11.2平面的基本事实与推论课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

该高中数学课件聚焦“平面的基本事实与推论”，通过“试验与发现”（如凳子固定点实验）和“情境与问题”（如刀截纸痕迹）导入，衔接初中几何基本事实，构建从直观认识到逻辑论证的学习支架。 其亮点在于以“探究新知”“尝试与发现”为主线，结合三线共面证明、正方体交线确定等实例，培养数学眼光（抽象空间形式）、数学思维（逻辑推理）和数学语言（符号表达）。学生能提升空间想象与推理能力，教师可依托结构化资源高效教学。

第十一章 立体几何初步 11.2 平面的基本事实与推论 《人教B版2019高中数学必修第四册》 探究新知 前面我们通过几何体的学习，已经直观地认识了点、线、面之间的位置关系，从本节开始，我们将在直观认识的基础上来论证它们之间的关系，以期进一步培养大家的空间想象能力与逻辑推理能力. 在初中几何中，大家通过实验、观察得到了如下的点与直线的基本事实： （1）连接两点的线中，线段最短； （2）过两点有一条直线，并且只有一条直线． 结论（2）也可简单地说成“两点确定一条直线”．事实上，通过指定的一个点可以作无数条直线；通过指定的三个点，不一定能作一条直线. 下面我们来总结出空间中关于平面的基本事实（也称为公理）. 基本事实1  经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面． 这也可以简单地说成“不共线的3点确定一个平面”，过不共线的3点A,B,C的平面，通常记作平面ABC.在用图形直观地表示平面时，为了增加立体感，习惯上将平面用平四边形表示．如图11-2-2中的平面α可以看成由不共线的 3点A,B,C确定的，此时显然有 A∈α,B∈α,C∈α. 探究新知 值得注意的是，如果给定的3个点在同一直线上，那么有无数个平面通过这3个点，也就是说，此时这3个点不能“确定”一个平面．例如，如果给定的3个点都在长方体的一条棱上，那么过这3个点就会有无数个平面. 基本事实2  如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. 探究新知 这就是说，如果A∈α,B∈α，那么直线AB⊂α，如图11-2-4所示． 基本事实2还可以作为判断一个面是否是平面的依据：如果一个面内的任意两点所确定的直线都在这个面内，那么这个面就是平面.例如，球面不是一个平面，因为球面上任意两点所确定的直线中，只有这两个点在球面上，如图11-2-5所示． 探究新知 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 基本事实3说明，两个不重合的平面，只要有一个公共点，就一定有无数个公共点，而且这无数个公共点能组成一条直线，这条直线通常也称为两个平面的交线．如图11-2-7所示，有 A∈a,α∩β=a. 同前面一样，在画两个平面相交时，其中一个平面被另一个平面遮住的部分应该画成虚线或不画，如图11-2-7(1)(2）所示． 根据基本事实3可知，棱柱中，有公共棱的两个面所在的平面一定是相交的，而且公共棱是交线的一部分. 由以上平面的基本事实可以得到如下推论. 推论1 经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面． 这实际上是由基本事实1与基本事实2得到的．如图11-2-8所示，在直线l上取两点A,B，因为C∉l，所以A,B,C3点不共线． 由基本事实1可知，A,B,C 确定一个平面，记为α. 由基本事实2以及A∈α,B∈a可知l⊂α. 推论1可以简单地说成“直线与直线外一点确定一个平面”. 类似地，还可以得到如下两个推论. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面． 推论2与推论3可以分别简单地说成“两条相交直线确定一个平面”“两条平行直线确定一个平面”. 如图所示，设已知a∩b=O，过b上任一点A作c//a， 则直线a,c确定一个平面，设为β．