第2章 第13讲 对数函数(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（广东专版）

**基本信息** 聚焦对数函数定义域、单调性等核心性质，通过分层题型构建“概念理解-性质应用-综合拓展”的逻辑体系，渗透换元、数形结合等解题方法，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质|1-4题|定义域不等式组求解、单调性比较大小、分段函数分类讨论|从定义（定义域）到性质（单调性），形成概念-性质认知链| |图像与性质综合|5-8题|图像分析参数（a,c）、奇偶性定义验证、开放题构造函数|结合图像深化性质理解，实现数与形的转化| |应用拓展|9-14题|恒成立问题转化最值、复合函数单调性复合、新定义问题迁移|从性质应用到综合问题，构建“性质-应用-创新”拓展链|

课时分层测评15　对数函数 (时间：60分钟　满分：85分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8题，每小题5分，共40分) 1.函数f(x)＝＋lg(5－3x)的定义域是(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：函数f(x)＝＋lg(5－3x)的定义域满足即x∈［1，).故选C. 2.已知函数f(x)＝｜log2x｜，设a＝f()，b＝f()，c＝f(5)，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＜b＜c B.b＜a＜c C.c＜b＜a D.b＜c＜a 答案：B 解析：当x＞1时，函数f(x)＝｜log2x｜＝log2x在(1，＋∞)上单调递增，而a＝f()＝log24＝2，b＝f()＝log23∈(1，2)，c＝f(5)＝log25＞2，所以b＜a＜c.故选B. 3.设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是(　　) A.[－1，2] B.[0，2] C.[1，＋∞) D.[0，＋∞) 答案：D 解析：当x≤1时，由21－x≤2得1－x≤1，所以0≤x≤1；当x＞1时，由1－log2x≤2得x≥，所以x＞1.综上，x的取值范围是[0，＋∞).故选D. 4.函数y＝loga在区间上是减函数，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：函数y＝loga，故a＞0，且y＝9－ax为减函数，若0＜a＜1，则y＝logax为减函数，则函数y＝loga为增函数，故舍去；若a＞1，则y＝logax为增函数.因为函数y＝loga上是减函数，故9－3a≥0，a≤3.故实数a的取值范围是.故选D. 5.(多选)函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　) A.a＞1 B.0＜c＜1 C.0＜a＜1 D.c＞1 答案：BC 解析：由图象可知0＜a＜1.令y＝0得loga(x＋c)＝0，x＋c＝1，x＝1－c.由图象知0＜1－c＜1，所以0＜c＜1.故选BC. 6.(多选)已知函数f(x)＝ln ，下列说法正确的是(　　) A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)在上单调递减 D.f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞) 答案：ACD 解析：f(x)＝ln ，令＞0，解得x＞或x＜－，所以f(x)的定义域是∪.又f(－x)＝ln ＝ln ＝＝－ln ＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确，B错误；又f(x)＝ln ＝ln(1＋)，令t＝1＋，t＞0且t≠1，所以y＝ln t.又t＝1＋上单调递减，且y＝ln t为增函数，所以f(x)在上单调递减，故C正确；因为t＞0，且t≠1，所以y＝ln t的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故D正确.故选ACD. 7.(开放题)(2025·山东潍坊一模)写出一个同时具有下列性质①②的函数f＝　　　　. ①f＝f＋f；②f在上是增函数. 答案：log2x(答案不唯一，形如f＝logax都可以) 解析：对于函数f＝log2x，该函数的定义域为，且该函数在上为增函数，满足②；对任意的x1、x2∈，f＝log2＝log2x1＋log2x2＝f＋f，满足①.故答案为：log2x(答案不唯一，形如f＝logax都可以). 8.(类题同解)(1)(易错题)已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间［，］上恒有f(x)＞0，则实数a的取值范围是　　　　　　. (2)若方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围是　　　　. 答案：(1)(，1)　(2) 解析：(1)由题意得＜a＜1.所以实数a的取值范围是(，1). (2)若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax的图象在上有交点，由图象知解得0＜a≤.所以实数a的取值范围是(0，］. 9.