精品解析：2026年云南楚雄彝族自治州双柏县初中学业水平考试数学测试卷（二模）

2026年初中学业水平考试 数学测试卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 一、选择题（本题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 魏晋时期数学家刘徽在注释《九章算术》时，提出用不同颜色算筹表示正负数来刻画相反意义的量．若以红色算筹表示盈利，如果商家本月盈利300元用红色算筹记作元，那么亏损100元用黑色算筹应记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 200元 2. 2025年3月日，丽江现代花卉产业园日处理鲜切花达150000枝．将150000用科学记数法可以表示为（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，已知，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 反比例函数的图象位于（ ）． A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 为了解学生对“生命、生态与安全”课程的学习掌握情况，学校从八年级学生中随机抽取了20名学生进行综合测试．本次测试共有10道题目，答对题数的情况如下表： 答对题数（道） 6 7 8 9 10 人数 1 8 6 3 2 本次参加测试学生答对题数的中位数和众数分别是（ ）． A. 7和7 B. 7和8 C. 8和7 D. 8和8 7. 在课后特色服务课中，某同学以细腻的铅笔线条勾勒圆柱，双圆底面规整，侧面线条利落，明暗得当，极具美感与立体感．下列图形是圆柱俯视图的是（ ）． A. B. C. D. 8. 按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式是（ ）． A. B. C. D. 9. 下列四个选项中的汉字属于轴对称图形的是（ ）． A. 奋 B. 进 C. 中 D. 国 10. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. 4 B. 1 C. D. 11. 下列度数中，是六边形内角和度数的是（ ）． A. B. C. D. 12. 如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝140°，则∠D的度数是（　　） A. 20° B. 30° C. 40° D. 70° 13. 函数y=中，自变量x的取值范围是（ ） A. x＞7 B. x≤7 C. x≥7 D. x<7 14. 某社区图书室2月初的借阅人次为3600次．通过增设便民服务和开展阅读推广活动，4月初的借阅人次达到6400次．若设2～4月该社区图书室借阅人次的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 15. 学校要修建一个长为12米，宽为7米的矩形花坛，规划时需要确定花坛对角线长度来安排灌溉管道走向．通过计算，对角线的长度为米．以下对该对角线长度的估计，正确的是（ ）． A. 在13米和14米之间 B. 在14米和15米之间 C. 在15米和16米之间 D. 在16米和17米之间 二、填空题（本题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式：x2－9＝______． 17. 如图，在中，点分别是边上的点，连接，若，且， ，则的值是________． 18. 为加强青少年科学健身普及和健康干预，让年轻一代在运动中强意志、健身心，学校开设了“一人一球”体育拓展课程，学生可根据自己的喜好选择一门球类项目（A：篮球；B：足球；C：排球；D：羽毛球；E：乒乓球）．某兴趣小组随机对该校部分学生的选择情况进行调查，将收集到的数据进行整理并绘制成如下两幅统计图，则此次调查的学生总数是___________． 19. 为响应学校举办的“手工制作创新大赛”，数学兴趣小组要制作一批圆锥形的无盖铁皮灯罩，每个灯罩的高为，母线长为．为了预算制作一个灯罩所需要的铁皮面积，经计算可知该圆锥侧面展开图的面积为________． 三、解答题（本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 计算：． 21. 如图，已知，平分， 求证：． 22. 新能源汽车有着动力强、能耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．在新能源电池正极材料的制备过程中，锰是不可或缺的重要元素．现安排甲、乙两个采矿队开采锰矿石，已知甲队每天的开采量是乙队每天开采量的倍，甲队开采吨锰矿石所用时间比乙队开采同样数量的锰矿石所用时间少天，求甲、乙两队每天开采锰矿石的量各为多少吨？ 23. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》和《中庸》．它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．下面是正面印有“四书”字样的书签A，B，C，D，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好． （1）从中随机抽取1张，抽到“孟子”书签的概率是____________． （2）从中随机一次性抽取2张，用列表法或画树状图法，求随机抽取的2张书签恰好是“孟子”和“大学”的概率． 24. 如图，在菱形中，对角线与交于点O，过点D作交的延长线于点E，在上截取，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 25. 昆明被誉为“春城”，四季如春的气候是它最迷人的招牌.据统计，2025年春节期间，昆明市累计接待国内游客万人次．这里不仅是享誉世界的“春城”和“花都”，更有种类繁多的特色小吃.烧饵块是昆明的传统小吃，外皮酥脆，内馅丰富，咬一口满嘴米香．凉米线是昆明的传统小吃，米线滑嫩，调料丰富，咬一口满嘴鲜香.“烧饵块”“凉米线”摊位前排满了游客，若购买凉米线4份，烧饵块2份需要48元；购买凉米线2份，烧饵块4份需要54元． （1）求凉米线，烧饵块每份的售价． （2）据调查，某商家制作1份凉米线需要成本4元，1份烧饵块需要成本6元．该商家结合市场需求，某天可售卖凉米线和烧饵块共1000份，且凉米线的数量不少于烧饵块的3倍．若商家售完这1000份特色小吃，可获得的最大利润是多少？ 26. 在平面直角坐标系中，抛物线（和均为常数）与轴交于点，与轴的交点的横坐标为．当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． （1）求抛物线的解析式； （2）若，求证：． 27. 如图，已知为的直径，F为上一点，平分且交于点C，过点C作于点D，延长交于点E，连接． （1）若，求的半径； （2）求证：是的切线； （3）是否存在常数，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平考试 数学测试卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 一、选择题（本题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 魏晋时期数学家刘徽在注释《九章算术》时，提出用不同颜色算筹表示正负数来刻画相反意义的量．若以红色算筹表示盈利，如果商家本月盈利300元用红色算筹记作元，那么亏损100元用黑色算筹应记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 200元 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知盈利的记法，按相反意义即可推出亏损的记法． 【详解】解：∵盈利元记作元， ∴亏损元应记作元． 2. 2025年3月日，丽江现代花卉产业园日处理鲜切花达150000枝．将150000用科学记数法可以表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 3. 如图，已知，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线的性质，结合对顶角相等进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 4. 反比例函数的图象位于（ ）． A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数中的符号，即可判断图象所在象限，当时，图象位于第一、三象限，当时，图象位于第二、四象限． 【详解】解：反比例函数中，， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂相乘、积的乘方、同底数幂相除，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 6. 为了解学生对“生命、生态与安全”课程的学习掌握情况，学校从八年级学生中随机抽取了20名学生进行综合测试．本次测试共有10道题目，答对题数的情况如下表： 答对题数（道） 6 7 8 9 10 人数 1 8 6 3 2 本次参加测试学生答对题数的中位数和众数分别是（ ）． A. 7和7 B. 7和8 C. 8和7 D. 8和8 【答案】C 【解析】 【分析】一组数据中出现次数最多的数是众数，将数据从小到大排列后，若数据个数为偶数，中位数是中间两个数的平均数． 【详解】解：∵答对题数为7道的人数最多，有8人， ∴众数为7， 总共有20个数据，将数据从小到大排列后，中位数是第10个和第11个数据的平均数， ∵答对6题的有1人，答对7题的有8人，前个数据都不超过7道，因此第10和第11个数据都为8， ∴中位数为． 7. 在课后特色服务课中，某同学以细腻的铅笔线条勾勒圆柱，双圆底面规整，侧面线条利落，明暗得当，极具美感与立体感．下列图形是圆柱俯视图的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：圆柱的俯视图是一个圆形，只有选项B符合，而选项D是圆锥的俯视图． 8. 按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别观察单项式中x的指数，系数的分子，系数的分母的变化规律，归纳即可得到第n个单项式的表达式． 【详解】解：将第一个单项式变形为，分别观察各部分规律： ∵第个单项式中，的指数等于序号； 系数的分子依次为，第个单项式系数的分子为； 系数的分母依次为，是连续奇数，第个单项式系数的分母为； ∴第个单项式为． 9. 下列四个选项中的汉字属于轴对称图形的是（ ）． A. 奋 B. 进 C. 中 D. 国 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵选项A的“奋”，选项B的“进”，选项D的“国”，均无法找到一条直线使图形沿直线折叠后直线两旁部分完全重合， ∴这三个选项都不是轴对称图形； ∵选项C的“中”沿竖直中间的一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合， ∴“中”是轴对称图形． 10. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. 4 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到根的判别式，求出a的值即可． 【详解】解：∵ 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 11. 下列度数中，是六边形内角和度数的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用多边形内角和公式代入边数即可求出结果． 【详解】解：∵多边形内角和公式为，其中为多边形的边数，六边形的边数， ∴六边形内角和的度数是． 12. 如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝140°，则∠D的度数是（　　） A. 20° B. 30° C. 40° D. 70° 【答案】A 【解析】 【分析】根据邻补角的性质，求出∠BOC的值，再根据圆周角与圆心角的关系求出∠D的度数即可． 