在直线c上取异于A的点B， 则A,B,O三点不共线， ∴A,B,O确定一个平面，设为α． ∴A∈α,B∈α，O∈α,∴b⊂α,c⊂α. 又O∈β，A∈β,B∈β,过O,A,B三点有且只有一个平面， ∴平面α与平面β重合， ∴a⊂α，即三线共面，∴这些平行线都共面． · · · b a c A B O 过平面内一点作平面内直线的平行线在该平面内. 探究新知 例1 证明：两两相交且不过同一个点的3条直线必在同一个平面内． 证明 设直线AB,BC,AC两两相交，交点分别为A,B,C. 显然，A,B,C3点不共线，因此它们能确定一个平面α． 因为A∈α B∈α，那么直线AB⊂α. 同理AC⊂α,BC⊂a. 即直线AB,BC,AC都在平面α内. 探究新知 例2 如图11-2-9所示正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱CC1上一点.试说明D1，A,E 3点确定的平面与平面ABCD相交，并画出这两个平面的交线. 解 因为 A∈平面D1AE,A∈平面ABCD， 所以平面D1AE∩平面ABCD≠∅，即平面D1AE与平面ABCD相交. 延长D1E与DC，设它们相交于F，如图11-2-10所示，则 F∈直线D1E，直线D1E⊂平面D1AE, F∈直线DC，直线DC⊂平面ABCD， 则F∈平面D1AE∩平面ABCD，从而AF为平面D1AE与平面ABCD 的交线，如图11-2-10所示． 习题11-2A ① 如果要把一个三角形固定在空间中，只需要固定它的3个顶点就可以了，为什么？ ② 判断下列命题的真假. （1）过一条直线的平面有无数多个； （2）如果两个平面有两个公共点A,B，那么它们就有无数多个公共点，并且这些公共点都在直线AB上； （3）两个平面的公共点组成的集合，可能是一条线段； （4）两个相交平面可能存在不在一条直线上的3个公共点． ③ 线段AB在平面α内，直线AB是否一定在平面α内？为什么？ ④ 如图所示，把三角板的一个角立在桌面上，三角板所在的平面与桌面所在的平面能否只有一个交点？ 不共线三个点确定一个平面. (1) 真命题； (2) 真命题； (3) 假命题;空集或直线 (4) 假命题. 由基本事实 2 可知，直线AB一定在平面α内. 由基本事实 3 可知，不能只有一个交点，必有一条通过交点的交线. 习题11-2A ⑤（1）为什么说梯形是平面图形？ （2）一个角一定是平面图形吗？为什么？ ⑥ 4条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形吗？不共面的4个点可以确定几个平面？ (1) 由推论 3 可知梯形的互相平行的一对底边所在的直线确定一个平面，记为α. 由基本事实 2 可知两条腰所在的直线也在这个平面α内，所以梯形是平面图形； (2) 一个角一定是平面图形。因为角的两条边所在的直线是相交直线，所以由推论 2 可知，这两条直线确定一个平面，因此角是平面图形. 不一定；可以确定 4 个平面.（四面体） 习题11-2B ①下列命题中，正确的是 ( ). （A)3点确定一个平面 （B）一条直线和一个点确定一个平面 （C）两个平面相交，可以只有一个公共点 （D）三角形是平面图形 ② 如果两个平面有3个公共点，则这两个平面一定重合吗？为什么？ ③ 如图所示的门，一边有固定在门框上的两个合页，另一边有锁.当不上锁时，门可以自由转动；当上锁时，门就被固定住了.将门看成平面的一部分，则上述不上锁与上锁的情形，可以用平面的哪个基本事实来说明？ D 不一定，三点共线时两个平面就可能不重合. 基本事实1  不共线的3点确定一个平面 习题11-2B ④ 用符号语言改写下列语句． （1）点A在平面α内，点B不在直线l上； （2）直线l在平面α内，直线m与平面a有且只有一个公共点M； （3）直线a和b相交于一点M； （4）平面α与平面β相交于过点A的直线l． ⑤如图所示是正方体ABCD−A1B1C1D1，分别指出空间中是否存在平面通过以下各组对象.如果存在，指出有多少个；如果不存在，说明理由. (1)A,B,C; (2)A,B,C1; (3)AB,BC1; (4) AC1,CC1; (5)A,B,C,C1 ; (6)AB,C,C1. (1)A∈α，B∉l； (2)l⊂α，m∩a=M； (3)a∩b=M； (4)α∩β=l，A∈l. (1)(2)(3)(4) 存在，1 个；(5)(6)不存在，因为C1∉平面ABC. 