第1章 第5讲 第1课时 二次函数及其性质(课件PPT)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（广东专版）

该高中数学高考复习课件聚焦“二次函数与一元二次方程、不等式”专题，依据课程标准覆盖二次函数解析式三种形式、图像性质、闭区间最值等核心考点，通过教材梳理夯实基础，考点探究归纳解析式求法、图像分析、最值讨论等常考题型，精准对接高考评价体系，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“一题多解+变式训练+规律总结”的实战策略，如用顶点式、零点式突破解析式求解，通过分类讨论掌握闭区间最值求法，培养数学思维与推理能力。结合自测诊断和分层测评中的高考真题链接，帮助学生熟练答题技巧，教师可据此系统指导复习，助力学生高效备战高考。

第5讲　二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时　二次函数及其性质 高三总复习数学 广东专版 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 课程标准 1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.　 2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 03 课时分层测评 02 考点探究　能力提升 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝__________________. (2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为________. (3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. ax2＋bx＋c(a≠0) (m，n) 2.二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象(抛物线) 定义域 ____ 值域 对称轴 x＝_____ R 函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 顶点坐标 __________________ 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递____； 在上单调递____ 在上单调递____； 在［－，＋∞)上单调递____ 减 增 增 减 常用结论 二次函数在闭区间上的最值 设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，闭区间为[m，n]. (1)当－≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n). (2)当m＜－≤时，最小值为f，最大值为f(n). (3)当＜－≤n时，最小值为f，最大值为f(m). (4)当－＞n时，最小值为f(n)，最大值为f(m). 自测诊断 1.(多选)下列说法不正确的是 A.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a＜0且Δ＜0 B.若二次函数y＝ax2＋bx＋c的两个零点确定，则二次函数的解析式确定 C.二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[m，n])的最值一定是 D.二次函数y＝ax2＋bx＋c在(－∞，－］上单调递减，在［－，＋∞)上单调递增 √ √ √ y＝－3(x2－4x＋4)＋4＝－3(x－2)2＋4≤4. 2.(链接北师大必修一P34T1(2))函数y＝－3x2＋12x－8的最大值为_____. 4 根据题意，知≥20或≤5，解得k≥160或k≤40. 3.(链接人教A必修一P100T4)若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，20]上单调，则实数k的取值范围是_________________________. (－∞，40]∪[160，＋∞) 根据题意，可设f(x)＝a(x－2)2－4(a＞0). 又图象过原点，所以f(0)＝4a－4＝0，a＝1，所以f(x)＝(x－2)2－4＝x2－4x. 4.(链接人教B必修一P139T8)已知y＝f(x)为二次函数，若y＝f(x)在x＝2处取得最小值－4，且y＝f(x)的图象经过原点，则函数解析式为____________. f(x)＝x2－4x 返回 考点探究　能力提升 返回 考点一　二次函数的解析式 自主练透 法一(利用“一般式”)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).由题意得 所以所求二次函数的解析式为f(x)＝ －4x2＋4x＋7. 1.(一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝______________. －4x2＋4x＋7 法二(利用“顶点式”)：设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为x＝＝，所以m＝.又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，所以f(x)＝a＋8.因为f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三(利用“零点式”)：由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即＝8，解得a＝－4或a＝0(舍).故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 因为f＝1，y＝f是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，又因为f－f＝2x，所以a＋b＋1－＝2ax＋a＋b＝2x，所以2a＝2，a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，所以f(x)＝x2－x＋1. 2.