【详解】∵∠AOC＝140°， ∴∠BOC＝180°-∠AOC=40°， ∵∠BOC 与∠BDC 都对， ∴∠D＝∠BOC＝20°， 故选A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，知道同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键． 13. 函数y=中，自变量x的取值范围是（ ） A. x＞7 B. x≤7 C. x≥7 D. x<7 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件是：被开方数是非负数，据此即可求解． 【详解】根据题意得：x−7≥0， 解得：x≥7. 故选C. 【点睛】考查二次根式有意义的条件，被开方数大于或等于0. 14. 某社区图书室2月初的借阅人次为3600次．通过增设便民服务和开展阅读推广活动，4月初的借阅人次达到6400次．若设2～4月该社区图书室借阅人次的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据初始量结合月平均增长率，推导两个月后的借阅人次，即可列出正确方程． 【详解】解：∵2月初借阅人次为，月平均增长率为， ∴3月初借阅人次为 ， ∴4月初借阅人次为， 又∵4月初借阅人次为， ∴可列方程． 15. 学校要修建一个长为12米，宽为7米的矩形花坛，规划时需要确定花坛对角线长度来安排灌溉管道走向．通过计算，对角线的长度为米．以下对该对角线长度的估计，正确的是（ ）． A. 在13米和14米之间 B. 在14米和15米之间 C. 在15米和16米之间 D. 在16米和17米之间 【答案】A 【解析】 【分析】找到与193相邻的两个完全平方数，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵，，， ∴， 即， 因此对角线长度在13米和14米之间． 二、填空题（本题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式：x2－9＝______． 【答案】(x＋3)(x－3) 【解析】 【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3）， 故答案为：（x+3）（x-3）. 17. 如图，在中，点分别是边上的点，连接，若，且， ，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意求出，证明，根据相似三角形的性质得到比例式，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：． 18. 为加强青少年科学健身普及和健康干预，让年轻一代在运动中强意志、健身心，学校开设了“一人一球”体育拓展课程，学生可根据自己的喜好选择一门球类项目（A：篮球；B：足球；C：排球；D：羽毛球；E：乒乓球）．某兴趣小组随机对该校部分学生的选择情况进行调查，将收集到的数据进行整理并绘制成如下两幅统计图，则此次调查的学生总数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据A组的人数和占比，反推样本容量即可． 【详解】解：由统计图可知，A组的学生人数为人，占比为， ∴调查的学生总数为（人）． 19. 为响应学校举办的“手工制作创新大赛”，数学兴趣小组要制作一批圆锥形的无盖铁皮灯罩，每个灯罩的高为，母线长为．为了预算制作一个灯罩所需要的铁皮面积，经计算可知该圆锥侧面展开图的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出圆锥底面圆的半径，再根据圆锥侧面积公式计算侧面展开图的面积，即可得到结果． 【详解】解：设圆锥的底面半径为，高，母线长． 由勾股定理得． ∴． 三、解答题（本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 21. 如图，已知，平分， 求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查对全等三角形的判定，三角形的角平分线定义；根据角平分线的定义得出，根据即可证出答案． 【详解】证明：平分， ， 在和中 ， ． 22. 新能源汽车有着动力强、能耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．在新能源电池正极材料的制备过程中，锰是不可或缺的重要元素．现安排甲、乙两个采矿队开采锰矿石，已知甲队每天的开采量是乙队每天开采量的倍，甲队开采吨锰矿石所用时间比乙队开采同样数量的锰矿石所用时间少天，求甲、乙两队每天开采锰矿石的量各为多少吨？ 【答案】吨、吨 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，熟练根据题意正确设元并列出等式是解题的关键．设乙队每天开采锰矿石的量为吨，利用“甲队每天的开采量是乙队每天开采量的倍”得甲队每天开采锰矿石的量为吨，利用“甲队开采吨锰矿石所用时间比乙队开采同样数量的锰矿石所用时间少天”列式，求解即可． 【详解】解：设乙队每天开采锰矿石的量为吨，则甲队每天开采锰矿石的量为吨， 根据题意，得：， 解得：（吨）， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （吨）， 答：甲、乙两队每天开采锰矿石的量分别为吨、吨． 23. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》和《中庸》．它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．下面是正面印有“四书”字样的书签A，B，C，D，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好． （1）从中随机抽取1张，抽到“孟子”书签的概率是____________． （2）从中随机一次性抽取2张，用列表法或画树状图法，求随机抽取的2张书签恰好是“孟子”和“大学”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式进行计算即可； （2）用列表法表示所有可能结果，再计算概率即可． 