(10分)已知函数f(x)＝log2(a为常数)是奇函数. (1)求a的值与函数f(x)的定义域； (2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)＞m恒成立，求实数m的取值范围. 解：(1)因为函数f(x)＝log2是奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)， 所以log2＝－log2，即log2＝log2，由＝， 解得a＝1或a＝－1(不合题意，舍去)， 所以f(x)＝log2. 令＞0，解得x＜－1或x＞1， 所以函数f(x)的定义域是{x｜x＜－1，或x＞1}. (2)f(x)＋log2(x－1)＝log2(1＋x)， 当x＞1时，x＋1＞2，所以log2(1＋x)＞log22＝1. 因为x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)＞m恒成立， 所以m≤1，所以实数m的取值范围是(－∞，1]. (10、11题，每小题5分，共10分) 10.函数f(x)＝log2·log4(4x2)的最小值为(　　) A.－ B.－2 C.－ D.0 答案：A 解析：由题意知f(x)的定义域是(0，＋∞)，所以f(x)＝(－2＋log2x)(1＋log2x)＝(log2x)2－log2x－2＝－≥－.当log2x＝，即x＝时，函数取得最小值－.故选A. 11.若不等式(x－1)2＜logax(a＞0且a≠1)在x∈(1，2]内恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A.(1，2] B.(1，2) C.(1，] D.(，2) 答案：B 解析：若0＜a＜1，此时x∈(1，2]，logax＜0，而(x－1)2＞0，故(x－1)2＜logax无解；若a＞1，此时x∈(1，2]，logax＞0，而(x－1)2＞0.令f(x)＝logax，g(x)＝(x－1)2，画出函数f(x)与g(x)的图象，如图，若不等式(x－1)2＜logax在x∈(1，2]内恒成立，则loga2＞1，解得a∈(1，2).故选B. 12.(15分)已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3). (1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)的最小值为0，求a的值； (3)若f(x)在区间[－1，1]上单调递增，求实数a的取值范围. 解：(1)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1， 因此a＋5＝4，即a＝－1， 所以f(x)＝log4(－x2＋2x＋3). 由－x2＋2x＋3＞0得－1＜x＜3，即函数f(x)的定义域是(－1，3). 令g(x)＝－x2＋2x＋3(－1＜x＜3)，则g(x)在(－1，1]上单调递增，在[1，3)上单调递减. 又y＝log4x在(0，＋∞)上为增函数， 所以f(x)的单调递增区间是(－1，1]，单调递减区间是[1，3). (2)若f(x)的最小值为0，则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1， 因此应有解得a＝. (3)令g(x)＝ax2＋2x＋3，所以f(x)＝log4g(x). 当a＝0时，g(x)＝2x＋3在区间[－1，1]上单调递增，且g(x)＞0. 又y＝log4x在定义域上单调递增，所以函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)在区间[－1，1]上单调递增，所以a＝0符合题意. 当a＞0时，由函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)在区间[－1，1]上单调递增， 得解得0＜a≤1. 当a＜0时，由函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)在区间[－1，1]上单调递增， 得解得－1＜a＜0. 综上，实数a的取值范围是(－1，1]. (每小题5分，共10分) 13.函数f(x)＝x1－ln x，x∈(1，e)的最大值为(　　) A.e2 B.e C. D. 答案：D 解析：设y＝f(x)＝x1－ln x，x∈(1，e)，故ln y＝(1－ln x)ln x，x∈(1，e).令t＝ln x，x∈(1，e)，所以t∈(0，1)，则ln y＝－t2＋t＝－＋，t∈(0，1)，当t＝时，ln y＝－＋，故y的最大值为，即函数f(x)＝x1－ln x，x∈(1，e)的最大值为.故选D. 14.(新定义)已知函数y＝f(x)，若在定义域内存在实数x，使得f(－x)＝－f(x)，则称函数y＝f(x)为定义域上的局部奇函数.若函数f(x)＝log3(x＋m)是[－2，2]上的局部奇函数，则实数m的取值范围是　　　　. 答案：(2，] 解析：因为f(x)＝log3(x＋m)是[－2，2]上的局部奇函数，所以x＋m＞0在[－2，2]上恒成立，所以m－2＞0，即m＞2.由局部奇函数的定义，存在x∈[－2，2]，使得log3(－x＋m)＝－log3(x＋m)，即log3(－x＋m)＋log3(x＋m)＝log3(m2－x2)＝0，所以存在x∈[－2，2]，使得m2－x2＝1，即m2＝x2＋1.又因为x∈[－2，2]，所以x2＋1∈[1，5]，所以m2∈[1，5]，即m∈[－，－1]∪[1，].综上，实数m的取值范围是(2，]. 学科网（北京）股份有限公司 $