21.2平行四边形 单元题型专项训练 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 以“性质判定—中点技巧—模型应用”为逻辑主线，系统整合平行四边形及特殊四边形知识，提炼辅助线构造与模型迁移方法，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行四边形及特殊四边形性质与判定|8题（含矩形、菱形、正方形判定）|性质判定互逆应用；等边三角形、角平分线等综合论证|从平行四边形到特殊四边形，性质与判定层层递进，构建“定义—性质—判定”逻辑链| |中点处理技巧|4题（中位线、直角三角形斜中线）|构造中位线转化线段关系；斜中线性质简化计算|基于中点性质，通过辅助线构造实现已知与未知的转化，体现转化思想| |正方形几何模型|1题（含一线三等角、半角模型）|一线三等角全等构造；半角模型线段和差关系|以正方形为载体，整合“模型引入—探究—应用—变式”，强化模型意识与迁移能力|

平行四边形 单元题型专项训练 平行四边形及特殊平行四边形的性质与判定 中点处理技巧 正方形中常见的几何模型 平行四边形及特殊平行四边形的性质与判定 类型一平行四边形的性质与判定 1.如图，四边形ABCD 是平行四边形，E，F 是对角线AC上的两点,∠1=∠2.求证:四边形EBFD 是平行四边形. 2.如图,在ABCD 中,G,H 分别是AB,CD 的中点,点 E,F 在对角线AC上,且AE=CF. (1)求证：四边形 EGFH 是平行四边形； (2)连接BD交AC于点O,若BD=10,AE+CF=EF,求 EG的长. 类型二 矩形的性质与判定 3.如图,ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,△OAB 是等边三角形.求证:ABCD 是矩形. 4.如图,在△ABC 中,D 是AB上一点,AD=DC,DE 平分∠ADC交AC 于点E,DF 平分∠BDC交BC 于点 F,∠DFC=90°. (1)求证:四边形 CEDF 是矩形; (2)若∠ABC=30°,AD=2,连接BE,求 BE 的长. 类型三 菱形的性质与判定 5.如图,在四边形ABCD 中,AB∥CD,AC平分∠BAD,CE∥AD交AB 于点E.求证:四边形AECD 是菱形. 6.如图,在ABCD 中,FA⊥AB 交CD 于点E,交 BC 的延长线于点F,且CF=BC,连接AC,DF. (1)求证:四边形 ACFD 是菱形; (2)若 求四边形 ACFD 的面积. 类型四 正方形的性质与判定 7.如图,菱形EFGH 的三个顶点E,G,H 分别在正方形ABCD 的边AB,CD,DA 上,连接CF. (1)求证:∠HEA=∠CGF; (2)若AH=DG,求证:菱形 EFGH 是正方形. 8.如图,P 是矩形ABCD 内一点,AP⊥BP 于点 P,CE⊥BP于点E,BP=EC. (1)求证:四边形ABCD 是正方形; (2)连接AC,延长EC到点F,使CF=BE,连接 PF 交BC 的延长线于点 G,求∠BGP 的度数. 学科网（北京）股份有限公司 中点处理技巧 类型一 构造中位线 9.如图,在△ABC 中,AB =AC=8,AN 平分∠BAC,交 BC 于点 N,点 M 在 BA 上,且AM=3,连接CM,P 为CM 的中点,连接 PN,则 PN 的长为 ( ) A.2.4 B.2 C.1.5 D.2.5 10.如图,在四边形ABCD 中,AC与BD 相交于点E,M,N分别为AD,BC 的中点,MN 分别交AC,BD 于点 F,G,EF=EG.求证:AC=BD. 类型二 构造直角三角形斜边上的中线 11.