习题11-2B ⑥ 已知平面ABD与平面CBD相交于直线BD，直线EF与直线GH分别在这两个平面内且相交于点M，点M是否在直线BD上？为什么？ ⑦过已知直线外一点与这条直线上的3点，分别画3条直线．证明：这3条直线在同一个平面内. 因为EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD，EF∩GH=M，所以M∈平面ABD，因此M是平面ABD与平面CBD的公共点。又因为平面ABD∩平面CBD=BD，根据基本事实 3 可知M在交线BD上。 记直线l外一点为P，直线l上 3 点分别为A，B，C. 因为点P为直线l外一点，所以由推论 1 可知直线l和点P确定一个平面，记为平面α. 因为点A，B，C在直线l上，所以 3 点均在平面α内. 因此根据基本事实 2 可知直线PA，直线PB，直线PC在同一个平面内. 结论得证. 小结 基本事实1  经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面(不共线的3点确定一个平面)． 值得注意的是，如果给定的3个点在同一直线上，那么有无数个平面通过这3个点，也就是说，此时这3个点不能“确定”一个平面. 基本事实2  如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. 基本事实2还可以作为判断一个面是否是平面的依据：如果一个面内的任意两点所确定的直线都在这个面内，那么这个面就是平面. 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 基本事实3说明，两个不重合的平面，只要有一个公共点，就一定有无数个公共点，而且这无数个公共点能组成一条直线，这条直线通常也称为两个平面的交线. 小结 平面基本事实的推论 推论 推论1 推论2 推论3 自然 语言 经过一条直线与直线外一 点，有且只有一个平面. 经过两条相交直线， 有且只有一个平面. 经过两条平行直线，有且 只有一个平面. 图形 语言 （1）三个推论都可看作是基本事实1的变形，它们组成了确定平面的完整 体系，也是证明点、线共面的依据. （2）推论1中要注意“点必须是直线外一点”，当点在直线上时，有无数个平面. 巩固提升 1.如图，已知 ， ，， ，试判断直线与平 面 的位置关系. 因为，且 ，所以 ;同理，因为，且 ，所以 .故直线上有两点，在平面 内， 由基本事实2得直线 平面 . 2.如图,, ， , ,且,直线,过，， 三点的平面记作 ,则 与 的交线为( ) A.直线 B.直线 C.直线 D.直线 ,, .又,, .根据基本事实3可知，在 与 的交线上，同理可知，点也在 与 的交线上,所以 与 的交线为直线 . C 巩固提升 3.下列推理错误的是(　　) A.A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂α B.A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β=AB C.l⊄α,A∈l⇒A∉α D.A∈l,l⊂α⇒A∈α　　　　　　　　　 　　　　 C 4.(多选题)下列说法不正确的有(　　) A.如果一条直线与另两条直线都相交,那么这三条直线必共面 B.如果三条直线两两都相交,那么它们能确定一个平面 C.如果三条直线相互平行,那么这三条直线在同一个平面上 D.如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线确定一个平面 对于A,B,当三条直线交于同一点时,三条直线可能不共面,故A、B错误; 对于C,当三条直线相互平行时,三条直线可能不共面,故C错误;显然D正确. ABC 巩固提升 5.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱与底面边长均为2,点E,F分别为AC,CC1的中点,点D满足AD=AB,求证:B1,D,E,F四点共面. 