江西吉安市四所省重点中学2025-2026学年高一下学期第三次联考数学试卷

江西吉安市四所省重点中学2025—2026学年高一下学期第三次联考 数学试卷 一、单选题（每小题5分，共40分．） 1．平面向量，满足，，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 2．在中，为的中点，点满足，则（ ） A． B． C． D． 3．复数在复平面内对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知为钝角，向量，，若，则（ ） A． B． C． D．或 5．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中错误的命题是（ ） A．在中，若，则 B．若，，，则有唯一解 C．若，则是等腰三角形或直角三角形 D．若，则角 6．已知函数对任意，都有，以下关于的命题，正确的是（ ） A．函数在区间上单调递增 B．直线是函数图像的一条对称轴 C．点是函数图像的一个对称中心 D．将函数图像向右平移个单位，可得到的图像 7．已知中，是上的点，平分，且面积是面积的2倍，，，则的长度为（ ） A． B．2 C． D．3 8．已知函数（，）的图象关于对称，且，在上单调递增，则的所有取值的个数是（ ） A．3 B．4 C．1 D．2 二、多选题（每小题6分，共18分；每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分．） 9．已知向量，，，其中，均为正数，且，下列说法正确的是（ ） A．与的夹角为钝角 B．向量在方向上的投影为 C． D．的最大值为2 10．设，为复数，下列说法正确的是（ ） A． B． C．若，则 D．若，则 11．已知函数，则（ ） A．曲线的对称轴为， B．在区间上单调递增 C．的最大值为 D．在区间上的所有零点之和为 三、填空题（每小题5分，共15分．） 12．已知，则的值等于__________． 13．写出一个与向量共线的单位向量__________． 14．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的（）倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是__________． 四、解答题（本大题有5小题，第15题13分，第16、17题各15分，第18、19题各17分，总共77分．） 15．已知函数 （1）用“五点法”画出函数在一个周期内的图象；列表： 0 作图： （2）直接写出函数的值域和单调递增区间． 16．在中，点D，E分别在边和边上，且，，交于点，设，. （1）试用，表示； （2）点在边上，且满足B，P，F三点共线，试确定点的位置． 17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． （1）证明：是钝角三角形； （2）平分，且交于点，若，求的周长． 18．如图所示为灌溉工具——筒车的示意图，已知筒车的半径为4米．转轴与水面的距离为2米，水深为3米．筒车其边缘上一点从图示位置开始随筒车逆时针匀速旋转（同时开始计时），设匀速旋转一周的时间为秒，从计时起旋转时间为秒；点与水底的距离为米． （1）当时： ①直接写出关于的函数表达式；②求前120秒内，点与水底的距离为7米时的值； （2）若当时，点一直处于水中（含水面上），求的取值范围． 19．已知函数． （1）求函数的对称中心和单调减区间； （2）若函数，，，使，（），求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $第三次联考数学试卷答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 B B D D C A D CD BC 题号 11 答案 BC 13. _34 5'5 (答案不唯一) n (a 15.(1)答案见解析； (2)值域为[-3,3]， 递增区间为 元+4k,3 π+4km,keZ. 【详解】(1)列表： 2π 5π 8π 11π 14π 3 3 3 3 3 1 元 x- 0 π 2π 2 3 2 2 0 0 -3 0 图象如图所示： 3 (2) 因为-1≤sm行-到1，则y=3sn行-引e-3,博值城-3，司 由受+2版-骨号2海都有骨+4版≤5子4版，及e2. 2 3 16.)BP=a+46 (2)AF-1AC 5 【详解】(1) E D B D 在△ABC中，由BE=2HB,可得BE-2BA,且BC=3BD, 设EP=tEC,则 B即-E+EP-旺+BC-E+c-到-1-E+c-1-0ai3D. 因为A,D三点共线，可得号-小+3=1，解将1=号 2》 D 设AF=xAC=xa-b),所以BF=BA+AF=xa+1-x)6, 国为研-+6，又四为R片三点其线，所以丽=研， 即BF= 1 +4方，又因为BF=Xā+-xb,由平面向量基本定理得 7k 所以 7k 4 ,相有x写周uF清起F-写C。 =1-x 7k 17.(1)证明见解析 (2)6V2+9 【详解】(1)在△ABC中，asinA-bsinB=c(sinB+sinC),由正弦定理得a2-b2=cb+c,即 6+cc,由余续定程行60=公城c口分因为0天4长·所以4 2bc 2元，所以 3 △ABC是钝角三角形. 2)因为5ax=besin4=5 1 bc, 2 4 且5，c=5m+5amX1 xexsin骨+分x1xb×sn背-怎b+e,所以c=b+e. 1 32 34 验症速：01E+c72:b+c-20c-72b+d-20+Q2人号 2bc 2be 2(b+c 解得b+c=9或b+c=-8(舍去)，所以a+b+c=6V2+9, 所以△ABC的周长为6V2+9. 18.(1)①h=4sin -+5,t∈[0，+w)；②1=20或t=60. 606 (2)[150,1801. 【详解】(1)①由题意得h=4sin πtπ +5,t∈0，+oo） 606 ②由题意h=7,0≤t≤120， 即4sin πtπ +5=7,化简得sin πtπ）1 606 60621 则_下元 不+2k标或-刀-5π+2km, 6066 6066 解得t=20+120k或t=60+120k(keZ) 又由于0≤t≤120，所以t=20或t=60. (2)由(1)得，h=4sin 2t_π+5， to 6 由题意得，当120≤t≤150时，h≤3恒成立， 即4sin 2_刀+5≤3，化简得sin t。6 to 6 2 故-5红+2km≤2-卫≤-五+2km,解得-专+，≤1≤， 6 t。6 6 3 -0+k≤120 所2015∈[+]小 解得150 .360 t 3k-1 kt。≥150 由于。>0，则k=1,因此t。∈[150,180 19.(1)对称中心： 〔+经 (k∈Z),单调减区间： 2+k (kEZ) (2)a∈-o,-V5 【详解】D由@意/到=45 Scorin+君-石 =6cosxsinx +2v3cos2x-3=3sin2x+3cos2x =26sn2x+8 令2x+2=km,keZ,x=-+,k∈Z, 6 122 故对称中心为 L元+证，0(keZ: 、122, 令经2a≤2x+后经2a,keZ,n≤r 62 6 2元+k,k∈Z, 故单调减区间为 6 2π+km,(k∈Z). +k, (2)由x∈[0,1，知gx∈[1,3]， 感意可知多到的位拨为y=a✉在0引上信城的了案， 且ae0,2+g[ 故fx)∈[-3,25] 而a<0,故af(xe[23a,-v3a, 加w