如图,已知 Rt△ACB≌Rt△DFE,且∠C=90°,AB=10,BC=8,点 D,F 分别在BC,AC 上滑动. M 是AB 的中点,N 是 DF的中点，则MN 的最小值是 . 12.如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为 D,CE⊥AB,垂足为E,F 是AC 的中点,连接 DF,EF. (1)求证:DF=EF; (2)连接DE,若AC=8,DE=4,判断△DEF 的形状,并说明理由. 正方形中常见的几何模型 13.【模型引入】 我们在全等学习中所总结的“一线三等角”这一基本模型，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题。 【模型探究】 如图，在正方形ABCD 中，E 是对角线BD 上一点，连接AE，过点 E 作EF⊥AE,交直线 CB 于点 F. (1)如图1,若点 F 在线段 BC 上,写出 EA 与EF 的数量关系并加以证明. (2)如图 2，若点 F 在线段CB 的延长线上，请直接写出线段BC,BE 和BF 的数量关系: 【模型应用】 (3)如图3,在正方形ABCD 中,AB=4,E为CD 上一动点,连接AE 交 BD 于点 F,过点 F 作 FH⊥AE 交 BC 于点 H,过点 H作 HG⊥BD 于点G,连接AH,HE.有下列结论:①AF=FH;②∠HAE=45°;③BD=2FG;④△CEH 的周长为8.其中正确的结论有 个. 【模型变式】 (4)如图4，在平面直角坐标系中，四边形 OBCD 是正方形，且D(0,2),E 是线段OB 的延长线上一点,M 是线段OB 上一动点(不包括点 O,B),连接 DM,过点 M 作 MN⊥DM,交∠CBE的平分线于点N,求证:DM=MN. 【拓展延伸】 (5)如图5,已知∠MON=90°,A 是射线ON 上的一个定点,B 是射线OM 上的一个动点，且满足OB>OA.点 C 在线段OA 的延长线上,且AC=OB.在线段 BO上截取BE,使 BE=封OA,连接CE.若∠OBA+∠OCE=β,当点 B 在射线OM 上运动时，β的大小是否会发生变化?如果不变，请求出这个定值；如果变化，请说明理由. 1.证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD=BC,AD∥BC,∴∠DAE=∠BCF.在△ADE 和△CBF 中 ∴△ADE≌△CBF(AAS),∴DE=BF. ∵∠1=∠2,∴∠DEF=∠BFE,∴DE∥BF, ∴四边形 EBFD 是平行四边形. 2.解:(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB∥CD,AB=CD,∴∠GAE=∠HCF. ∵G,H 分别是AB,CD 的中点,∴AG=CH. ∵AE=CF,∴△AGE≌△CHF(SAS), ∴GE=HF,∠AEG=∠CFH, ∴∠GEF=∠HFE,∴GE∥HF, ∴四边形 EGFH 是平行四边形. (2)∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴OA=OC,OB=OD. ∵BD=10,∴OB=OD=5. ∵AE=CF,OA=OC,∴OE=OF. ∵AE+CF=EF,∴2AE=EF=2OE, ∴AE=OE. 又∵G是AB 的中点,∴EG 是△ABO 的中位线, 即 EG 的长为2.5. 3.证明:∵△OAB 是等边三角形,∴OA=OB. ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴BD=AC,∴▱ABCD 是矩形. 4.解:(1)证明:∵DE 平分∠ADC,DF 平分∠BDC, 180°=90°, 即∠EDF=90°. ∵AD=DC,DE 平分∠ADC, ∴DE⊥AC,∴∠CED=90°. 