已知函数f是二次函数，且f＝1，f(x＋1)－f＝2x，则f＝___________. x2－x＋1 因为二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以可设二次函数为y＝a(x ＋3)(x－1)(a≠0)，展开得，y＝ax2＋2ax－3a，顶点的纵坐标为 ＝－4a，由于二次函数图象的顶点到x轴的距离为2，所以｜－4a｜＝ 2，即a＝±，所以二次函数的解析式为y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋. 3.已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2， 则二次函数的解析式为______________________________. y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋ 求二次函数解析式的方法 求二次函数解析式，一般运用待定系数法，选择规律如下： 规律方法 考点二　二次函数的图象 师生共研 由a＞b＞c且a＋b＋c＝0，得a＞0，c＜0，所以函数图象开口向上，排除A、C；又f(0)＝c＜0，排除B.故选D. 典例1 (1)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则函数f(x)的图象可能是 √ 因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，故A正确；对 称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，故B错误；结合图象，当x＝ －1时，y＞0，即a－b＋c＞0，故C错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，故D正确.故选AD. (2)(多选)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论正确的为 A.b2＞4ac B.2a－b＝1 C.a－b＋c＝0 D.5a＜b √ √ 研究二次函数图象的方法 　　研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向. 规律方法 对点练1.(多选)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为x＝－.则下列结论正确的是 A.abc＜0 B.b＜a＋c C.3b＜－4c D.当x＞－时，y随x的增大而增大 √ √ √ 由二次函数图象和性质可得a＞0，c＜0，因为－＝ －，所以a＝b＞0，所以abc＜0，故A正确；由图象 可知当x＝－1时，函数值小于0，即a－b＋c＜0，所以 b＞a＋c，故B错误；由图象可知x＝1时，函数值小于 0，即a＋b＋c＜0，因为a＝b，所以2b＋c＜0，即2b＜－c，所以8b＜－4c，因为b＞0，所以3b＜8b，所以3b＜－4c，故C正确；根据函数图象可知，函数在对称轴的右侧y随x的增大而增大，因为二次函数的对称轴为x＝－，所以当x＞－时，y随x的增大而增大，故D正确.故选ACD. 考点三　二次函数的最值 师生共研 典例2 (一题多变)已知函数f(x)＝x2－ax－1. (1)若f(x)在区间(－1，2)上不单调，求实数a的取值范围； 解：f(x)＝x2－ax－1＝－1－. 根据题意，－1＜＜2，解得－2＜a＜4， 所以实数a的取值范围是(－2，4). (2)若x∈[－1，2]，求f(x)的最小值g(a). 解：f(x)＝x2－ax－1＝－1－. ①当≥2，即a≥4时， f(x)在[－1，2]上单调递减， 所以f(x)min＝f(2)＝3－2a； ②当－1＜＜2，即－2＜a＜4时， f(x)min＝f＝－1－； ③当≤－1，即a≤－2时， f(x)在[－1，2]上单调递增， 所以f(x)min＝f(－1)＝a. 综上，g(a)＝ 变式探究 1.(变设问)本例条件不变，求当x∈[－1，2]时，f(x)的最大值G(a). (数智赋能辅助) 解：f(－1)＝a，f(2)＝3－2a， f(2)－f(－1)＝3－3a， 当a≥1时，f(2)－f(－1)≤0，所以f(2)≤f(－1)，所以f(x)max＝f(－1)＝a； 当a＜1时，f(2)－f(－1)＞0，所以f(2)＞f(－1)，所以f(x)max＝f(2)＝3－2a. 综上，G(a)＝ 2.(变条件)本例条件“f(x)＝x2－ax－1”变为“f(x)＝ax2－x－1”，(2)问条件不变，求f(x)的最小值g(a). 解：当a＝0时，f(x)＝－x－1在[－1，2]上单调递减，所以f(x)min＝f(2)＝－3. 当a＞0时，f(x)＝ax2－x－1的图象开口向上，且对称轴为x＝＞0. ①当0＜＜2，即a＞时，f(x)在上单调递减，在上单调递增， 所以f(x)min＝f＝－－1＝－－1. ②当≥2，即0＜a≤时，f(x)在[－1，2]上单调递减， 所以f(x)min＝f(2)＝4a－3. 当a＜0时，f(x)＝ax2－x－1的图象开口向下，且对称轴x＝＜0， 所以f(x)min＝f(2)＝4a－3. 综上所述，g(a)＝ 二次函数最值问题的类型及求解策略 1.类型：(1)对称轴、区间都是固定的；(2)对称轴变动、区间固定；(3)对称轴固定、区间变动. 2.解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思路即可完成. 规律方法 对点练2.已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3. (1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域； 解：当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]， 函数图象的对称轴为直线x＝－∈[－2，3]， 所以f(x)min＝f＝－－3＝－， f(x)max＝f(3)＝15， 所以函数f(x)的值域为. 返回 解：函数图象的对称轴为直线x＝－. ①当－≤1，即a≥－时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3， 所以6a＋3＝1，即a＝－，满足题意； ②当－＞1，即a＜－时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1， 所以－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意. 综上可知，实数a的值为－或－1. (2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值. 