第3章 第17讲 导数的概念及其意义、导数的运算(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（广东专版）

**基本信息** 聚焦导数概念、运算及几何意义，通过分层题型系统提炼定义转化、切线方程应用、分类讨论等解题方法，构建“概念-运算-应用”的逻辑链条，培养数学抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|2题|导数定义变形、导数值求解|从极限定义到导函数概念生成| |导数运算|3题|基本求导公式、复合函数求导|运算规则与函数性质的关联| |几何意义|5题|切线方程构建、切点分类讨论|导数几何意义与直线方程的融合| |综合应用|5题|新定义转化、最值问题建模|概念与运算在复杂情境中的综合迁移|

课时分层测评20　导数的概念及其意义、导数的运算 (时间：60分钟　满分：85分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8题，每小题5分，共40分) 1.若函数f(x)满足＝2，则＝(　　) A.2 B.1 C.0 D.－1 答案：D 解析：因为＝2，所以＝－＝－×2＝－1.故选D. 2.设函数f(x)在R上存在导函数f'(x)，f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝x＋2，那么f(1)＋f'(1)等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C 解析：根据题意得f(1)＝×1＋2＝，f'(1)＝，所以f(1)＋f'(1)＝＋＝3.故选C. 3.(2025·广东湛江二模)已知函数f(x)＝ex＋2x，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为(　　) A.y＝2x＋1 B.y＝3x＋1 C.y＝2x D.y＝3x 答案：B 解析：由f(x)＝ex＋2x，得f'(x)＝ex＋2，则f(0)＝1，f'(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝3x＋1.故选B. 4.已知函数f(x)＝x(x＋2)－mln x的图象在点处的切线与直线x＋2y＝0垂直，则m的值为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：根据题意知f'(x)＝2x＋2－.因为函数f(x)的图象在点处的切线与直线x＋2y＝0垂直，所以f'＝2，即3－2m＝2，解得m＝.故选C. 5.(新定义)(多选)定义方程f(x)＝f'(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新不动点”，则下列函数中只有一个“新不动点”的是(　　) A.g(x)＝x·2x B.g(x)＝－ex－2x C.g(x)＝ln x D.g(x)＝sin x＋2cos x 答案：ABC 解析：对于A，g'(x)＝2x＋x·2x·ln 2，由x·2x＝2x＋x·2x·ln 2，解得x＝，所以g(x)只有一个“新不动点”，故A正确；对于B，g'(x)＝－ex－2，由－ex－2＝－ex－2x，得x＝1，所以g(x)只有一个“新不动点”，故B正确；对于C，g'(x)＝，根据y＝ln x和y＝的图象可看出ln x＝只有一个实数根，所以g(x)只有一个“新不动点”，故C正确；对于D，g'(x)＝cos x－2sin x，由sin x＋2cos x＝cos x－2sin x，得3sin x＝－cos x，所以tan x＝－，根据y＝tan x和y＝－的图象可看出方程tan x＝－有无数个根，所以g(x)有无数个“新不动点”，故D错误.故选ABC. 6.(多选)过点A(1，2)与曲线f(x)＝x3＋x相切的直线方程可能为(　　) A.2x＋y－4＝0 B.3x－y－1＝0 C.4x－y－2＝0 D.7x－4y＋1＝0 答案：CD 解析：因为f(x)＝x3＋x，所以f'(x)＝3x2＋1.若A点是切点，则k＝f'(1)＝4，则切线方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0，故C正确；若A点不是切点，设切点为B(t，t3＋t)，则曲线f(x)在B处的切线斜率为kAB＝f'(t)＝3t2＋1.又因为直线AB的斜率为kAB＝，则3t2＋1＝，化简可得(2t＋1)(t－1)2＝0，解得t＝－(注意t≠1)，所以切线斜率为f'＝，则切线方程为y－2＝(x－1)，即7x－4y＋1＝0，故D正确.故选CD. 7.已知f(x)＝ex－f'(0)x，则f(2)＝　　　　. 答案：e2－1 解析：由f(x)＝ex－f'(0)x得f'(x)＝ex－f'(0)，则f'(0)＝e0－f'(0)，得f'(0)＝，故f(x)＝ex－x，因此f(2)＝e2－1. 8.已知点P是曲线y＝x2－3ln x上任一点，则P到直线x＋y＋＝0的距离的最小值为　　　　. 答案： 解析：设P，因为y＝x2－3ln x，则y'＝2x－.根据题意有2x0－＝－1，解得x0＝1或x0＝－(舍)，所以P，此时P到直线x＋y＋＝0的距离为d＝＝. 9.(10分)已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数). (1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值； (2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求直线l的方程. 解：(1)f'(x)＝1－，因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，即f'(1)＝1－＝0，解得a＝e. (2)当a＝1时，f(x)＝x－1＋，f'(x)＝1－. 设切点为(x0，y0)， 所以f＝x0－1＋＝kx0－1①， f'＝1－＝k②， ①＋②得x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0. 若k＝1，则②式无解， 所以x0＝－1，k＝1－e， 所以直线l的方程为y＝(1－e)x－1. (10、11题，每小题5分，共10分) 10.已知过点A作曲线y＝xln x的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：设切点为，对函数y＝xln x求导得y'＝ln x＋1，所以切线斜率为k＝ln x0＋1，所以切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y－x0ln x0＝(ln x0＋1)(x－x0).又切线过点A(a，0)，则0－x0ln x0＝(ln x0＋1)(a－x0)，整理得a＝，即关于x0的方程a＝有两个不等的实根.令函数f＝，则y＝a与f(x)有两个交点，由题意可得解得x＞0且x≠，所以函数f∪，且f'＝，当x∈时，f＜0，f'＜0；当＜x＜1时，f＞0，f'＜0；当x＞1时，f＞0，f'＞0，所以f上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，且x→0时，f(x)→0，f＝f＝1.作出函数y＝a与函数f的图象如下图所示. 由图可知，当a＞1时，直线y＝a与函数f的图象有两个交点，因此实数a的取值范围是.故选B. 11.(2025·山东济宁一模)曲线y＝(a＞0)与y＝ln x和y＝ex分别交于A，B两点，设曲线y＝ln x在A处的切线斜率为k1，y＝ex在B处的切线斜率为k2，若k1＋k2＝，则a＝(　　) A.2ln 2 B.2ln 3 C.3ln 2 D.3ln 3 答案：A 解析：因为y＝ln x和y＝ex互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，且反比例函数y＝(a＞0)的图象也关于直线y＝x对称，可知点A，B关于直线y＝x对称，设A，x0＞1，则B.设f＝ln x，g＝ex，则f'＝，g'＝ex，由题意可得k1＋k2＝＋＝＋x0＝，解得x0＝2或x0＝(舍去)，可得A，则＝ln 2，所以a＝2ln 2.故选A. 12.(15分)设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值. 解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3， 当x＝2时，y＝. 又因为f'(x)＝a＋， 所以 所以f(x)＝x－. (2)设P(x0，x0－)为曲线y＝f(x)上任一点， 由y'＝1＋知曲线在点P处的切线方程为y－＝(x－x0). 令x＝0，得y＝－， 所以切线与直线x＝0的交点坐标为. 令y＝x，得y＝x＝2x0， 所以切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0). 所以曲线y＝f(x)在点P处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形的面积S＝·｜2x0｜＝6. 故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6. (每小题5分，共10分) 13.(2025·山东青岛一模)已知函数f(x)＝图象的两条切线相互垂直，并分别交y轴于A，B两点，则＝　　　　. 答案：2 解析：设函数f(x)在点P和Q(x2，f)(x1＜x2)处的两条切线互相垂直，如图所示.可得f＝的零点为1，故不妨设0＜x1＜1，x2＞1，则P，Q，当x∈时，f＝ln x，f'＝，当x∈时，f＝－ln x，f'＝－，则kPA＝－，kQB＝.所以kPA·kQB＝－1，即x1x2＝1.因为lPA：y－＝－，即y＝－x＋1－ln x1，lQB：y－ln x2＝，即y＝x＋ln x2－1，则A，B(0，ln x2－1).因为0＜x1＜1，且x1x2＝1，故＝1－ln x1－＝2－ln (x1x2)＝2. 14.已知函数f(x)＝，其导函数记为f'(x)，则f'(2 026)－f'(－2 026)等于(　　) A.－1 B.0 C.1 D.2 答案：B 解析：函数f(x)＝＝1＋的定义域是R，令g(x)＝，则g(x)的定义域是R，f'(x)＝g'(x).又g(－x)＝＝－＝－g(x)，故g(x)是奇函数，所以g(x)＋g(－x)＝0，故g'(x)－g'(－x)＝0，所以f'(2 026)－f'(－2 026)＝g'(2 026)－g'(－2 026)＝0.故选B. 学生用书⬇第70页 学科网（北京）股份有限公司 $