第2章 第15讲 函数的零点与方程的解(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（广东专版）

**基本信息** 聚焦函数零点与方程解的内在联系，通过代数推理与数形结合构建系统性解题方法，强化数学思维与逻辑推理的融合。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|1-2题|代数法解方程，零点存在定理|从零点定义到方程解的转化| |存在性与近似解|3-4题|二分法步骤，单调性判断|定理应用到近似计算的延伸| |个数与参数|5-9题|数形结合（图象交点），函数性质（奇偶/周期）|函数性质对零点个数的影响| |综合应用|10-16题|新定义转化，多函数交点对称分析|跨模块知识的综合逻辑推理|

课时分层测评18　函数的零点与方程的解 (时间：60分钟　满分：80分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (每小题5分，共50分) 1.函数y＝(x－2)(2x＋1)的零点是(　　) A.2 B.(2，0) C.－2 D.2或－1 答案：A 解析：令y＝(x－2)(2x＋1)＝0，因为2x＋1＞1＞0，所以x－2＝0，即x＝2.故选A. 2.已知函数f(x)＝23－x－x＋1，在下列区间中，包含f(x)零点的是(　　) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) 答案：C 解析：由函数y＝23－x＝23·2－x＝8·为减函数，y＝－x＋1也为减函数，所以函数f(x)＝23－x－x＋1为连续递减函数.因为f(2)＝2－2＋1＝1＞0，f(3)＝1－3＋1＝－1＜0，所以f(2)f(3)＜0，由零点存在定理可得函数f(x)＝23－x－x＋1的零点所在区间为(2，3).故选C. 3.用二分法求方程2x＋x－8＝0在[1，5]上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为(　　) A.[1，2]或[2，3]都可以 B.[2，3] C.[1，2] D.不能确定 答案：B 解析：设f(x)＝2x＋x－8，则f(1)＝2＋1－8＝－5＜0，f(5)＝25＋5－8＝29＞0，第一次取x1＝＝3，有f(3)＝23＋3－8＝3＞0，故第二次取x2＝＝2，有f(2)＝22＋2－8＝－2＜0，故此时可确定近似解所在区间为[2，3].故选B. 4.函数y＝ex＋x2＋2x－1的零点个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案：C 解析：函数y＝ex＋x2＋2x－1的零点个数即函数f(x)＝ex与g(x)＝－x2－2x＋1的图象的交点个数，在同一直角坐标系中，分别作出f(x)＝ex与g(x)＝－x2－2x＋1的图象，如图所示.由图可知，两图象有2个交点，故原函数有2个零点，故选C. 5.(2025·湖南长沙二模)若函数f(x)＝＋m－1至少有一个零点，则实数m的取值范围是(　　) A.m＜1 B.m≥1 C.0≤m＜1 D.0≤m≤1 答案：C 解析：函数f(x)＝＋m－1有零点，则方程(＋m－1＝0有实根，即(＝1－m有实根，因此函数y＝(的图象与直线y＝1－m有交点， 而函数y＝(是R上的偶函数，在[0，＋∞)上单调递减，函数y＝(的值域为(0，1].在同一坐标系内作出函数y＝(的图象与直线y＝1－m，如图.观察图象知，当且仅当0＜1－m≤1，即0≤m＜1时，函数y＝(的图象与直线y＝1－m有交点，所以实数m的取值范围是[0，1).故选C. 6.(2025·浙江杭州一模)设f＝ex＋ln x，满足fff＜0.若函数f存在零点x0，则(　　) A.x0＜a B.x0＞a C.x0＜c D.x0＞c 答案：B 解析：函数f＝ex＋ln x的定义域是{x｜x＞0}，且y＝ex，y＝ln x均为单调递增函数，故函数f＝ex＋ln x是增函数.由于0＜a＜b＜c，故f＜f＜f，满足fff＜0，说明f，f，f中有1个负数f或3个均为负数，由于f存在零点x0，故x0＞a.故选B. 7.(多选)下列函数在区间(－1，3)内存在唯一零点的是(　　) A.f(x)＝x2－2x－8 B.f(x)＝－2 C.f(x)＝2x－1－1 D.f(x)＝1－ln(x＋2) 答案：BCD 解析：对于A，因为x2－2x－8＝0的解为x＝－2，x＝4，所以f(x)在区间(－1，3)内没有零点，故A错误；对于B，因为f(x)＝－2在[－1，＋∞)上为增函数，且f(－1)＝－2＜0，f(3)＝8－2＝6＞0，即f(－1)f(3)＜0，所以f(x)在区间(－1，3)内存在唯一零点，故B正确；对于C，因为f(x)＝2x－1－1在R上为增函数，且f(－1)＝－＜0，f(3)＝3＞0，即f(－1)f(3)＜0，所以f(x)在区间(－1，3)内存在唯一零点，故C正确；对于D，因为f(x)＝1－ln(x＋2)在(－2，＋∞)上为减函数，且f(－1)＝1＞0，f(3)＝1－ln 5＜0，即f(－1)f(3)＜0，所以f(x)在区间(－1，3)内存在唯一零点，故D正确.故选BCD. 8.(多选)已知x1，x2分别是函数f(x)＝2x－和g(x)＝log2x－的零点，则(　　) A.－x2＝0 B.log2x1＋log2x2＝0 C.x2＞2 D.·log2x2＝1 答案：ABD 解析：由题意知，f(x)的零点为函数y＝2x与函数y＝图象交点的横坐标；g(x)的零点为函数y＝log2x与函数y＝图象交点的横坐标.由y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称，y＝的图象关于直线y＝x对称，作y＝2x，y＝log2x，y＝的图象如图所示，所以点(x1，)与点(x2，log2x2)关于直线y＝x对称，即－x2＝0，·log2x2＝1，log2x1＋log2x2＝log2(x1x2)＝0，故A、B、D正确；若x2＞2，即x2＝＞2⇒x1＞1，此时x1x2＞2，与x1x2＝1矛盾，故C错误.故选ABD. 9.(多题同解)(1)若函数f(x)＝a＋x＋lg x(1＜x＜10)有零点，则实数a的取值范围是　　　　　. (2)若函数f(x)＝恰有2个零点，则实数a的取值范围是　　　　　. 答案：(1)(－11，－1)　(2)(－∞，2) 解析：(1)因为函数y＝x＋a，y＝lg x均在(1，10)上单调递增，所以f(x)＝a＋x＋lg x在(1，10)上单调递增.若函数f(x)＝a＋x＋lg x(1＜x＜10)有零点，则解得－11＜a＜－1. (2)当x≥1时，f(x)的零点为1，则当x＜1时，f(x)必有一个零点，y＝2x－a为一次函数，单调递增，故需2－a＞0，即a＜2. 10.已知定义域是R的偶函数f(x)的图象是连续不断的曲线，且f(x＋2)＝－f(x)，f(x)在[0，2]上单调递增，则f(x)在区间[－100，100]上的零点个数为　　　　. 答案：100 解析：因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数.因为f(x)在[0，2]上单调递增，则f(x)在[－2，0]上单调递减，取x＝－1，则f(1)＝－f(－1)，则f(1)＝f(－1)＝0，所以f(x)在一个周期内有两个零点，故f(x)在区间[－100，100]上的零点个数为50×2＝100. (每小题5分，共20分) 11.(2025·山东济南四诊)函数f(x)＝｜2x－m｜－｜ln x｜有且只有一个零点，则m的取值可以是(　　) A.1 B.2 C.e D.3 答案：A 解析：f(x)＝｜2x－m｜－｜ln x｜＝0⇔m－2x＝ln x或m－2x＝－ln x，显然h＝2x＋ln x单调递增.令g＝2x－ln x，，则g'＝2－，当0＜x＜时，g'＜0，g单调递减，当x＞时，g'＞0，g单调递增，所以g＝g＝1＋ln 2，注意到h＝g，而2＞1＋ln 2，所以在同一平面直角坐标系中作出h，g的图象如图所示.由题意可知m＝h，m＝g的根的个数之和为1，所以m＜1＋ln 2，对比选项可知m的取值可以是1.故选A. 12.(2025·河南洛平许济二模)已知函数f＝若a＜b＜c，且f＝f＝f，则cf的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：因为f＝当x＞0时，f＝＝所以f上单调递增，在上单调递减，且f＝f＝1；当x≤0时f＝2x，所以f上单调递增，且f＝1，所以f的图象如下所示. 又a＜b＜c，且f＝f＝f，不妨令f＝f＝f＝t，结合图象可知0＜t≤1且a≤0＜≤b＜1＜c≤e，即0＜f≤1，所以0＜cf≤e，即cf.故选A. 13.(多选)已知函数f(x)＝｜lg x｜－kx－2，给出下列四个结论，其中正确的是(　　) A.当k＝0时，f(x)恰有2个零点 B.存在负数k，使得f(x)恰有1个零点 C.存在负数k，使得f(x)恰有3个零点 D.