证明　如图所示,取B1D的中点H,过H作HG⊥AB于G,连接HF,GC,则HG∥BB1. 因为H为B1D的中点,所以G为BD的中点,所以HG=BB1. 又CF∥BB1,且CF=BB1,所以HG∥CF,且HG=CF, 所以四边形HGCF是平行四边形,所以GC∥HF. 因为AD=AB,所以DG=DB=AB=AD. 又AE=EC,所以DE∥GC,所以DE∥HF,所以H,D,E,F四点共面, 又B1∈DH,所以B1,D,E,F四点共面. 巩固提升 6.如图，在平面 外，， ，.求证：，， 三点共线. ，， 平面 . 又平面， 平面， 由基本事实3可知，点在平面与平面 的交线上. 同理可证，两点也在平面与平面 的交线上，，， 三点共线. 方法 直线与直线确定平面 . 又，, 平面 平面 . 平面， 平面， 平面 . 又， 平面 . 又 ,，，， 三点共线. 巩固提升 因为DF与EG相交,所以平面EFGD∩平面ABCD=BD,所以直线EB,GD交于点B,故D正确;由以上分析知,G可为BD上任意一点,故A,B,C错误. 7.如图,在四棱锥E-ABCD中,点G在正方形ABCD内,点F在BE上,若DF与EG相交,则下列说法一定正确的是(　　) A.点G在AC上 B.BG=GD C.AG=GD D.直线EB,GD交于点B D 巩固提升 8.在四棱锥A-BCD中,在AB,BC,CD,DA上分别取点E,F,G,H,若GH,EF交于一点P,则(　　) A.P一定在直线BD上 B.P一定在直线AC上 C.P在直线AC或直线BD上 D.P既不在直线BD上,也不在直线AC上 由题意知GH⊂平面ADC. 因为GH,EF交于一点P,所以P∈平面ADC. 同理,P∈平面ABC. 因为平面ABC∩平面ADC=AC, 所以由基本事实3可知点P一定在直线AC上. B 巩固提升 9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为棱D1C1的中点,设AM与平面BB1D1D的交点为O,则(　) A.D1,O,B三点共线,且OB=2OD1 B.D1,O,B三点不共线,且OB=2OD1 C.D1,O,B三点共线,且OB=OD1 D.D1,O,B三点不共线,且OB=OD1 如图,连接AD1,BD1,BC1, 易知平面ABC1D1∩平面BB1D1D=BD1. ∵M为棱D1C1的中点,D1C1⊂平面ABC1D1,∴M∈平面ABC1D1. 又A∈平面ABC1D1,∴AM⊂平面ABC1D1. 又O∈AM,∴O∈平面ABC1D1. ∵AM与平面BB1D1D的交点为O,∴O∈平面BB1D1D, ∴O∈BD1,即D1,O,B三点共线. 易知D1M∥AB,且D1M=D1C1=AB, ∴OD1=BO,即OB=2OD1. A 巩固提升 10.如图所示，在四面体中，， 分别为，的中点，在上，在 上，且有.求证：，， 交于一点. 连接， .,分别为，的中点， . 又 ， ，，，，， 四点共面. 又， ， 与不平行，与 相交. 延长，，设交点为，则 平面 ， 平面，而平面 平面 , . 即，，交于一点 . 巩固提升 11.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别是棱AA1,CC1的中点,平面D1PQ∩平面ABCD=l,则下列结论错误的是(　　)  A.l过点B B.l不一定过点B C.D1P的延长线与DA的延长线的交点在l上 D.D1Q的延长线与DC的延长线的交点在l上 如图,连接PB,QB. 因为P,Q分别是棱AA1,CC1的中点,由勾股定理得D1P=D1Q=QB=BP,所以四边形D1PBQ是菱形,所以D1,P,B,Q四点共面,即B∈平面D1PBQ. 又B∈平面ABCD,所以B∈l,故A中结论正确,B中结论错误. 延长D1P,与DA的延长线交于点F, 延长D1Q,与DC的延长线交于点E. 因为D1F⊂平面D1PBQ,所以F∈平面D1PBQ. 因为DF⊂平面ABCD,所以F∈平面ABCD, 所以F∈l.同理,E∈l,故C,D中结论正确. B　 $