26.4.3 非最值类抛物线形实际应用问题（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数解决非最值类抛物线形实际应用问题，通过展示抛物线形拱桥图片导入，连接二次函数解析式与图像知识，搭建从数学模型到实际问题的学习支架。 其亮点是以问题驱动探究，引导学生建立坐标系（几何直观，数学眼光），抽象坐标并推理函数解析式（推理能力，数学思维），课堂小结提炼五步法（模型意识，数学语言）。实例丰富如拱桥、秋千问题，助力学生发展抽象与应用能力，教师可直接使用案例提升教学效率。

26.4　实际问题与二次函数 第3课时 非最值类抛物线形实际应用问题 人教版 九年级 数学（上） 第26章 二次函数 新课导入 现实生活中你一定见过各式各样的抛物线形拱桥(如图)吧？能不能利用二次函数的知识解决与之相关的问题呢？ 2 探究新知 探究2 一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4m时，水面宽10m. 突降暴雨后水面上升1m，此时水面宽为多少？ 提出问题： 对于抛物线形拱桥，要是能知道此抛物线的函数解析式就好了．你能确定这条抛物线的函数解析式吗？ 水面上升1 m的含义是什么？ 怎样把距离转化成坐标？ 如何求宽度增加多少？ 你能先在图中建立一个恰当的平面直角坐标系，使抛物线形拱桥转化为坐标系中的抛物线吗？ 分析：二次函数的图象是抛物线，建立适当的平面直角坐标系，就可以根据已知条件求出这条抛物线对应的二次函数，进而解决问题． 为简单起见，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为 y轴，建立平面直角坐标系 . 解：设这条抛物线表示的二次函数为 y = ax2. 由抛物线经过点（5，−4），可得−4 = a× 52. 解得 a = − . 因此，这条抛物线对应的二次函数为 y =− x2. 当水面上升1m时，水面的纵坐标为−3. 则− x2 =−3 . 解得 x1 = ，x2 = − (舍去). 所以此时水面宽为5 . 你还有其他的解决方法吗？ 知识归纳 1．将线段长度转化为点的坐标问题． 2．利用点的坐标以及抛物线的特点，设出函数解析式并求解． 3．利用函数解析式求点的坐标，转化为线段的长度． 例 1 例题与练习 如图①，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB＝20 m，顶点M距水面6 m(即MO＝6 m)，小孔顶点N距水面4.5 m(即NC＝4.5 m)．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图②中的平面直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF. 解:设大孔对应的抛物线的函数解析式为y＝ax2＋6. 依题意，得B(10，0)， ∴a×102＋6＝0， 解得a＝－0.06， 当y＝4.5时，－0.06x2＋6＝4.5， ∴DE＝DF＝5 m， 即y＝－0.06x2＋6. 解得x＝±5. ∴EF＝10 m，即水面宽度EF为10 m． 例 2 如图，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方A，B距地面高都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子C处， 求绳子的最低点距地面的距离为多 少米？ 解：建立如图所示的平面直角坐标系． 可设它的函数解析式为y＝ax2＋k. 把B(1，2.5)，C(－0.5，1)代入， 得 ∴抛物线的函数解析式为y＝2x2＋0.5 . ∵a＝2＞0， ∴y有最小值， ∴当x＝0时，y最小＝0.5. 答：绳子的最低点距地面的距离为0.5 m． 解得 1．欢欢在今年的校运会跳远比赛中跳出了满意的一跳，函数h＝3.5t－4.9t2(t的单位：s，h的单位：m)可以描述她跳跃时重心高度随时间的变化关系，则她起跳后到重心到达最高时所用的时间是______s. 2．某学校九年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高m，与篮圈中心的水平距离为7 m，当球出手后水平距离为4 m时到达最大高度4 m，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3 m. (1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ 解：(1)能投中． 由题意，设篮球运行轨迹的抛物线为y＝a(x－4)2＋4. 易得其过点(0，)， ∴＝a×(0－4)2＋4， ∴y＝－(x－4)2＋4. 当x＝7时，y＝－×(7－4)2＋4＝3. ∴能投中． 解得a＝－， (2)此时，若对方队员乙在甲面前1 m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1 m，则他能否获得成功？ (2)当x＝1时，y＝3＜3.1， ∴能成功． 课堂小结 利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤： ①建立适当的平面直角坐标系； ②写出抛物线上的关键点的坐标； ③运用待定系数法求出函数解析式； ④求解数学问题； ⑤求解抛物线形实际问题． 随堂检测 1、某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水平宽度AB=1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，那么在如图所示的直角坐标系中，涵洞所在的抛物线的解析式是 . y = −3.75x2 2、一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/ 秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式 ，那么球弹起后又回到地面所花的时间是( ) A.5秒 B.10秒 C.1秒 D.2秒 D 3、在一名运动员的某次投篮中，篮球的运动路线是抛物线y=−x2+3.85的一部分（如图），若篮球投入篮筐，求运动员到篮筐正下方的距离l . 解：由题意得，y=−x2+3.85 把 y = 3.05 代入方程： 3.05 =−x2+3.85 解得：x1 = ，x2 = −(舍去). 运动员的位置在x=−3.2处, 篮筐正下方在x=2m处, 所以 l = 2−(−3.2) = 5.2 m 答：运动员到篮筐正下方的距离 l 为5.2 m . 4、对于探究2，在突降暴雨致水位上升1m后，有一艘装满物资的小船准备从桥下通过，这艘小船宽4m，船舱顶部为长方形，露出水面的部分高2m，这艘小船能从这座拱桥下通过吗？ 能通过 作业布置 (1)教材P55 　习题26.4第1，2题； (2)对应课时练习． $