又∵∠DFC=90°, ∴四边形 CEDF 是矩形. (2)由(1)可知,四边形 CEDF 是矩形, ∴∠CED=∠ECF=90°, ∴∠A=90°-∠ABC=90°-30°=60°. ∵AD=DC,DE⊥AC, ∴CE=AE,△ACD 是等边三角形, ∴∠ACD=60°,AC=AD=2,∴AE=CE=1, ∵∠DCB=∠ECF-∠ACD=90°-60°=30°, ∴∠DCB=∠DBC,∴DB=DC=AD, ∴DE 是△ABC 的中位线,∴ 在 Rt△BCE 中,由勾股定理,得 即 BE 的长为 5.证明:∵AB∥CD,CE∥AD, ∴四边形 AECD 是平行四边形,∠ACD=∠CAE. 又∵AC 平分∠BAD,∴∠DAC=∠CAE, ∴∠ACD=∠DAC,∴AD=DC, ∴四边形 AECD 是菱形. 6.解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC,AD=BC. ∵点 F 在 BC的延长线上,且CF=BC, ∴AD∥CF,AD=CF,∴四边形ACFD 是平行四边形. ∵CD∥AB,FA⊥AB,∴FA⊥CD, ∴四边形 ACFD 是菱形. (2)∵四边形 ACFD 是菱形,四边形 ABCD 是平行四边形,AB=5, ∴FA=2FE=12, 7.证明:(1)如图,连接GE. ∵四边形 ABCD 是正方形,∴AB∥CD, ∴∠AEG=∠CGE. ∵四边形 EFGH 是菱形,∴GF∥HE, ∴∠HEG=∠FGE,∴∠HEA=∠CGF. (2)∵四边形 ABCD 是正方形,∴∠D=∠A=90°. ∵四边形 EFGH 是菱形,∴HG=HE. 在 Rt△HAE 和 Rt△GDH 中, ∴Rt△HAE≌Rt△GDH(HL), ∴∠AHE=∠DGH. 又∵∠DHG+∠DGH=90°, ∴∠DHG+∠AHE=90°, ∴∠GHE=90°, ∴菱形 EFGH 是正方形. 8.解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠ABC=90°,即∠ABP+∠PBC=90°. ∵AP⊥BP,∴∠ABP+∠PAB=90°, ∴∠PBC=∠PAB. ∵CE⊥BP,∴∠APB=∠BEC=90°. ∵BP=CE,∴△ABP≌△BCE(AAS), ∴AB=BC,∴四边形 ABCD 是正方形. (2)∵△ABP≌△BCE,∴AP=BE. ∵BE=CF,∴AP=CF. ∵AP⊥BP,FE⊥BP,∴AP∥CF, ∴四边形ACFP 是平行四边形， ∴AC∥PF,∴∠ACB=∠BGP. ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴∠BGP=∠ACB=45°. 9. D ∵AB=8,AM=3,∴BM=AB-AM=8-3=5. ∵AB=AC,AN 平分∠BAC, ∴N 为BC 的中点. ∵P 为CM 的中点,∴PN 是△BCM 的中位线, 10.证明:如图,取 DC 的中点 H,连接MH,NH. ∵M,H 分别是AD,DC 的中点, ∴MH 是△ADC 的中位线, ∴MH∥AC且 同理可得，NH∥BD且 ∵EF=EG,∴∠EFG=∠EGF. ∵MH∥AC,NH∥BD, ∴∠EFG=∠HMN,∠EGF=∠HNM, ∴∠HMN=∠HNM,∴MH=NH, ∴AC=BD. 11.2 如图,连接CN,CM. ∵∠ACB=90°,AB=10,BC=8, ∵Rt△ACB≌Rt△DFE,∴DF=AC=6. ∵M 是AB 的中点,N 是DF 的中点,∠ACB=90°, ∴MN≥CM-CN=2, ∴MN 的最小值是2. 12.解:(1)证明:∵AD⊥BC,CE⊥AB, ∴∠ADC=∠AEC=90°. ∵F 是AC 的中点, ∴DF=EF. (2)△DEF 是等边三角形. 