精品解析：黑龙江大庆第一中学2025-2026学年高一下学期第三次考试数学试卷

大庆一中2025级高一年级下学期第三次考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知某平面图形的斜二测画法直观图是一个边长为2的正方形，如图所示，则该平面图形的面积是（ ） A. 8 B. 16 C. D. 3. 如图，在等腰中，，点是边上的动点，则（ ） A. 为定值16 B. 为定值32 C. 最大值为32 D. 与的位置有关 4. 设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则是异面直线 D. 若，则或，是异面直线 5. 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是（ ） A. 10 m B. 10m C. 10m D. 10m 6. 在中，是的中点，是的中点．若，则（ ）． A. 3 B. C. 2 D. 7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，，且，则的面积为（ ） A. 3 B. C. D. 3 8. 在中，，P为线段上的动点，且，则最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知圆锥的底面半径为1，高为，为顶点，，为底面圆周上两个动点，则（ ） A. 圆锥的体积为 B. 圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 C. 圆锥截面的面积的最大值为 D. 从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 当时，的图象与轴有2个交点 11. 在棱长为3的正方体中，为的中点，为侧面内一动点，满足平面，则（ ） A. 三棱锥的外接球表面积为 B. 三棱锥的体积是定值 C. 动点的轨迹是一条圆弧，长度为 D. 动点的轨迹是一条线段，长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，，则在方向上的投影向量的模长为________． 13. 在复平面内，复数满足，i为虚数单位，则的最小值为______． 14. 已知三个内角、、的对应边分别为、、，且，，给出下列四个结论： ①若，则有两解； ②周长的最大值为； ③的取值范围为； ④的最大值为. 其中，所有正确结论的序号是____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，其中为虚数单位． （1）若是纯虚数，求实数的值； （2）若，设，试求的值． 16. 在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2C＝sin2A+cos2B+sinAsinC． （1）求角B的大小； （2）若，角B的角平分线交AC于D，且BD＝1，求的周长． 17. 如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，，，分别为棱，的中点． （1）证明：平面． （2）在底面四边形内部（包括边界）是否存在点，使得平面平面？如果存在，求出点的位置，并求出的最大值；如果不存在，请说明理由． 18. 如图，在三棱台中，，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）若三棱锥的体积为1，求三棱台的体积. 19. .在中，设角，，的对边长分别为，，，已知：. （1）求角； （2），求边上的中线的最小值； （3）已知锐角的面积为.点是的重心，点是的中点，，线段与线段交于点，若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆一中2025级高一年级下学期第三次考试 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题设. 2. 已知某平面图形的斜二测画法直观图是一个边长为2的正方形，如图所示，则该平面图形的面积是（ ） A. 8 B. 16 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】斜二测画法还原平面图形，求解面积即可，注意纵坐标长度是原来的倍，横坐标长度不变. 【详解】由题意，，所以，还原如图所示： 则， 所以平面图形面积. 故选：C. 3. 如图，在等腰中，，点是边上的动点，则（ ） A. 为定值16 B. 为定值32 C. 最大值为32 D. 与的位置有关 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点为，结合题意利用向量的数量积的几何意义求解即可. 【详解】如图，取的中点为，连接， 因为为等腰三角形，所以，又， 所以. 所以. 所以为定值32. 故选：. 4. 设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则是异面直线 D. 若，则或，是异面直线 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间中线、面的位置关系一一判定选项即可. 【详解】 对于A，可设为平面，显然，但，故A错误； 对于B，可设为平面，显然，但，故B错误； 对于C，可设分别为平面，平面， 显然，但，故C错误； 对于D，若，则两平面不会有交点，所以或，是异面直线， 故D正确. 故选：D 5. 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是（ ） A. 10 m B. 10m C. 10m D. 10m 【答案】D 【解析】 【分析】在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，利用正弦定理求得BC，在Rt△ABC中，根据，即可得出答案. 【详解】解：在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°， ∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°， 由正弦定理，得＝， BC＝＝10（m）. 在Rt△ABC中，tan 60°＝，AB＝BC×tan 60°＝10（m）. 故选：D. 6. 在中，是的中点，是的中点．若，则（ ）． A. 3 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】 ，所以，所以. 故选：B 7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若，，且，则的面积为（ ） A. 3 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示结合余弦定理可得，再由三角形的面积公式求解即可； 【详解】因，，且， 所以，化为. 所以，解得. 所以. 故选：C. 8. 在中，，P为线段上的动点，且，则最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在中，设，，，结合三角形的内角和以及和角的正弦公式化简可求，可得，再由已知条件求得，，，考虑建立以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得，然后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】在中，设，，， ，即， 即，， ，，，，， ，即，又，， ，则，所以，， 解得，. 以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、， 为线段上的一点，则存在实数使得， ， 设，，则，，， ， ，消去得，， 所以，， 当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解是一个单位向量，从而可用、表示，建立、与参数的关系，解决本题的第二个关键点在于由，发现为定值，从而考虑利用基本不等式求解. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知圆锥的底面半径为1，高为，为顶点，，为底面圆周上两个动点，则（ ） A. 圆锥的体积为 B. 圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 C. 圆锥截面的面积的最大值为 D. 从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：直接求出圆锥的体积即可判断； 对于B：直接求出圆锥的侧面展开图的圆心角即可判断； 对于C：先判断出圆锥截面为轴截面时，其面积最大，在求其面积； 对于D：先分析出细绳的长度最短即为求线段.在三角形中，由余弦定理得即可求解.. 【详解】对于A：因为圆锥的底面半径为1，高为，所以体积. 故A错误； 对于B：设圆锥的母线为l，则. 设圆锥的侧面展开图的圆心角为，由弧长公式得：，即，解得：，故B正确； 对于C：显然当圆锥截面为轴截面时，其面积最大，此时，故C正确； 对于D：作出圆锥的侧面展开图如图示，要使从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的长度最短，只需求线段.在三角形中，，由余弦定理得：， 即从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为.故D正确. 故选：BCD 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 当时，的图象与轴有2个交点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图象求出、后可得函数解析式，故可判断AB的正误，求出后可判断C的正误，求出的范围后结合正弦函数的零点可判断D的正误 . 【详解】由图像可得，故，故，故A正确； 故，而，故， 故，而，故，故B正确； 因为，故为偶函数，故C错误； 故，当时，， 因为在上的零点为， 故在上有两个不同的零点，故D正确， 故选：ABD. 11. 在棱长为3的正方体中，为的中点，为侧面内一动点，满足平面，则（ ） A. 三棱锥的外接球表面积为 B. 三棱锥的体积是定值 C. 动点的轨迹是一条圆弧，长度为 D. 动点的轨迹是一条线段，长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，三棱锥的外接球即为正方体的外接球，即可判断A； 对于B，因为平面，所以点到平面的距离为定值，又的面积为定值，所以三棱锥的体积是定值，可判断B； 对于C、D，取、的中点，连接、、、，可证得所以平面平面，从而可得点的轨迹为线段，且，即可判断C、D. 【详解】对于A，由题意可知，三棱锥的外接球即为正方体的外接球，可知正方体外接球的半径为正方体的体对角线， 设正方体外接球的半径为，则，即， 所以三棱锥的外接球表面积为，故A正确； 对于B，因为平面，所以点到平面的距离为定值， 又的面积为定值，所以三棱锥的体积是定值，故B正确； 对于C，取、的中点，连接、、、，如图所示， 因为且，所以四边形为平行四边形，所以， 同理可得，又，所以， 又因为平面，平面，且， 平面，平面，且， 所以平面平面， 又平面，所以平面， 又为侧面内一动点，所以点的轨迹为线段，故C错误； 对于D，由C可知，点的轨迹为线段，则，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，，则在方向上的投影向量的模长为________． 【答案】## 【解析】 【详解】由，，得， 所以在方向上的投影向量的模长为. 13. 在复平面内，复数满足，i为虚数单位，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的几何意义可求出结果. 【详解】因为，所以复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆， 又的几何意义是表示复数对应的点与点之间的距离， 其最小值为原点到点之间的距离减去圆的半径， 故的最小值为. 故答案为：. 14. 已知三个内角、、的对应边分别为、、，且，，给出下列四个结论： ①若，则有两解； ②周长的最大值为； ③的取值范围为； ④的最大值为. 其中，所有正确结论的序号是____________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】利用正弦定理判断①；由余弦定理结合基本不等式可判断②；利用三角函数恒等变换的应用可得，根据正切函数的性质即可判断③；根据正弦定理，结合平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用可求，进而根据正弦函数的性质可判断④. 【详解】对于①，由正弦定理得， 又，所以，角为唯一锐角，有一解，故①错误； 对于②，由余弦定理得：， 则，所以， 所以周长为，所以周长的最大值为，当且仅当时取到，故②正确； 对于③，， 因为，则的取值范围为， 所以的取值范围为，故③正确； 对于④，由正弦定理得，则，则， ， 因为， 所以 . 因为，所以，则， 所以当，即时，取得最大值为，故④正确. 故答案为：②③④. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，其中为虚数单位． （1）若是纯虚数，求实数的值； （2）若，设，试求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的定义求解即可； （2）由，则，再通过复数的乘除法计算即可. 【小问1详解】 由题意可得：，且， 解得， 所以的值为； 【小问2详解】 若m＝2，则， 所以， 所以，， 所以. 16. 在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2C＝sin2A+cos2B+sinAsinC． （1）求角B的大小； （2）若，角B的角平分线交AC于D，且BD＝1，求的周长． 【答案】（1）120° （2） 【解析】 【分析】（1）根据cos2C＝sin2A+cos2B+sinAsinC，利用正弦定理和余弦定理求解； （2）根据，得到ac＝a+c，再由b＝2，利用余弦定理求解. 【小问1详解】 解：因为cos2C＝sin2A+cos2B+sinAsinC， 所以1﹣sin2C＝sin2A+1﹣sin2B+sinAsinC， 即sin2B＝sin2A+sin2C+sinAsinC， 由正弦定理得，b2＝a2+c2+ac， 由余弦定理得，cosB， 由B为三角形内角得B＝120°； 【小问2详解】 由题意得: ，且ABDCBDB＝60°，BD＝1， 所以， 所以（a+c），即ac＝a+c， 因为b＝2，由余弦定理得，b2＝12＝a2+c2﹣2accos120°＝a2+c2+ac， 因为， 所以ac=a+c＝4或ac＝﹣3（舍）， 故的周长为． 17. 如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，，，分别为棱，的中点． （1）证明：平面． （2）在底面四边形内部（包括边界）是否存在点，使得平面平面？如果存在，求出点的位置，并求出的最大值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）取的中点，连接. 中，分别为的中点， ， 分别为的中点， ， ，故四边形为平行四边形， ， 平面平面， 平面. （2）存在，理由如下： 取中点为，连接，， 在中，分别为的中点， ， 平面平面， 平面. 因为且，且、分别为、的中点， 所以，且， 所以，四边形为平行四边形， ，且， 平面平面， 平面， 由，且平面， 故平面平面. 所以点存在，且， 即点在线段上移动，可使平面平面， 当点运动到时，此时的最大值，最大值为2. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，证明线线平行，从而得到线面平行； （2）取中点为，连接，，证明出面面平行，从而得到点的位置，且求出的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，在三棱台中，，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）若三棱锥的体积为1，求三棱台的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，，证明四边形为平行四边形，得出，即可得证． （2）根据棱台的体积公式计算即可． 【小问1详解】 连接交于点，连接，， 因为为三棱台，，所以， 又为的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以为的中点，又为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 设的面积为，则由题意知的面积为，的面积为， 设三棱台的高为，则， 所以． 19. .在中，设角，，的对边长分别为，，，已知：. （1）求角； （2），求边上的中线的最小值； （3）已知锐角的面积为.点是的重心，点是的中点，，线段与线段交于点，若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理结合余弦定理计算，最后结合角的范围求出角； （2）应用平面向量的数量积及运算律计算结合基本不等式计算求最小值； （3）先根据三点共线列式对比得出，再结合向量的数量积公式及面积公式计算求解； 【小问1详解】 在中，据正弦定理可将题设条件化为： 即，又据余弦定理： 可知， 又，故. 【小问2详解】 是的中点, ; 当且仅当时取等号，故. 所以边的中线的最小值是. 【小问3详解】 依题可知，； ，，共线，，，共线，则有， ； 两式对比可得； 故； 点为三角形的重心， 则； 又因的面积为，故； 则可得； 可得， ， 因为是锐角三角形，则为锐角， 故有， 可得， 同理为锐角，故有，可得， 可得， 设，则， 则有，当时，易知该对勾函数单调递增， 则，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $