第二章 有理数及其运算【章末复习】（课件）2026-2027学年北师大版数学七年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了有理数的概念、运算及应用，涵盖有理数分类、数轴、相反数、绝对值等基础概念，以及加减乘除、乘方、混合运算等核心法则，通过知识框架图串联各知识点，构建从概念到运算再到实际应用的完整逻辑体系。 其亮点在于融合数学核心素养设计复习活动，如用“水位升降”实际问题培养应用意识，通过概念辨析题提升抽象能力，借助分类讨论和数形结合题发展推理意识。分层练习题从基础选择填空到综合解答题，满足不同学生需求，助力教师精准复习，有效巩固知识。

北师大版数学7年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月2日 章末复习 第二章 有理数及其运算 北师大版七年级上册数学第二章 有理数及其运算 全章总结与练习题 一、全章核心知识点总结 2.1 有理数基础 1. 正数与负数：表示生活中具有相反意义的量，0既不是正数，也不是负数。 2. 有理数分类：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）统称为有理数；有限小数、无限循环小数都属于分数。 3. 数轴：三要素为原点、正方向、单位长度；数轴上右边的数总大于左边的数。 4. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；互为相反数的两数和为0。 5. 绝对值：数轴上点到原点的距离，具有非负性；正数绝对值是本身，负数绝对值是相反数，0的绝对值是0。 2.2 有理数的加减运算 1. 加法法则：同号相加取同号，绝对值相加；异号相加取绝对值大数的符号，大减小；与0相加仍得原数。 2. 加法运算律：交换律a+b=b+a、结合律(a+b)+c=a+(b+c)，可凑零、凑整、同号结合简便运算。 3. 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，减法统一转化为加法运算。 4. 加减混合运算：统一为加法，省略括号和加号，利用运算律简便计算。 2.3 有理数的乘除运算 1. 乘法法则：同号得正、异号得负，绝对值相乘；任何数乘0得0；乘积为1的两数互为倒数，0没有倒数。 2. 乘法运算律：交换律、结合律、分配律，用于凑整简便运算。 3. 除法法则：同号得正、异号得负，绝对值相除；除以一个非0数，等于乘它的倒数；0不能作除数。 2.4 有理数的乘方与科学记数法 1. 乘方：求相同因数积的运算，结果叫幂；区分$$-a^n$$和$$(-a)^n$$，负数偶次幂为正、奇次幂为负。 2. 科学记数法：大数表示为$$a\times10^n$$（$$1\leqslant a < 10$$，n为整数位数减1）。 2.5 有理数混合运算与计算器运算 1. 混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内，同级运算从左到右。 2. 计算器运算：规范输入负数、括号、乘方，根据要求取近似数，规避输入格式错误。 二、全章综合练习题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各数中，属于负分数的是（） A. -5 B. 0 C. $$-\frac{1}{3}$$ D. 2.6 2. 数轴上距离原点5个单位长度的数是（） A. 5 B. -5 C. ±5 D. 0 3. 相反数等于本身的数是（） A. 1 B. 0 C. -1 D. 任意数 4. 计算(-3)+5的结果是（） A. -8 B. -2 C. 2 D. 8 5. 计算(-2)×(-4)的结果是（） A. -8 B. 8 C. -6 D. 6 6. 下列运算正确的是（） A. 0-5=5 B. (-6)÷2=3 C. $$(-3)^2=9$$ D. $$-2^2=4$$ 7. 科学记数法$$5.2\times10^4$$的原数是（） A. 5200 B. 52000 C. 520000 D. 520 8. 有理数混合运算先算（） A. 加减 B. 乘除 C. 乘方 D. 括号外 9. 绝对值最小的有理数是（） A. -1 B. 0 C. 1 D. 不存在 10. 简便计算13-25+12-13最优方法是（） A. 依次计算 B. 凑零结合 C. 凑整结合 D. 同号结合 二、填空题（每题3分，共30分） 1. 向东走10米记为+10米，向西走6米记为________米。 2. -2的相反数是________，绝对值是________。 3. 比较大小：-5________-3（填“>”“<”或“=”）。 4. 计算：0-(-7)=________，(-4)+4=________。 5. $$(-1)^3=$$________，$$(-1)^4=$$________。 6. 3600000用科学记数法表示为________。 7. 除以一个不为0的数，等于乘这个数的________。 8. 计算：(-6)÷$$\frac{1}{2}$$=________。 9. 有理数混合运算顺序：先乘方，再________，最后________。 10. 若|x|=4，则x=________。 三、计算题（每题4分，共24分） 1. (-18)+25-12 2. 4-(-9)+(-5) 3. (-3)×6÷(-2) 4. $$-2^3+(-4)^2$$ 5. $$\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)\times12$$ 6. -6+3×(-2)^2 四、解答题（每题8分，共16分） 1. 某天温度从-3℃上升8℃，又下降4℃，求最终温度。 2. 简述有理数加减、乘除、乘方运算的符号规律。 三、参考答案 一、选择题 1.C 2.C 3.B 4.C 5.B 6.C 7.B 8.C 9.B 10.B 二、填空题 1.-6 2.2、2 3.< 4.7、0 5.-1、1 6.$$3.6\times10^6$$ 7.倒数 8.-12 9.乘除、加减 10.±4 三、计算题 1. 原式=7-12=-5 2. 原式=4+9-5=8 3. 原式=-18÷(-2)=9 4. 原式=-8+16=8 5. 原式=6-4=2 6. 原式=-6+3×4=-6+12=6 四、解答题 1. 列式：-3+8-4=1（℃），答：最终温度为1℃。 2. 加减：同号相加取同号，异号相加取大数符号；减法转化为加法判断符号。乘除：同号得正、异号得负。乘方：正数任意次幂为正；负数偶次幂为正、奇次幂为负；0的正整数次幂为0。 一、有理数的基本概念 1.负数 2.有理数 3.数轴 4.相反数 5.倒数 6.有理数的绝对值 7.有理数大小的比较 8.科学记数法 1.负数 在正数前面加“-”的数； 0 既不是正数，也不是负数. 整数和分数统称有理数. 2.有理数 （ ）数 （ ）数 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 有理数 正整数 零 负整数 正分数 负分数 整 分 3.数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 （1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； （2）正数都大于0，负数都小于0；正数大于一切负数； （3）所有有理数都可以用数轴上的点表示. 4.相反数 如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 （1）数a的相反数是-a（a是任意一个有理数）； （2）0的相反数是0； （3）若a、b互为相反数，则 a+b = 0. 5.倒数 如果两个有理数的乘积为1，那么称其中的一个数是另一个数的倒数. （1）a 的倒数是 （a ≠ 0）； （3）若 a 与 b 互为倒数，则 ab = 1. （2）0没有倒数 ； 6.有理数的绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 3 若 a＞0，则︱a︱= ____； 若 a＜0，则︱a︱= ____； 若 a = 0，则︱a︱= ____. a （1） -a 0 （2）对任何有理数 a，总有︱a︱≥0. 7.有理数的大小比较 （1）利用数轴比较： 在数轴上的两个数，右边的数 总比左边的数大； 正数都大于0，负数都小于0； 正数大于一切负数. （2）利用绝对值比较 两个负数比较大小，绝对值大的反而小. 若 a＜0，b＜0，且︱a︱＞︱b︱，则a ＜ b. 一般地，一个大于 10 的数可以表示成 a×10n 的形式，其中 1 ≤ a < 10，n 是正整数，这种记数方法叫做科学记数法. 8.科学记数法 55 000 000 = 5.5×107 二、有理数的运算 1.有理数加法法则 （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 若a>0，b>0，则 a + b = |a| + |b| 若a<0，b<0，则 a + b = -( |a| + |b| ) （2）异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 若a>0，b<0，|a| > |b|，则a + b = |a| - |b|. 若a>0，b<0，|a| < |b|，则a + b = -(|b| - |a|). （3）一个数同0相加，仍得这个数. a 是任一个有理数，则 a + 0 = a. 2.有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数. a - b = a + ( - b ) 3.有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 任何数同0相乘，积仍为0. 若a>0，b>0，则 ab = +|a|×|b|. 若a<0，b<0，则 ab = +|a|×|b|. 若a>0，b<0，则 ab = -|a|×|b|. 若a<0，b>0，则 ab = -|a|×|b|. 同号 异号 4.有理数除法法则 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何一个不等于0的数，都得0. 除以一个数等于乘上这个数的倒数. a÷b = a× (b ≠ 0) 5.有理数的乘方 求 n 个相同因数 a 的积的运算叫做乘方. a×a ×… ×a ×a n个a = an 正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数. 混合运算 先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的. 有理数的运算律 加法交换律 a + b = b + a 加法结合律 (a + b ) + c = a + ( b + c ) 乘法交换律 乘法结合律 ab = ba (ab)c=a(bc) 乘法对加法的分配律 a( b + c ) = ab + ac 考点1 有理数的有关概念 1. 下列说法中正确的是( ) D A. 0是最小的整数 B. 有理数不是正数就是负数 C. 一定是负数 D. 整数和分数统称为有理数 返回 考试考法 26 2. 如图，数轴上的三点，，所表示的数分别为，， 且满足， ，则原点在( ) B A. 点 左侧 B. 点点之间（不含点点 ） C. 点点之间（不含点点 ） D. 点 右侧 返回 考试考法 27 3. 若，则 的值可以是 ____________________（写出一个即可）. （答案不唯一） 返回 考试考法 28 4.已知：，互为相反数，， 互为倒数， ，求 的值. 考试考法 29 【解】因为，互为相反数，所以 . 因为，互为倒数，所以 . 因为 ， 所以且，解得且 . 所以 . 返回 考试考法 30 考点2 有理数的运算 5. ［2025北京西城区期末］对任意两个有理数, 定义如下 运算： .有下列四个结论： ；; ;④若 ，则 ，其中所有正确结论的序号是( ) B A. ①② B. ③ C. ①③ D. ③④ 返回 考试考法 31 6.计算： （1） ； 【解】 . 考试考法 32 （2） ； . （3） ； . 考试考法 33 （4） . . 返回 考试考法 34 考点3 有理数的实际应用 7.有一个水库某天8:00的水位为 （以警戒线为基准， 记高于警戒线的水位为正），在以后的6个时刻测得的水位 升降情况如下（记上升为正，单位：）：， ，0， ，， . （1）经这6次水位升降后，水库的水位超过警戒线了吗？ 【解】 所以水库的水位未超过警戒线. 考试考法 35 （2）现在由于下暴雨，水库水位以 的速度上升，指 挥部要求水位降至警戒线以下（含 ），现在水库匀速 泄水，可使静态水位按 的速度下降，为达到指挥部最 低要求，求水库需放水的时间. . 所以水库需放水 . 返回 考试考法 36 考点4 科学记数法和近似数 8. 长白山天池是由火山口积水成湖，天池湖水碧蓝，水平如 镜，群峰倒映，风景秀丽，总蓄水量约达 . 数据2 040 000 000用科学记数法表示为( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 37 9. 下列说法正确的是( ) C A. 近似数 精确到十分位 B. 近似数1.28万精确到百分位 C. 数3.9953精确到百分位为4.00 D. 近似数6.5与6.50精确度相同 返回 考试考法 38 思想1 从特殊到一般的思想 10. 有一列数：，，，， ，则它 的第7个数是___，第 个数是_____________. 【点拨】由分子、分母可看出第个数的分子为 ，分母为 ，再看第奇数个的符号总是正，第偶数个的符号总为 负，故符号可由来确定，所以第 个数为 ，将代入即可求得第7个数为 . 返回 考试考法 39 11. 观察下列等式：，，， ， ，，， ,则 的末位数字是( ) D A. 0 B. 2 C. 3 D. 9 【点拨】因为，，， ， ，，， ，所以 的末位数字 每4个一循环.因为 ，且 ，所以 的末 位数字等于 的末位数字，即为9. 返回 考试考法 40 思想2 数形结合思想 12. 如图，点和点表示的数分别为和 ，下列式子中，不 正确的是( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 41 思想3 分类讨论思想 13.，，则 的值是______. 2或6 【点拨】因为，所以，所以 .又因 为，所以，所以，所以 . 当，时，，当， 时，，综上， 的值为2或6. 返回 考试考法 42 $