【小问1详解】 解：∵共有4种等可能的结果， ∴抽到“孟子”书签的概率为； 【小问2详解】 解：根据题意，列表如下： A B C D A B C D 由上表可知，共有12种等可能出现的结果，其中随机抽取的2张书签恰好是“孟子”和“大学”的结果共有2种， ∴随机抽取的2张书签恰好是“孟子”和“大学”的概率为． 24. 如图，在菱形中，对角线与交于点O，过点D作交的延长线于点E，在上截取，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是：熟练掌握菱形的性质. （1）先证明四边形是平行四边形，然后利用矩形的判定即可得证； （2）先利用菱形的性质得出， ，，然后勾股定理求出，然后利用等面积法求出，即可求解. 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，对角线与交于点O ，，， ， ， 菱形的面积 ， ， ∵四边形是矩形， ． 25. 昆明被誉为“春城”，四季如春的气候是它最迷人的招牌.据统计，2025年春节期间，昆明市累计接待国内游客万人次．这里不仅是享誉世界的“春城”和“花都”，更有种类繁多的特色小吃.烧饵块是昆明的传统小吃，外皮酥脆，内馅丰富，咬一口满嘴米香．凉米线是昆明的传统小吃，米线滑嫩，调料丰富，咬一口满嘴鲜香.“烧饵块”“凉米线”摊位前排满了游客，若购买凉米线4份，烧饵块2份需要48元；购买凉米线2份，烧饵块4份需要54元． （1）求凉米线，烧饵块每份的售价． （2）据调查，某商家制作1份凉米线需要成本4元，1份烧饵块需要成本6元．该商家结合市场需求，某天可售卖凉米线和烧饵块共1000份，且凉米线的数量不少于烧饵块的3倍．若商家售完这1000份特色小吃，可获得的最大利润是多少？ 【答案】（1）每份凉米线的售价是7元，每份烧饵块的售价是10元 （2）商家售完这1000份特色小吃，可获得的最大利润是3250元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用： （1）设每份凉米线的售价是x元，每份烧饵块的售价是y元，根据“购买凉米线4份，烧饵块2份需要48元；购买凉米线2份，烧饵块4份需要54元”列出方程组，即可求解； （2）设售出m份凉米线，则售出份烧饵块，根据“某天可售卖凉米线和烧饵块共1000份，且凉米线的数量不少于烧饵块的3倍”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，设总利润为w元，利用总利润=销售利润×销售数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设每份凉米线的售价是x元，每份烧饵块的售价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：每份凉米线的售价是7元，每份烧饵块的售价是10元； 【小问2详解】 解：设售出m份凉米线，则售出份烧饵块， 根据题意得：， 解得：， 设商家售完这1000份特色小吃获得的总利润为w元， 则， 即， ， 随m的增大而减小， 当时，w取得最大值，最大值为（元）， 答：商家售完这1000份特色小吃，可获得的最大利润是3250元． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线（和均为常数）与轴交于点，与轴的交点的横坐标为．当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． （1）求抛物线的解析式； （2）若，求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象性质，完全平方公式，熟练掌握运算法则和二次函数的图象性质是解题的关键． （1）利用二次函数的图象性质得到抛物线的对称轴为，即，再把代入运算即可； （2）运算化简式子后，再根据图象性质分析求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线， 当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， ∴抛物线的对称轴为，即， ∵与轴交于点， ∴， 即，解得，， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 证明：由（1）可得，抛物线的解析式为， ∵抛物线与轴的交点的横坐标为m， ∴，即， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，，当时，， ∵当时，随的增大而减小， ∴，则， ∴，即． 27. 如图，已知为的直径，F为上一点，平分且交于点C，过点C作于点D，延长交于点E，连接． （1）若，求的半径； （2）求证：是的切线； （3）是否存在常数，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）存在，且k的值为2 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理可知，然后根据勾股定理求解即可； （2）连接，证明得，再证明，进而可证是的切线； （3）过点C作于点G，则，根据证明得，再根据证明得，进而可求出． 【小问1详解】 ∵为的直径， ∴， ∵， 在中，由勾股定理可得： ∴， ， 故的半径长为； 【小问2详解】 如图，连接 为的直径， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 是⊙O的半径， 是⊙O的切线； 【小问3详解】 存在，且k的值为2； 过点C作于点G， ， 在与中， ， ， ， 平分， ． ∴， ． 在与中， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，切线的判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握圆的性质是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $