第8章 第46讲 直线与圆、圆与圆的位置关系(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（广东专版）

**基本信息** 聚焦直线与圆、圆与圆位置关系，以距离公式、几何性质为核心，通过分层题型系统构建“概念-判断-应用”解题体系，培养几何直观与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线与圆位置关系|1-3、9(1)|距离公式判断位置；联立方程求交点|从圆心到直线距离与半径比较，构建位置关系判定逻辑链| |圆与圆位置关系|2、6|圆心距与半径和差关系；公切线条数判断|通过圆心距与半径关系推导外离、外切等位置特征| |切线与弦长|3、4、8、9(2)、11|切线斜率公式；弦长勾股定理；最短弦垂直圆心连线|切线垂直半径，弦长依赖弦心距，形成几何性质应用体系| |圆系与综合应用|7、10、12|圆系方程求过交点圆；对称法求最值|结合圆系方程与动点轨迹，拓展跨知识点综合应用|

课时分层测评68　直线与圆、圆与圆的位置关系 (时间：60分钟　满分：85分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8题，每小题5分，共40分) 1.圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是(　　) A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.相交过圆心 D.相离 答案：B 解析：根据题意，知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝，且2×1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心.故选B. 2.(2026·石家庄质量检测)已知圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，则两圆公切线的条数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C 解析：圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1，圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0的圆心为C2(3，4)，半径r2＝4，则｜C1C2｜＝＝5＝r1＋r2，故两圆外切，则两圆公切线的条数为3.故选C. 3.过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为(　　) A.2x＋y－5＝0 B.2x＋y－7＝0 C.x－2y－5＝0 D.x－2y－7＝0 答案：B 解析：因为过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，所以点(3，1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，圆心与切点连线的斜率为k＝，所以切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.故选B. 4.已知圆M的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，过点P(0，4)的直线l与圆M相交的所有弦中，弦长最短的弦为AC，弦长最长的弦为BD，则四边形ABCD的面积为(　　) A.30 B.40 C.60 D.80 答案：B 解析：圆M的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，即圆的圆心为M(3，4)，半径为5.由(0－3)2＋(4－4)2＝9＜25，知点P(0，4)在圆内，则最短的弦是以P(0，4)为中点的弦，所以25＝()2＋9，所以｜AC｜＝8.过P(0，4)最长的弦BD为直径，所以｜BD｜＝10.又AC⊥BD，所以S四边形ABCD＝·｜AC｜·｜BD｜＝40.故选B. 【教师备选】　(2025·山东菏泽二模)若直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25交于A，B两点，则弦长｜AB｜的最小值为(　　) A.8 B.4 C.2 D. 答案：B 解析：由(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，m∈R得(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0.因为m∈R，所以得x＝3，y＝1，故l恒过定点D(3，1).因为(3－1)2＋(1－2)2＝5＜25，则点D在圆C的内部，直线l与圆C相交.圆心C(1，2)，半径为5，｜CD｜＝，当截得的弦长最小时，l⊥CD，最短的弦长是2＝4.故选B. 5.(多选)(2025·山东日照三模)已知圆C：x2＋y2＝4，P是直线l：x＋y－6＝0上一动点，过点P作直线PA，PB分别与圆C相切于点A，B，则(　　) A.圆C与直线l相离 B.｜PA｜存在最小值 C.｜AB｜存在最大值 D.