存在正数k，使得f(x)恰有3个零点 答案：ABD 解析：令f(x)＝｜lg x｜－kx－2＝0，得｜lg x｜＝kx＋2，令g(x)＝｜lg x｜，h(x)＝kx＋2，所以f(x)的零点个数即函数g(x)与h(x)图象的交点个数.当k＝0时，如图①，g(x)与h(x)的图象有2个交点，则f(x)有2个零点，故A正确；当k＞0时，如图②，存在h(x)＝k0x＋2的图象与函数g(x)＝｜lg x｜(x＞1)的图象相切的情况，此时h(x)与g(x)的图象有2个交点，当0＜k＜k0时，g(x)与h(x)的图象有3个交点，则f(x)有3个零点，故D正确；当k＜0时，如图③，g(x)与h(x)的图象最多有2个交点，g(x)与h(x)的图象相切时有1个交点，如图④，故B正确，C不正确.故选ABD. 14.已知定义域是R的偶函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝e1－x－1，则方程f(x)＝在区间[－3，5]上所有解的和为　　　　. 答案：8 解析：因为函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.又函数f(x)为偶函数，所以f(2－x)＝f(x)＝f(－x)，所以函数f(x)是周期为2的周期函数.令g(x)＝，它的图象也关于直线x＝1对称，作出函数f(x)与g(x)在区间[－3，5]上的图象，如图所示. 由图可知，函数f(x)与g(x)的图象在区间[－3，5]上有8个交点，且关于直线x＝1对称，所以方程f(x)＝在区间[－3，5]上所有解的和为4×2＝8. (每小题5分，共10分) 15.(新定义)(多选)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是(　　) A.f(x)＝2x＋x B.f(x)＝x2－x－3 C.f(x)＝＋1 D.f(x)＝｜log2x｜－1 答案：BCD 解析：对于A，若f(x0)＝x0，则＝0，该方程无解，故该函数不是“不动点”函数；对于B，若f(x0)＝x0，则－2x0－3＝0，解得x0＝3或x0＝－1，故该函数是“不动点”函数；对于C，若f(x0)＝x0，则＋1＝x0，可得－3x0＋1＝0，且x0≥1，解得x0＝，故该函数是“不动点”函数； 对于D，若f(x0)＝x0，则｜log2x0｜－1＝x0，即｜log2x0｜＝x0＋1，作出y＝｜log2x｜与y＝x＋1的函数图象，如图.由图可知，方程｜log2x｜＝x＋1有实数根x0，即存在x0，使得｜log2x0｜－1＝x0成立，故该函数是“不动点”函数.故选BCD. 16.(2025·山东淄博一模)已知函数f＝若存在实数x1，x2，x3且x1＜x2＜x3，使得f＝f＝f，则x1f＋x2f＋x3f的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：函数f(x)的图象如图所示. 令x＝＋kπ，解得x＝2k＋1，故当x∈时，对称轴为直线x＝1，则x2＋x3＝2.因为f＝f＝f，所以x1f＋x2f＋x3f＝f.又因为f＝－x1＋1，x1f＋x2f＋x3f＝f＝＝－－x1＋2＝－＋.由f＝－x1＋1∈可得x1∈，则－≤x1＋＜，则0≤≤，所以x1f＋x2f＋x3f＝－＋∈.故选D. 【教师备选】　(多选)已知函数f(x)＝ 若x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论正确的是(　　) A.x1＋x2＝－4 B.x3x4＝1 C.1＜x4＜4 D.0＜x1x2x3x4≤2 答案：AB 解析：函数f(x)＝的图象如图所示， 设f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝t，则0＜t＜4，则直线y＝t与函数y＝f(x)图象的4个交点横坐标分别为x1，x2，x3，x4.对于A，函数y＝－x2－4x的图象关于直线x＝－2对称，则x1＋x2＝－4，故A正确；对于B，由图象可知｜log2x3｜＝｜log2x4｜，且0＜x3＜1＜x4，所以－log2x3＝log2x4，即log2(x3x4)＝0，所以x3x4＝1，故B正确；对于C，由图象可知log2x4∈(0，4)，则1＜x4＜16，故C错误；对于D，由图象可知－4＜x1＜－2，当x≤0时，f(x)＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4，所以x1x2x3x4＝x1(－4－x1)＝－－4x1＝－(x1＋2)2＋4＝f(x1)∈(0，4)，故D错误.故选AB. 学生用书⬇第61页 学科网（北京）股份有限公司 $