第2章 第12讲 指数函数(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（广东专版）

该高中数学讲义围绕指数函数专题，覆盖概念、图象与性质、综合应用等高考核心考点，按课标要求从实际意义理解概念到探究单调性与特殊点，通过自测诊断、考点分层讲解、变式训练和真题演练，帮助学生系统构建知识体系，突破图象识别、性质应用等难点。 资料以“一题多变”和“变式探究”为特色，如通过改变函数解析式条件分析图象变换，培养学生数学眼光和逻辑推理能力。设置基础巩固与能力提升分层练习，结合即时反馈，确保高效突破考点，助力学生提升解题技能，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第12讲　指数函数 【课程标准】　1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.　2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 1.指数函数的概念 函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 2.指数函数的图象和性质 a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1 当x＜0时，y＞1；当x＞0时，0＜y＜1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 [微提醒]　指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象与性质跟a的取值有关，要特别注意分a＞1和0＜a＜1两种情况. 【常用结论】 指数函数图象的特点 (1)指数函数的图象恒过点(0，1)，(1，a)，(－1，)，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象. (2)函数y＝ax与y＝()x(a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称. (3)在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大. (4)指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象以x轴为渐近线；y＝ax＋b恒过定点(0，1＋b)，且以y＝b为渐近线. 【自测诊断】 1.(链接人教A必修一P114例1)若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象经过点，则f(－1)＝(　　 ) A.1 B.2 C. D.3 答案：C 解析：依题意可知a2＝，解得a＝，所以f(x)＝，所以f(－1)＝＝.故选C. 2.(链接人教A必修一P119T6)已知a＝0.750.1，b＝1.012.7，c＝1.013.5，则(　　 ) A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.c＞b＞a D.c＞a＞b 答案：C 解析：因为函数y＝1.01x在(－∞，＋∞)上是增函数，且3.5＞2.7，故1.013.5＞1.012.7＞1＞0.750.1，即c＞b＞a.故选C. 3.函数y＝ax－1＋2 026(a＞0，且a≠1)的图象恒过点　　　　. 答案：(1，2 027) 解析：在函数y＝ax－1＋2 026中，当x＝1时，恒有y＝2 027，即函数y＝ax－1＋2 026的图象恒过点(1，2 027). 4.(链接人教A必修一P119T3)已知2x－1＜23－x，则x的取值范围是　　　　. 答案：(－∞，2) 解析：由指数函数的性质，得x－1＜3－x，解得x＜2，所以x的取值范围是(－∞，2). 考点一　指数函数的图象及应用 师生共研 (1)已知0＜a＜1，b＜－1，则函数y＝ax＋b的图象必定不经过(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)(一题多变，教材典题再练)(人教A必修一P120T9)已知函数y＝a＋b的图象过原点，且无限接近直线y＝2但又不与该直线相交. ①求该函数的解析式，并画出图象； ②判断该函数的奇偶性和单调性. 答案：(1)A 解析：(1)因为0＜a＜1，所以y＝ax的图象经过第一、第二象限，且当x越来越大时，图象与x轴无限接近.又b＜－1，所以y＝ax的图象向下平移超过一个单位长度得到y＝ax＋b的图象，故y＝ax＋b的图象不过第一象限.故选A. (2)①由题意知，a＋b＝0，b＝2，所以a＝－2， 所以f＝－2＋2，所以f＝图象如图： s ②因为f(x)＝－2＋2， 所以f(－x)＝－2＋2＝－2＋2＝f(x)，所以f(x)为偶函数. 又f＝ 所以f(x)在(－∞，0]上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数. 学生用书⬇第49页 [变式探究](数智赋能辅助) 1.(变条件，变设问)若本例(2)的条件变为“函数y＝｜3x－1｜在(－∞，k]上单调递减”，则实数k的取值范围是　　　　. 