存在点P使得△ABC为直角三角形 答案：AB 解析：圆C：x2＋y2＝4的圆心C(0，0)，半径为2，直线l：x＋y－6＝0，可得C到直线l的距离为d＝＝3＞2，即直线l与圆C相离，故A正确；由PA⊥AC，可得｜PA｜＝，而｜PC｜的最小值为d＝3，则｜PA｜的最小值为，故B正确；由PC⊥AB，可得四边形PACB的面积为｜PC｜·｜AB｜＝22｜PA｜，即有｜AB｜＝＝4≥4，可得｜AB｜有最小值，而无最大值，故C错误；要使△ABC为直角三角形，只能是∠ACB为直角，即｜AB｜＝2，由C可得｜AB｜≥＞2，则不存在点P使得△ABC为直角三角形，故D错误.故选AB. 【教师备选】　(多选)已知圆C：(x－2)2＋y2＝1，点P是直线l：x＋y＝0上一动点，过点P作圆的切线PA，PB，切点分别是A和B，则下列说法正确的是(　　) A.圆C上恰有一个点到直线l的距离为 B.切线长｜PA｜的最小值为1 C.四边形ACBP面积的最小值为2 D.直线AB恒过定点(，－) 答案：BD 解析：对于A，由圆C：(x－2)2＋y2＝1，可得圆心C(2，0)，半径r＝1，所以圆心C到直线l：x＋y＝0的距离为.因为－1＋1，故圆C上有两个点到直线l的距离为，故A错误；对于B，由圆的性质，可得切线长｜PA｜＝.当｜PC｜最小时，｜PA｜最小，又｜PC｜min＝，则｜PA｜min＝1，故B正确；对于C，由四边形ACBP的面积为2｜PA｜·｜CA｜＝｜PA｜.因为｜PA｜min＝1，所以四边形ACBP的面积的最小值为1，故C错误；对于D，设P(t，－t)，根据题意知A，B在以PC为直径的圆上，又由C(2，0)，所以(x－t)(x－2)＋(y＋t)(y－0)＝0，即x2＋y2－(t＋2)x＋ty＋2t＝0.因为圆C：(x－2)2＋y2＝1，即x2＋y2－4x＋3＝0.两圆的方程相减得直线AB：(2－t)x＋ty－3＋2t＝0，即2x－3－t(x－y－2)＝0.由即直线AB恒过定点(，－)，故D正确.故选BD. 6.(多选)已知动点M，N分别在圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝1和C2：(x－3)2＋(y－4)2＝3上，动点P在x轴上，则(　　) A.圆C2的半径为3 B.圆C1和圆C2外离 C.｜PM｜＋｜PN｜的最小值为2 D.过点P作圆C1的切线，则点P到切点的最短距离为 答案：BD 解析：圆C1的圆心C1(1，2)，半径r1＝1，圆C2的圆心C2(3，4)，半径r2＝，故A错误；｜C1C2｜＝2＞1＋，圆C1和圆C2外离，故B正确；圆C1关于x轴对称的圆为C0：(x－1)2＋(y＋2)2＝1，C0(1，－2)，连接C0C2交x轴于点P1，连接P1C1.由圆的性质得，｜PM｜＋｜PN｜≥｜PC1｜－1＋｜PC2｜－＝｜PC0｜＋｜PC2｜－1－≥｜C0C2｜－1－＝2－1－，当且仅当点P与P1重合，且M，N分别是线段P1C1，P1C2与圆C1和圆C2的交点时取等号，故C错误；设点P(t，0)，过点P作圆C1的切线，设切点为A，则｜PA｜＝＝≥，当且仅当t＝1，即P(1，0)时取等号，故D正确.故选BD. 7.过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程为　　　　　　　　　　. 答案：x2＋y2－3x＋y－1＝0 解析：设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0(λ≠－1)，则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，把圆心坐标(，)代入直线l，可得λ＝，显然圆x2＋y2－2y－4＝0不符合题意，故所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0. 8.过直线x－y－m＝0上一点P作圆M：(x－2)2＋(y－3)2＝1的两条切线，切点分别为A，B，若使得四边形PAMB的面积为的点P有两个，则实数m的取值范围是　　　　. 答案：(－5，3) 解析：由圆M：(x－2)2＋(y－3)2＝1可知圆心M(2，3)，半径为1，所以｜MA｜＝｜MB｜＝1，所以四边形PAMB的面积为S＝｜PA｜｜MA｜＋｜PB｜·｜MB｜＝｜PA｜＝，所以｜PM｜＝＝2.要使四边形PAMB的面积为的点P有两个，则2，解得－5＜m＜3. 9.(10分)已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C交于A，B两点. (1)若｜AB｜＝3，求实数m的值； (2)若点P为直线l所过定点，且｜PB｜＝2｜AP｜，求直线l的方程. 解：(1)根据题意知，圆C：x2＋(y－1)2＝5的圆心为C(0，1)，半径r＝. 所以圆心C到直线l：mx－y＋1－m＝0的距离为d＝. 由()2＋＝5，解得m＝±1. (2)因为直线l的方程mx－y＋1－m＝0可化为y－1＝m(x－1)， 所以直线l过定点P(1，1)，且P(1，1)在圆C内. 设A(x1，y1)，B(x2，y2). 因为P(1，1)，所以＝(1－x1，1－y1)，＝(x2－1，y2－1). 