第2章 第16讲 函数模型及其应用(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（广东专版）

**基本信息** 聚焦函数模型实际应用，通过指数、对数、分段函数等模型构建，系统提炼建模、参数求解及最值分析方法，强化数学建模与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数模型应用|13题（含8选择、2填空、2解答）|实际问题抽象建模、指数对数运算、分段函数分析、换元法求最值|从函数模型概念到参数求解，再到跨场景应用（溶解/运动/心率等），形成“模型-求解-应用”逻辑链|

课时分层测评19　函数模型及其应用 (时间：60分钟　满分：75分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8题，每小题5分，共40分) 1.(2025·北京石景山一模)经研究表明，糖块的溶解过程可以用指数型函数S＝ae－kt(a，k为常数)来描述，其中S(单位：克)代表t分钟末未溶解糖块的质量.现将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克，则k＝(　　) A. B. C.ln 2 D.ln 3 答案：A 解析：根据题意，当t＝0时，S＝a＝7，当t＝5时，S＝7e－5k＝3.5，则e－5k＝，则－5k＝ln ＝－ln 2，即k＝.故选A. 2.一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1 000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y(千米)与快车行驶时间t(小时)之间的函数图象的是(　　) 答案：C 解析：当两车同时相向出发时，相遇时间t1＝1 000÷＝4小时，此时两车距离为0，快车行驶时间为4小时，故排除B；相遇时，快车已经行驶的路程为100×4＝400千米，还需要行驶÷100＝6小时才能到达乙地，故排除A；特快车相遇时已经行驶的路程为150×4＝600千米，只需要再行驶÷150＝小时就能到达甲地，所以当特快车停止行驶时，快车还在行驶，此时直线的倾斜程度要变小一些，故排除D.故选C. 3.每年的3月21日是世界睡眠日.充足的睡眠、均衡的饮食和适当的运动是国际社会公认的三项健康标准.对于青少年来说，每天进行中等强度的体育运动有助于提高睡眠质量.运动强度等级与运动后的心率y的关系如下表： 运动强度等级 运动不足 中等强度 运动过量 运动后的心率y y＜110 110≤y≤130 y＞130 已知青少年羽毛球运动后的心率y与运动时间t(单位：分钟)满足关系式y＝20 ln(＋1)＋a，其中a为正常心率.某同学正常心率为70，若该同学要达到中等强度的羽毛球运动，则运动时间至少约为(参考数据：e2≈7.4)(　　) A.35分钟 B.41分钟 C.52分钟 D.62分钟 答案：B 解析：由题意可知y＝20 ln(＋1)＋70≥110，则ln(＋1)≥2，所以＋1≥e2，从而t≥(e2－1)2≈40.96，可得运动时间至少约为41分钟.故选B. 4.(2025·福建莆田三模)沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置.现有一个沙漏(如图)上方装有a cm3的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过t分钟时剩余的细沙量为y cm3，且y＝a·e－bt(b为常数)，经过16分钟时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为(　　) A.24分钟 B.28分钟 C.32分钟 D.36分钟 答案：C 解析：依题意有ae－16b＝a，即e－16b＝，两边取对数得－16b＝ln ＝－ln 2，所以b＝，得到y＝a，当容器上方细沙只有开始时的时，则有a＝a，所以＝，两边取对数得－t＝ln＝－2ln 2，所以t＝32，即需要经过的时间为32分钟.故选C. 5.(多选)某医药研究机构研发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y(单位：微克)随时间t(单位：小时)变化的图象近似符合如图所示的曲线.据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则下列说法正确的是(　　) A.a＝3 B.按规定注射一次该药物，治疗该病的有效时长为6小时 C.注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.5微克 D.按规定注射一次该药物，治疗该病的有效时长为小时 答案：ACD 解析：由题图易得y与t之间的函数关系式近似为y＝当t＝1时，y＝4，即()1－a＝4，得a＝3，故A正确；y＝当药物刚好起效时，即4t＝0.125，得t＝，当药物刚好失效时，即()t－3＝0.125，得t＝6，所以该药物治疗该病的有效时长为6－＝(小时)，故B错误，D正确；注射该药物小时后，每毫升血液中的含药量为4×＝0.5(微克)，故C正确.故选ACD. 6.(多选)(2025·重庆二模)从2024年3月1日起，新的酒驾检验标准开始实施，只要每100 mL血液中乙醇含量大于或等于20 mg，就是酒驾，属于违法行为；而大于或等于80 mg则认定为醉驾，属于犯罪行为.张师傅某次饮酒后，若其血液中的乙醇含量y(单位：mg/mL)与酒后代谢时间x(单位：h)的数量关系满足y＝.则张师傅此次饮酒后(　　) A.当代谢时间x＝0.5时，血液中的乙醇含量最低 B.血液中的乙醇含量开始是代谢时间x的增函数，然后是代谢时间x的减函数 C.若执意驾车，完全不可能被认定为酒驾违法行为，更不可能被认定为醉驾犯罪行为 D.若执意驾车，饮酒后0.5 h接受乙醇含量测试，将被认定为醉驾 答案：BD 解析：由题意可知，x＞0，则y＝＝，由对勾函数可知：y＝x＋内单调递减，在内单调递增，则y＝内单调递增，在内单调递减，故B正确；当x＝0.5时，y＝取到最大值1，即当代谢时间x＝0.5时，血液中的乙醇含量最高为1 mg/mL，即每100 mL血液中乙醇含量为100 mg，故A错误；因为100＞80，可知饮酒后0.5 h接受乙醇含量测试，将被认定为醉驾，故C错误，D正确.故选BD. 7.“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a(a为常数)，广告效应为D＝a－A.那么精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为　　　　(用常数a表示). 答案：a2 解析：令t＝(t≥0)，则A＝t2，所以D＝at－t2＝－＋a2，所以当t＝a，即A＝a2时，D取得最大值. 8.某核电站爆炸导致约8吨的强辐射物严重泄漏，事故所在地被严重污染.主要辐射物是锶90，它每年的衰减率为2.47％，经专家模拟估计，辐射物中锶90的剩余量低于原有的8.46％时，事故所在地才能再次成为人类居住的安全区，则事故所在地至少经过　　　　年才能再次成为人类居住的安全区.参考数据：ln 0.084 6≈－2.47，ln 0.975 3≈－0.03.(结果保留整数) 答案：83 解析：设辐射物中原有的锶90有a(0＜a＜8)吨.经过t年后辐射物中锶90的剩余量为P(t)吨，则P(t)＝a(1－2.47％)t，化简得P(t)＝0.975 3ta.由题意得0.975 3ta＜0.084 6a，不等式两边同时取对数，得ln 0.975 3t＜ln 0.084 6，即tln 0.975 3＜ln 0.084 6，由参考数据得－0.03t＜－2.47，所以t＞≈82.3，所以事故所在地至少经过83年才能再次成为人类居住的安全区. (9、10题，每小题5分，共10分) 9.(2025·北京卷)一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间T＝klog2N(单位：h)，其中k为常数.在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20 h；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加(　　) A.2 h B.4 h C.20 h D.40 h 答案：B 解析：设当N取106个单位、1.024×109个单位、4.096×109个单位时所需时间分别为T1，T2，T3.由题意，T1＝klog2106＝6klog210，T2＝klog2(1.024×109)＝klog2＝k(10＋6log210)，T3＝klog2＝klog2(212×106)＝k.