答案：(－∞，0] 解析：函数y＝｜3x－1｜的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示.由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以实数k的取值范围是(－∞，0]. 2.(变条件，变设问)若本例(2)的条件变为“函数y＝｜3x－1｜的图象与直线y＝m有两个不同交点”，则实数m的取值范围是　　　　. 答案：(0，1) 解析：曲线y＝｜3x－1｜的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，而直线y＝m的图象是平行于x轴的一条直线，图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝｜3x－1｜与直线y＝m有两个交点，则实数m的取值范围是(0，1). 3.(变条件，变设问)若本例(2)的条件变为“函数y＝｜3x－1｜＋m的图象不经过第二象限”，则实数m的取值范围是　　　　. 答案：(－∞，－1] 解析：作出函数y＝｜3x－1｜＋m的图象如图所示.要使函数图象不经过第二象限，则m＋1≤0，m≤－1，即m∈(－∞，－1]. 指数函数的图象及其应用策略 1.已知函数解析式判断其图象时，可通过图象经过的定点和特殊点来进行分析判断. 2.进行图象识别与应用时，可从最基本的指数函数图象入手，通过平移、伸缩、对称等变换得到相关函数的图象. 3.根据指数函数图象判断底数的大小问题，可通过直线x＝1与图象的交点进行判断. 对点练1.(多选)已知实数a，b满足等式2 025a＝2 026b，则下列关系式可能成立的是(　　) A.0＜b＜a B.a＜b＜0 C.0＜a＜b D.a＝b＝0 答案：ABD 解析：如图，观察易知，a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0，故选ABD. 对点练2.若曲线｜y｜＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则实数b的取值范围是　　　　. 答案：[－1，1] 解析：作出曲线｜y｜＝2x＋1与直线y＝b，如图所示，由图象可得，要想曲线｜y｜＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则实数b应满足的条件是b∈[－1，1]. 考点二　指数函数的性质及应用 多维探究 角度1　比较指数式的大小 (1)若a＝1.50.8，b＝1.50.7，c＝0.90.7，则a，b，c的大小关系为(　　) A.b＞a＞c B.a＞b＞c C.c＞b＞a D.a＞c＞b (2)若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是(　　) A.a＋b≤0 B.a－b≥0 C.a－b≤0 D.a＋b≥0 答案：(1)B　(2)D 解析：(1)由y＝1.5x在R上单调递增，则a＝1.50.8＞1.50.7＝b，由y＝x0.7在[0，＋∞)上单调递增，则b＝1.50.7＞0.90.7＝c，所以a＞b＞c，故选B. (2)因为ea＋πb≥e－b＋π－a，所以ea－π－a≥e－b－πb①，令f(x)＝ex－π－x，则f(x)是R上的增函数，①式即为f(a)≥f(－b)，所以a≥－b，即a＋b≥0.故选D. 角度2　解简单的指数方程或不等式 (1)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为　　　　. (2)(一题多变，教材典题再练)(人教A必修一P120T10节选)已知f(x)＝ax，g(x)＝(a＞0，且a≠1). 如果f(x)＜g(x)，那么x的取值范围是多少？ 答案：(1) 解析：(1)当a＜1时，＝21，解得a＝；当a＞1时，代入不成立.故a的值为. (2)f(x)＜g(x)⇔ax＜⇔ax＜a－x， 当a＞1时，则x＜－x，即x＜0；当0＜a＜1时，则x＞－x，即x＞0. 所以当a＞1时，x的取值范围是(－∞，0)； 当0＜a＜1时，x的取值范围是(0，＋∞). [变式探究](数智赋能辅助) (变条件，变设问)若将本例(2)中的条件改为“≤”，则函数y＝2x的值域为　　　　. 答案： 解析：＝(2－2)x－2＝2－2x＋4，所以≤2－2x＋4，即x2＋1≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0，所以－3≤x≤1，此时y＝2x的值域为[2－3，21]，即为. 1.比较指数式大小的方法 (1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小. (2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小. 学生用书⬇第50页 2.指数方程或不等式的解法 (1)解指数方程或不等式的依据： ①af(x)＝ag(x)⇔f(x)＝g(x)； ②af(x)＞ag(x)，当a＞1时，等价于f(x)＞g(x)；当0＜a＜1时，等价于f(x)＜g(x). (2)解指数方程或不等式的方法：先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般方程或不等式求解. 对点练3.(多选)下列各式正确的是(　　) A.1.72.5＞1.73 B.(＞ C.1.70.3＞0.93.1 D.(＜( 答案：BCD 解析：因为y＝1.7x为增函数，所以1.72.5＜1.73，故A不正确；(＝，y＝2x为增函数，所以＞，故B正确；因为1.70.3＞1，0.93.1∈(0，1)，所以1.70.3＞0.93.1，故C正确；因为y＝为减函数，所以(＜(.又y＝在(0，＋∞)上单调递增，所以(＜(，所以(＜(＜(，故D正确.故选BCD. 对点练4.已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1，7]，则x的取值范围是(　　) A.[2，4] B.(－∞，0) C.(0，1)∪[2，4] D.(－∞，0]∪[1，2] 答案：D 解析：因为y＝4x－3·2x＋3的值域为[1，7]，所以1≤4x－3·2x＋3≤7，且2x＞0，所以0＜2x≤1或2≤2x≤4，所以x≤0或1≤x≤2.故选D. 考点三　指数型函数的综合应用师生共研 (一题多问)设a∈R，函数f(x)＝. (1)求a的值，使得y＝f(x)为奇函数； (2)若f(x)关于点(0，2)中心对称，求a的值； (3)若f(2)＝a，求满足f(x)＞a的实数x的取值范围. 解：(1)由f为奇函数，可知f(－1)＝－f(1)， 即－(1＋2a)＝－(2＋a)，解得a＝1， 当a＝1时，f(x)＝(x≠0)，f(－x)＝＝＝－f(x)对一切非零实数x恒成立， 故a＝1时，y＝f(x)为奇函数. (2)由f关于点(0，2)中心对称， 得f(x)＋f(－x)＝4， 所以＋＝4，即＝4， 解得a＝－3. (3)由f(2)＝a，可得＝a，解得a＝2， 所以f(x)＞a⇔＞2⇔＜0⇔1＜2x＜4， 解得0＜x＜2，所以满足f(x)＞a的实数x的取值范围是(0，2). 　　求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断. 注意：在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论. 对点练5.(多选)已知函数f(x)＝＋a(a∈R)，则(　　) A.f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞) B.f(x)的值域为R C.当a＝1时，f(x)为奇函数 D.当a＝2时，f(－x)＋f(x)＝2 答案：ACD 解析：对于函数f(x)＝＋a(a∈R)，令2x－1≠0，解得x≠0，所以f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故A正确；当x＞0时，2x＞1，2x－1＞0，＞0，所以＋a＞a；当x＜0时，0＜2x＜1，－1＜2x－1＜0，＜－2，所以＋a＜－2＋a，综上可得，f(x)的值域为(－∞，－2＋a)∪(a，＋∞)，故B错误；当a＝1时，f(x)＝＋1＝，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)＝＋1为奇函数，故C正确；当a＝2时，f(x)＝＋2＝＋1，则f(x)＋f(－x)＝＋1＋＋1＝2，故D正确.故选ACD. 【教师备选】(多选)已知函数y＝，则下列说法正确的是(　　) A.定义域是R B.值域为(0，2] C.在[－2，＋∞)上单调递增 D.在[－2，＋∞)上单调递减 答案：ABD 解析：函数y＝的定义域是R，故A正确；因为x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1≥－1，所以0＜≤2，故函数y＝的值域为(0，2]，故B正确；因为y＝在R上是减函数，u＝x2＋4x＋3在(－∞，－2]上是减函数，在[－2，＋∞)上是增函数，所以函数y＝在[－2，＋∞)上单调递减，故C错误，D正确.故选ABD. 对点练6.已知函数f(x)＝(x∈R). (1)求证：函数f(x)是R上的减函数； (2)已知函数f(x)的图象存在对称中心(a，b)的充要条件是g(x)＝f(x＋a)－b的图象关于原点中心对称，判断函数f(x)的图象是否存在对称中心？若存在，求出该对称中心的坐标；若不存在，请说明理由. 解：(1)证明：设任意的x1，x2∈R，x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＝＝. 因为x1，x2∈R，x1＜x2， 所以－＞0，(＋1)(＋1)＞0， 所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)， 所以函数f(x)是R上的减函数. (2)假设函数f(x)的图象存在对称中心(a，b)，则g(x)＝f(x＋a)－b＝－b的图象关于原点中心对称. 由于函数的定义域是R， 所以g(－x)＋g(x)＝－b＋－b＝0恒成立，即(1－2b)(＋)＋2－2b－2b·＝0恒成立， 所以解得a＝0，b＝， 所以函数f(x)的图象存在对称中心(0，). 学科网（北京）股份有限公司 $