理由如下： 由(1)可得, ∵AC=8,∴EF=DF=4, ∵DE=4,∴DE=EF=DF=4, ∴△DEF 是等边三角形. 13.解:(1)EA=EF. 证明:如图1,过点 E 作EH⊥BC 于点 H,HE 的延长线交 AD 于点G,则四边形 AGHB 为矩形,∴AG=BH,∠AGE=∠EHF=90°. ∵四边形 ABCD 为正方形, ∴∠EBH=45°,∴AG=BH=EH. ∵EF⊥AE, ∴∠AGE=∠AEF=∠FHE=90°, ∴∠GAE+∠AEG=∠FEH+∠AEG=90°, ∴∠GAE=∠FEH,∴△AGE≌△EHF(ASA), ∴EA=EF. 提示：如图2，作辅助线同图1. 由(1),知FH=GE,BH=AG=EH, ∴△BEH 为等腰直角三角形， ∴BC=GE+EH =FH+EH =BF+BH+EH (3)4 提示：由(1)，知①正确. ∵AF=FH,AF⊥FH, ∴△AFH 为等腰直角三角形， ∴∠HAE=45°,故②正确. 如图3,过点 A 作AR⊥BD 于点R. ∵AR⊥BD,AD=AB,∠BAD=90°, ∵HG⊥BD,∴∠ARF=∠FGH=90°. ∵∠AFR+∠FAR=90°,∠AFR+∠HFG=90°, ∴∠FAR=∠HFG. 又∵AF=FH,∴△ARF≌△FGH,∴AR=FG,∴BD=2FG,故③正确. 如图4,延长CD 至点K,使 DK=BH,连接AK. ∵∠ABH=∠ADK=90°,AD=AB, ∴△ABH≌△ADK(SAS), ∴AH=AK,∠BAH=∠DAK. ∵∠HAF=45°,∠BAD=90°, ∴∠BAH+∠DAE=45°,∴∠DAK+∠DAE=45°, ∴∠EAK=45°,∴∠HAE=∠EAK. ∵AE=AE,∴△HAE≌△KAE(SAS), ∴EH=EK, =EK+CH+EC =DK+DE+CH+EC =(BH+CH)+(DE+EC) =4+4 =8, 故④正确. (4)如图 5,在 OD 上截取 OA = OM,∴∠OAM =∠OMA=45°,∴∠DAM=180°-∠OAM=135°. ∵OD=OB,∴AD=BM. ∵∠OBC=90°,BN 平分∠CBE,∴∠CBN=45°, ∴∠MBN=∠OBC+∠CBN=135°, ∴∠DAM=∠MBN. 又∵DM⊥MN,∠BOD=90°, ∴∠ODM+∠DMO=90°,∠BMN+∠DMO=90°, ∴∠ODM=∠BMN,∴△ADM≌△BMN(ASA), ∴DM=MN. (5)不变.如图6,过点 C 作CF∥OB,且 CF=OA,连接AF 交CE 于点G,连接 BF. ∵CF∥OB,∴∠BOA+∠ACF=180°. ∵∠BOA=90°,∴∠ACF=90°,∴∠BOA=∠ACF. 又∵OB=AC,OA=CF,∴△BOA≌△ACF(SAS), ∴BA=AF,∠1=∠2,∴∠4=∠5. ∵∠1+∠3=90°,∴∠2+∠3=90°, ∴∠BAF=180°-(∠2+∠3)=90°,∴∠5=45°. ∵BE∥CF,BE=OA=CF, ∴四边形 BECF 是平行四边形， ∴BF∥CE,∴∠5=∠6=45°. ∵∠1+∠7=∠2+∠7=∠6, ∴∠1+∠7=45°,即β=45°. 解题大招 1.正方形中的半角模型 条件 在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别在边 BC,CD上,且∠EAF=45° 图形 结论 ①△AEF≌△AEG;②△AGF 为等腰直角三角形;③EF=BE+DF 2.正方形中角平分线+垂直模型 在正方形 ABCD 中,点 E 在射线CB 上,EF 交外角∠DCG 的平分线(图 1)或其所在直线(图 2)于点 F,AE⊥EF,则有AE=EF. $