因为T2－T1＝k(10＋6log210)－6klog210＝10k＝20，所以k＝2，所以T3－T2＝k－k＝2k＝4，所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加4小时.故选B. 10.表观活化能的概念最早是针对阿伦尼乌斯公式k＝A中的参量Ea提出的，是通过实验数据求得，又叫实验活化能，公式中的k为反应速率常数，R为摩尔气体常量，T为热力学温度(单位为开尔文，简称开)，A(A＞0)为阿伦尼乌斯常数.已知某化学反应的温度每增加10开，反应速率常数k变为原来的2倍，则当温度从300开上升到400开时，估计的值为　　　.(结果精确到百位，参考数据：ln 2≈0.7) 答案：8 400 解析：根据题意，温度每增加10开，反应速率常数k变为原来的2倍，则当温度从300开上升到400开时，反应速率常数k变为300开时的210倍.由k＝A，当T＝300开时，k1＝A，当T＝400开时，k2＝A，所以＝＝210，即＝210，＝210，＝10ln 2，＝12 000ln 2≈12 000×0.7＝8 400. 11.(15分)我们知道，声音通过空气传播时会引起区域性的压强值改变，物理学中称为“声压”，用P表示(单位：Pa)，声压级SPL(单位：dB)表示声压的相对大小，已知SPL＝klg(k是常数).当声压级SPL提高60 dB时，声压P会变为原来的1 000倍. (1)求声压级SPL关于声压P的函数解析式； (2)已知两个不同的声源产生的声压P1，P2叠加后得到的总声压P＝，一般当声压级SPL＜45 dB时人类是可以正常的学习和休息的.现窗外同时有两个声压级为40 dB的声源，在不考虑其他因素的情况下，请问这两个声源叠加后是否会干扰我们正常的学习？请说明理由.(参考数据：lg 2≈0.3) 解：(1)由题意可得，klg＋60＝klg， 则klg＋60＝k(3＋lg)， 所以3k＝60，解得k＝20， 故声压级SPL关于声压P的函数解析式为SPL＝20lg. (2)不会干扰我们正常的学习，理由如下： 当SPL＝40时，由20lg＝40， 即lg ＝2，可得P1＝P2＝2×1， 所以P＝＝P1＝2×1，将其代入SPL＝20lg可得SPL＝20lg＝20lg(×102)＝40＋10lg 2≈43＜45， 故不会干扰我们正常的学习. (每小题5分，共10分) 12.一种细胞的分裂速度v(单位：个/秒)与其年龄t(单位：岁)的关系可以用下面的分段函数来表示：v(t)＝其中a，b∈R.而且这种细胞从诞生到死亡，它的分裂速度变化是连续的.若这种细胞5岁和60岁的分裂速度相等，则a≈(　　) (参考数据：log23≈1.585) A.6.402 B.6.463 sC.6.502 D.6.522 答案：B 解析：由题意知细胞5岁和60岁的分裂速度相等，即v(5)＝v(60)，所以0.5×5＝，整理得b＝－log2.又分裂速度变化是连续的，所以0.5×10＝，整理得b＝－log2，所以－log2＝－log2，得＝log2－log2＝log26＝1＋log23，解得a≈6.463.故选B. 13.(多选)现有两个函数模型如下，模型一：如果C0是碳14的初始质量，那么经过t年后，碳14的质量为C＝C0；模型二：马尔萨斯自然状态下人口增长模型y＝y0ert，其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r是常数(e是自然对数的底数).则下列说法正确的是(　　) A.经过5 730年，碳14的质量变为初始质量的一半 B.碳14的年衰减率与初始质量有关 C.设n∈N*，碳14的第n年，第n＋1年，第n＋2年的衰减量分别为Δ1，Δ2，Δ3，则＝ D.以上两个模型都可以归结为模型“y＝ekx＋b”(其中x为自变量，k，b为常数，e是自然对数的底数) 答案：ACD 解析：对于A，模型一中，当t＝5 730时，C(5 730)＝C0＝C0，即碳14的质量变为初始质量的一半，故A正确；对于B，年衰减率由模型决定，与初始质量无关.模型一可改写为C＝C0，1年后，C＝C0，年衰减率为＝1－，是常数，故B错误；对于C，第n年衰减量Δ1＝C－C＝C0，同理Δ2＝C－C＝C0，Δ3＝C－C(n＋3)＝C0，所以＝＝，故C正确；对于D，模型一可转化为C(t)＝，模型二为y＝，均符合y＝ekx＋b形式，故D正确.故选ACD. 学生用书⬇第67页 学科网（北京）股份有限公司 $