因为，所以(1－x1，1－y1)＝(x2－1，y2－1)， 所以1－x1＝(x2－1)，所以x2＝3－2x1　①， 由得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0(※)， 所以x1＋x2＝　②， 由①②解得x1＝， 代入(※)式得(1＋m2)()2－2m2·＋m2－5＝0⇒m2－1＝0，解得m＝±1， 所以直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0. (10、11题，每小题5分，共10分) 10.已知A，B是圆C1：x2＋y2＝3上的动点，且｜AB｜＝2.P是圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1上的动点，则｜｜的取值范围是(　　) A.[8，12] B.[6，10] C.[10，14] D.[6，14] 答案：D 解析：如图，设弦AB的中点为D，则由｜AB｜＝2，得｜C1D｜＝＝1，即D点的轨迹方程为x2＋y2＝1.又｜｜＝2｜｜，由于P点在圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1上，所以C2(3，4)，｜C1C2｜＝5，所以｜C1C2｜－1－1≤｜｜≤｜C1C2｜＋1＋1，即3≤｜｜≤7，所以｜｜＝2｜｜的取值范围是[6，14].故选D. 11.(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　　) A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2 C.当∠PBA最小时，｜PB｜＝3 D.当∠PBA最大时，｜PB｜＝3 答案：ACD 解析：lAB：＝1，即x＋2y－4＝0.圆心(5，5)到lAB的距离为∈(4，6).又圆的半径为4，所以点P到直线AB的距离小于10，故A正确；点P到直线AB的距离最小为－4＜2，故B错误；点B与圆心的距离为.当∠PBA最小(或最大)时，P为切点，PB＝＝3，故C、D正确.故选ACD. 12.(15分)已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方. (1)求圆C的方程； (2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 解：(1)设圆心C(a，0)(a＞－)，则＝2，解得a＝0或a＝－5(舍)， 所以圆C的方程为x2＋y2＝4. (2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB. 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，k≠0，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝. 若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN⇒＝0⇒＝0⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0⇒－＋2t＝0⇒t＝4. 所以当点N为(4，0)时，能使得x轴平分∠ANB. (每小题5分，共10分) 13.(多选)已知直线l：x－y－1＝0与圆C：x2＋y2＝4交于点A，B，点P，AB中点为Q，则(　　) A.的最小值为2 B.的最大值为4 C.·为定值 D.存在定点M，使得为定值 答案：ACD 解析：直线l：x－y－1＝0，即a(x－y)＋2x－y－1＝0，故直线过定点P，且圆C：x2＋y2＝4的圆心为，半径为2，因为12＋12＜4，故P在圆C内.对于A，当CP和直线l垂直时，圆心到直线的距离最大，距离d＝，此时最小，＝2＝2，故A正确；对于B，当＝4时，AB为圆的直径，此时直线过圆心，因为0－0－1＝0方程无解，故直线不可能过圆心，故B错误；对于C，设A，B，则·＝x1x2－＋y1y2－＋2，当直线l斜率不存在时，l：x＝1，联立圆C：x2＋y2＝4，得y＝±，此时·＝1－2－3＋2＝－2.当直线l斜率存在时，设直线y－1＝k，联立圆C：x2＋y2＝4，得x2＋＝4，即x2＋x＋k2－2k－3＝0，所以y1＋y2＝k＋2－2k，y1y2＝＝k2x1x2＋，所以·＝x1x2－＋y1y2－＋2＝x1x2－＋k2＋1，代入得，·＝k2－2k－3＋2k－2k2＋k2＋1＝－2，故·为定值－2，故C正确；对于D，AB中点为Q，故CQ⊥AB，且P在AB上，所以CQ⊥PQ，故△PQC是直角三角形，当M为PC中点时，为定值，故D正确.故选ACD. 14.(交汇融合)已知f(x)＝若直线y＝knx与y＝f(x)的图象有2n(n∈N*)个交点，则＋…＋＝　　　　. 答案： 解析：当－1≤x≤1时，y＝f(x)＝，即x2＋y2＝1，y≥0，当x＞1时，f(x)＝f(x－2)，所以可得函数f(x)的周期为2，画出函数图象，如图所示. 若直线y＝knx与y＝f(x)的图象有2n(n∈N*)个交点，根据图象知，直线y＝knx与第n＋1个半圆相切，不妨设其圆心为On＋1(2n，0)，切点为P，连接POn＋1，所以在Rt△OPOn＋1中，tan∠POOn＋1＝＝kn，kn＝，故－)，所以＋…＋(1－－＋…＋－)＝. 学科网（北京）股份有限公司 $