精品解析：陕西省安市藤信高级中学2025-2026学年高一下学期5月期中数学试题

高一数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第九章9.1. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某地消防局从辖区内的50家餐饮店中抽调了15家，对其进行消防安全检查.在这个问题中，15是（ ） A. 样本 B. 样本量 C. 个体 D. 总体 【答案】B 【解析】 【分析】根据随机抽样概念求解即可. 【详解】某地消防局从辖区内的50家餐饮店中抽调了15家，对其进行消防安全检查. 在这个问题中，总体容量是，每一家餐饮店是个体，15家餐饮店是样本，15是样本量. 2. 下列几何体中为棱锥的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由棱锥的定义判断即可. 【详解】根据棱锥的定义：若一个多面体满足：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这个多面体就是棱锥. A：该几何体是四面体（三棱锥），仅存在1个公共顶点，所有侧面都是共顶点的三角形，底面是多边形，符合棱锥的定义； B：该几何体是两个四棱锥底面拼接而成的正八面体，存在2个公共顶点，不符合棱锥定义； C：该几何体是三棱柱，属于棱柱，侧面都是平行四边形，不存在公共顶点，不是棱锥； D：该几何体是台体结构，侧面不一定存在公共顶点，不符合棱锥定义. 3. 某社区共有1200名老年居民和800名中青年居民，通过分层随机抽样的方法，得到老年居民、中青年居民每周的锻炼时长的平均数分别为10小时和4小时，则社区这2000名居民每周的锻炼时长平均数估计为（ ） A. 7小时 B. 7.2小时 C. 7.6小时 D. 8小时 【答案】C 【解析】 【详解】社区这2000名居民每周的锻炼时长平均数估计为小时. 4. 已知，是两个不同的平面，直线，直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】C 【解析】 【详解】已知直线，直线，，则可以平行，相交或者垂直，不一定有两个平面垂直. 已知直线，直线，，只能说明两个平面的二面角为直角，平面内任意两条直线不一定垂直. 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 5. 若，，，是同一平面内四个不同的点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算求解. 【详解】因为， 所以， . 6. 如图，二面角的大小为，，，，，，，且，，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】过，分别作，的平行线，使之交于点，根据余弦定理求出，再证明，进而求解即可. 【详解】过，分别作，的平行线，使之交于点， 因为，所以，而，二面角的大小为， 则，而，， ， 又平面，所以平面， 由，可得平面，又平面， 则，则. 7. 位于某海域处的观测站获悉，在其正东方向相距15海里的处有一艘渔船遇险后抛锚等待救援.观测站立即将消息告知位于观测站西偏南，且与观测站相距6海里的处的救援船，救援船收到消息立即前往救援.若救援船要在1.5小时之内赶至渔船遇险处，则救援船的航行速度不低于（参考数据：取）（ ） A. 海里/小时 B. 海里/小时 C. 海里/小时 D. 海里/小时 【答案】A 【解析】 【详解】如图，由题可知，，海里，海里，则. 因为，所以，则， 所以，则海里. 设救援船的航行速度为海里/小时，则，得. 8. 已知正方体的棱长为3，以为球心，为半径的球的球面与平面在四边形内的交线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出交线所在圆弧的圆心和半径，进而求得结论. 【详解】如图所示： 设为所求交线上一点，由题意得，解得. 记所求交线分别与，交于点，，则. 在中，，即， 同理可证，在中，， 所以，故交线长为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 存在一个棱锥有且只有3个面是三角形 B. 以矩形的一条边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体为圆柱 C. 四棱柱共有8个顶点 D. 有一个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 【答案】BC 【解析】 【详解】一个棱锥至少有4个面是三角形，A不正确. 以矩形的一条边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体为圆柱，B正确. 四棱柱共有8个顶点，C正确. 有一个侧面是矩形的四棱柱不一定是直四棱柱. 因为一个侧面是矩形，仅能保证该棱柱的侧棱垂直于底面对应的边，并不能保证侧棱垂直于底面， 而直四棱柱的定义是侧棱垂直于底面，故D不正确. 10. 已知复数满足，则（ ） A. 的虚部为1 B. C. D. 在复平面内对应的点位于第一象限 【答案】ACD 【解析】 【详解】因为，故虚部为1，选项A正确. ，选项B错误. ，选项C正确. 在复平面内对应的点位于第一象限，选项D正确. 11. 如图，是菱形的对角线，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点，使得平面 B. 不存在点，使得平面 C. 存在点，使得平面平面 D. 不存在点，使得平面平面 【答案】BC 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质以及勾股定理求解选项A,B.根据面面垂直的性质以及勾股定理求解选项C,D. 【详解】连接，记，连接. 若平面，则，则，，不符合题意，A错误，B正确. 菱形的边长为，设的中点为，连接，. 在，中，分别有，. 若平面平面，则，，. 因为，所以存在点，使得平面平面，C正确，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某科技研发公司芯片研发、软件开发、人工智能这三个部门的员工人数分别为180，240，360.现采用分层随机抽样的方法从这780名员工中抽取65人，调研员工对工作的满意度，则人工智能部门被抽取的人数与软件开发部门被抽取的人数之差是________. 【答案】10 【解析】 【详解】由题意可知人工智能部门被抽取的人数为，软件开发部门被抽取的人数为， 则人工智能部门被抽取的人数与软件开发部门被抽取的人数之差是. 13. 如图，是用斜二测画法绘制的水平放置的的直观图，轴，轴，且，，则边所对应的边________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得，，，则． 14. 已知向量，，满足，且向量与的夹角为，则的最大值是________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据向量的模以及向量的数量积得到向量与的夹角，结合题目条件得到点在的外接圆上运动，再根据正弦定理求解即可. 【详解】因为，所以， 即，解得，所以向量与的夹角为. 设，，， 所以，，所以. 因为向量与的夹角为，所以，进而. 所以点在的外接圆上的优弧上运动，的最大值为外接圆直径. 根据正弦定理，. 当为该圆的直径时，最大，最大值为8. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）若，求的值； （2）若，求的值； （3）若，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 因为，所以 ，解得. 【小问2详解】 因为，所以 ，解得. 【小问3详解】 ，，. 因为，所以，解得， 所以. 16. 已知某圆台形容器的上、下底面半径分别为和，高为，容器壁厚度忽略不计. （1）求该容器的容积； （2）往该容器内倒入一定量的水，将容器下底面朝下水平放置，若水面半径与水的高度相等，求倒入容器中的水的体积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆台的体积公式求解即可. （2）首先求出水的高度，再求倒入容器中的水的体积. 【小问1详解】 因为容器的上、下底面半径分别为和，高为， 所以容器的上、下底面面积分别为和， 则容器的容积为. 【小问2详解】 设水面半径为，水面高度为，则，得 . 因为，所以 . 倒入容器中的水的体积为. 17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，，，，分别为，的中点. （1）证明：平面. （2）证明：. 【答案】（1）取的中点，连接，由是的中点，得，， 由是矩形边的中点，得，则， 四边形为平行四边形，，而平面，平面， 所以平面. （2）过作于点，连接， 由平面平面，平面平面，平面， 得平面，又平面，则， 由，，得为的中点，且， 则，， ， 于是，而平面， 因此平面，又平面，所以. 【解析】 【分析】（1）取的中点，利用线面平行的判定，结合平行公理及平行四边形性质推理得证. （2）过作于点，利用面面垂直的性质，线面垂直的判定及性质推理得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知的内角，，的对边分别为，，，且. （1）判断的形状并说明理由. （2）已知的面积为. （i）若，求的值； （ii）若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1）等腰三角形，因为，根据正弦定理，所以 ，则 ， 则 . 因为，，所以 ，则 ， 则 ，即，从而为等腰三角形. （2） （i）或；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理以及同角三角函数的关系化简得到 ，再求解即可. （2）（i）根据三角形面积公式求出，再余弦定理求出. （ii）根据（i）得到，再根据余弦定理得到，结合等腰三角形以及锐角三角形求出的范围，进而得到的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）因为的面积为，所以. 又，所以 ， 即，则. 由余弦定理知. 当时，，得； 当时，，得. （ii）由（i）可得 ，则. 因为为锐角三角形，且，所以 解得，则，则 ， 则 ，故的取值范围为. 19. 如图，在三棱柱中，，，，，D是棱的中点． （1）证明：平面． （2）在答题卡中作出二面角的平面角，并写出作法与理由． （3）在棱上是否存在一点E，使得与平面所成角的正切值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）取中点，连接，，，. ，，由三棱柱， 得，, ，是等腰直角三角形. . 是棱的中点，. ，，是的中点，, ，，, 由余弦定理得，得, ，，得，即. 由，，，得平面, 平面，, ，，平面，平面，， 平面. （2）过点作，垂足为，连接. 由（1）得平面. 平面，, ，，平面, 平面，, 为二面角的平面角. （3）存在，，理由如下： 连接，，过点作平面，过点作平面. ，平面，平面，平面. 点到平面的距离等于点到平面的距离，即. ，，，， 由余弦定理得，得，, 为等腰直角三角形，为等边三角形. 由（1）得平面， 是等腰直角三角形，，是的中点，得. 由，得， 即，解得. . 平面，为与平面所成的角. 由与平面所成角的正切值为，得, . 平面，为直角三角形, ，即. 由三棱柱，，， 得四边形为菱形, . 在中，，， 由余弦定理得， 即, 解得或（舍）, , 即当时，与平面所成角的正切值为. 【解析】 【分析】（1）根据已知边长和角度关系，得到是等腰直角三角形，是等边三角形；由是棱的中点，可得；取中点，求得，从而得平面，即证明，从而证明线面垂直； （2）利用（1）中平面的结论，过点作，垂足为，连接，可证得平面，从而得，即可得为二面角的平面角； （3）由体积相等求出点到平面的距离，由在上，得到到平面的距离，根据线面夹角的正切值，以及勾股定理求得，再根据余弦定理求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第九章9.1. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某地消防局从辖区内的50家餐饮店中抽调了15家，对其进行消防安全检查.在这个问题中，15是（ ） A. 样本 B. 样本量 C. 个体 D. 总体 2. 下列几何体中为棱锥的是（ ） A. B. C. D. 3. 某社区共有1200名老年居民和800名中青年居民，通过分层随机抽样的方法，得到老年居民、中青年居民每周的锻炼时长的平均数分别为10小时和4小时，则社区这2000名居民每周的锻炼时长平均数估计为（ ） A. 7小时 B. 7.2小时 C. 7.6小时 D. 8小时 4. 已知，是两个不同的平面，直线，直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 5. 若，，，是同一平面内四个不同的点，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，二面角的大小为，，，，，，，且，，则（ ） A. B. C. 4 D. 7. 位于某海域处的观测站获悉，在其正东方向相距15海里的处有一艘渔船遇险后抛锚等待救援.观测站立即将消息告知位于观测站西偏南，且与观测站相距6海里的处的救援船，救援船收到消息立即前往救援.若救援船要在1.5小时之内赶至渔船遇险处，则救援船的航行速度不低于（参考数据：取）（ ） A. 海里/小时 B. 海里/小时 C. 海里/小时 D. 海里/小时 8. 已知正方体的棱长为3，以为球心，为半径的球的球面与平面在四边形内的交线长为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 存在一个棱锥有且只有3个面是三角形 B. 以矩形的一条边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体为圆柱 C. 四棱柱共有8个顶点 D. 有一个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 10. 已知复数满足，则（ ） A. 的虚部为1 B. C. D. 在复平面内对应的点位于第一象限 11. 如图，是菱形的对角线，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点，使得平面 B. 不存在点，使得平面 C. 存在点，使得平面平面 D. 不存在点，使得平面平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某科技研发公司芯片研发、软件开发、人工智能这三个部门的员工人数分别为180，240，360.现采用分层随机抽样的方法从这780名员工中抽取65人，调研员工对工作的满意度，则人工智能部门被抽取的人数与软件开发部门被抽取的人数之差是________. 13. 如图，是用斜二测画法绘制的水平放置的的直观图，轴，轴，且，，则边所对应的边________. 14. 已知向量，，满足，且向量与的夹角为，则的最大值是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）若，求的值； （2）若，求的值； （3）若，求. 16. 已知某圆台形容器的上、下底面半径分别为和，高为，容器壁厚度忽略不计. （1）求该容器的容积； （2）往该容器内倒入一定量的水，将容器下底面朝下水平放置，若水面半径与水的高度相等，求倒入容器中的水的体积. 17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，，，，分别为，的中点. （1）证明：平面. （2）证明：. 18. 已知的内角，，的对边分别为，，，且. （1）判断的形状并说明理由. （2）已知的面积为. （i）若，求的值； （ii）若为锐角三角形，求的取值范围. 19. 如图，在三棱柱中，，，，，D是棱的中点． （1）证明：平面． （2）在答题卡中作出二面角的平面角，并写出作法与理由． （3）在棱上是否存在一点E，使得与平面所成角的正切值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $