x2 －6x =3 二次项系数化为1，得 x2－ x = 配方，得 x2－ x +( )2 = +( )2 由此可得 x－ =± ， (x－ )2 = x1= ， x2= （4）4x2 －6x －3 = 0； 解：移项，得 x2+4x－2x=－11+9 x2+2x =－2 配方，得 x2+2x +12 = －2+12 原方程无实数根. (x +1)2 =－1 （5）x2+4x－9 = 2x－11； 解：移项，得x2 +4x = 8x+4 x2 －4x = 4 配方，得x2 －4x+22=4+22 由此可得x－2 =±2 x1= 2+2， x2= 2－2 (x－2)2 = 8 （6）x(x +4) = 8x+4. 3．代数式x2－8x＋18的值 (　 　) A．恒为正　　　 B．恒为负　　　 C．可能为0　　　D．不能确定 A 4．把方程2x2＋6x－1＝0配方后得(x＋m)2＝k，则m＝______，k＝______． 5．式子－x2－4x－5，可配方为－(x＋______)2______，该式有最______值，是______． 2 －1 大 －1 6．试证明：无论a为何实数，关于x的方程(a2－8a＋17)x2＋2ax＋1＝0都是一元二次方程． 证明：∵a2－8a＋17＝(a－4)2＋1＞0， ∴无论a为何实数，该方程都是一元二次方程． 课堂小结 1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤． 2．配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性，在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到． 随堂检测 1、用配方法解方程 x2−4x−1=0，配方后正确的是（ ） (x−2)2=5 B. (x−2)2=1 C. (x+2)2=5 D. (x−4)2=17 A 2、方程 x2+6x=5 配方后为（ ） A. (x+3)2=14 B. (x+3)2=9 C. (x−3)2=14 D. (x+6)2=41 A 3、将 x2−8x+m=0 配方得 (x−4)2=11，则 m 的值为（ ） 5 B. -5 C. 16 D. -11 B 作业布置 (1)教材P17　习题25.2第2，3题； (2)对应课时练习． $