课 时 分 层 测 评 返回 1.若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为 A.g(x)＝2x2－3x B.g(x)＝3x2－2x C.g(x)＝3x2＋2x D.g(x)＝－3x2－2x √ 二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，设二次函数为 g(x)＝ax2＋bx(a≠0)，可得则a＝3，b＝－2，所求的二次函 数为g(x)＝3x2－2x.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 2.函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系内的图象可以是 若a＞0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A，D；对于B，由直线可知a＞0，b＞0，从而－＜0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故排除B.故选C. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 3.已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)＞f(1)，则 A.a＞0，4a＋b＝0 B.a＜0，4a＋b＝0 C.a＞0，2a＋b＝0 D.a＜0，2a＋b＝0 √ 由f(0)＝f(4)，得f(x)图象的对称轴为直线x＝－＝2，所以4a＋b＝0.又f(0)＝f(4)＞f(1)，所以f(x)的图象开口向上，a＞0.故选A. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 4.已知函数f(x)＝x2－4x＋1的定义域为[1，t]，在该定义域内函数的最大值与最小值之和为－5，则实数t的取值范围是 A.(1，3] B.[2，3] C.(1，2] D.(2，3) √ 易知f(x)＝x2－4x＋1的图象是一条开口向上，对称轴为直线x＝2的抛物线，当x＝1时，y＝－2，当x＝2时，y＝－3，由y＝－2，得x＝1或x＝3.因为f(x)在定义域内的最大值与最小值之和为－5，所以2≤t≤3.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 已知函数y＝x2－3x－4的定义域是[－1，m]，值域为，则实数m的取值范围是 A.(0，4] B. C. D. 教师备选 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 设f(x)＝x2－3x－4＝－，x∈R，所以f(x)的图象是开口向上的抛物线，其对称轴方程为x＝，如图所示.所以f＝－，易知f(－1)＝f(4)＝0，由图可知，要使函数y＝x2－3x－4的定义域是[－1，m]，值域为，则实数m的取值范围是.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 5.(多选)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是 A.a＋b＋c＞0 B.a－b＋c＜0 C.abc＞0 D.b＝2a √ 由图象可知，当x＝1时，y＝a＋b＋c＞0，故A正确；当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，故B正确；函数图象的开口向下，a＜0，对称轴x＝－＞0，即b＞0，当x＝0时，y＝c＞0，则abc＜0，故C错误；若b＝2a，则对称轴－＝－1，与图象不符，故D错误.故选AB. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 6.(多选)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(a＞0)，实数m满足f(m)＜0，则下列关系一定成立的是 A.f(m＋1)＞0 B.f(m＋2)＞0 C.f(m－1)＜0 D.f(m－2)＞0 √ √ 函数f(x)＝x2－2x＋a在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.f(m)＝m2－2m＋a＜0，故m2－2m＜－a＜0，解得0＜m＜2.m＋2∈(2，4)，f(m＋2)＞f(2)＝a＞0，故B正确；m－2∈(－2，0)，f(m－2) ＞f(0)＝a＞0，故D正确；取a＝，m＝，f(m)＝－＜0，满足条件，f(m＋1)＝f ＝－＜0，故A错误；f(m－1)＝f ＝＞0， 故C错误.故选BD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 7.已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，且图象被x轴截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式为______________. 因为f(2－x)＝f(2＋x)对任意x∈R恒成立，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝2.又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为1和3，设f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，因为f(x)的图象过点(4，3)，所以3a＝3，所以a＝1，所以所求函数的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3. f(x)＝x2－4x＋3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 8.函数f(x)＝2x2－x－1(－1≤x≤1)的值域为___________. f(x)＝2x2－x－1＝2－，因为－1≤x≤1，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，且f＝－.又f(1)＝2－1－1＝0，f(－1)＝2＋1－1＝2，故f(x)＝2x2－x－1在－1≤x≤1上的值域是. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 9.(10分)已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间[2，3]上有最大值为5，最小值为2. (1)求a，b的值； 解：f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a(a≠0). 当a＞0时，f(x)在[2，3]上单调递增， 故⇒⇒ 当a＜0时，f(x)在[2，3]上单调递减， 故⇒⇒ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)若b＜1，g(x)＝f(x)－mx在[2，4]上单调，求实数m的取值范围. 解：因为b＜1，所以a＝1，b＝0，即f(x)＝x2－2x＋2. 所以g(x)＝x2－2x＋2－mx＝x2－(2＋m)x＋2. 因为g(x)在[2，4]上单调，所以≤2或≥4， 解得m≤2或m≥6. 故实数m的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 10.已知函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a，若对于区间[－1，2]上任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，则实数a的取值范围是 A.(－∞，0] B.[0，3] C.(－∞，0]∪[3，＋∞) D.[3，＋∞) 二次函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a图象的对称轴为直线x＝a－1.因为对于任意x1，x2∈[－1，2]且x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)，即f(x)在区间[－1，2]上是单调函数，所以a－1≤－1或a－1≥2，所以a≤0或a≥3.故选C. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 11.(多选)已知函数f(x)＝x2－2x＋a有两个零点x1，x2，以下结论正确的是 A.a＜1 B.若x1x2≠0，则＋＝ C.f(－1)＝f(3) D.函数y＝f(｜x｜)有4个零点 √ √ √ 二次函数对应二次方程根的判别式Δ＝(－2)2－4a＝4－4a＞0，a＜1，故A正确；由根与系数的关系得，x1＋x2＝2，x1x2＝a，＋＝＝，故B正确；因为f(x)的对称轴为x＝1，点(－1，f(－1))，(3，f(3))关于对称轴对称，故C正确；当a＝0时，y＝f(｜x｜)＝x2－2｜x｜有3个零点，故D不正确.故选ABC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 二次函数对应二次方程根的判别式Δ＝(－2)2－4a＝4－4a＞0，a＜1，故A正确；由根与系数的关系得，x1＋x2＝2，x1x2＝a，＋＝＝，故B正确；因为f(x)的对称轴为x＝1，点(－1，f(－1))，(3，f(3))关于对称轴对称，故C正确；当a＝0时，y＝f(｜x｜)＝x2－2｜x｜有3个零点，故D不正确.故选ABC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 12.(15分)已知函数f＝tx2＋x－3t＋1. (1)若f在上单调递增，求实数t的取值范围； 解：当t＝0时，f＝x＋1，则f上单调递增，满足条件； 当t≠0时，f＝tx2＋x－3t＋1的对称轴为x＝－，要使f上单调递增，则解得－≤t＜0. 综上，若f上单调递增，则实数t的取值范围是. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)若t＞0，设函数f在区间上的最大值为g，求g的表达式，并求出g的最小值. 解：当t＞0时，f＝tx2＋x－3t＋1的对称轴为x＝－＜0，所以f(x)在 (－∞，－)上单调递减，在(－，＋∞)上单调递增； 当－≥－1，即t≥时，f(x)max＝g(t)＝f(－2)＝t－1； 当－≤－2，即0＜t≤时，f(x)max＝g(t)＝f(－1)＝－2t； 当－2＜－＜－1，即＜t＜时，f(－2)＝t－1，f(－1)＝－2t； 当t－1＝－2t时，即t＝时， f(x)max＝g(t)＝f(－1)＝f(－2)＝－； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 当t－1＞－2t，即＜t＜时， f(x)max＝g(t)＝f(－2)＝t－1； 当t－1＜－2t，即＜t＜时， f(x)max＝g(t)＝f(－1)＝－2t. 综上，g＝ 所以当t＝时，g(t)min＝g()＝－. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 13.(创新交汇)(多选)对任意的x∈R，函数f＝ax2－3x＋的值域是，则下列结论中正确的是 A.a＞0 B.a2b＝9 C.a2＋4b的最小值为12 D.a2＋ab＋3a＋b的最小值为6－6 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 因为函数f＝ax2－3x＋，所以a＞0，且f＝0，即－＋＝0，所以a2b＝9，故A、B正确；由a2b＝9，得b＝＞0，则a2＋4b＝a2＋≥2＝12，当且仅当a2＝，即a＝时取等号，所以a2＋4b的最小值是12，故C正确；由a2b＝9，得b＝＞0，ab＝＞0，则a2＋ab＋ 3a＋b＝a2＋＋＋3a≥2＋2＝6＋6，当且仅当 即a＝时取等号，所以a2＋ab＋3a＋b的最小值是6＋6，故D错误.故选ABC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 返回 解方程f(x)＝x2－4x＋2＝2，解得x＝0或x＝4，解方程f(x)＝x2－4x＋2＝－2，解得x＝2.由于f(x)在[a，b]上的值域为[－2，2].若f(x)在[a，b]上单调，则[a，b]＝[0，2]或[a，b]＝[2，4]，此时b－a取得最小值2；若f(x)在[a，b]上不单调，且当b－a取最大值时，[a，b]＝[0，4]，所以b－a的最大值为4.所以b－a的取值范围是[2，4]. 14.函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2，2]，则b－a的取值范围是________. [2，4] 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 谢 谢 观 看 二次函数及其性质 $