第2章 第12讲 指数函数(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（广东专版）

**基本信息** 以指数函数定义为起点，通过单调性、奇偶性等性质应用，构建概念-性质-综合应用的逻辑体系，渗透分类讨论、复合函数分析等数学思维，提升符号运算与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|3（1,7,8）|定义法求参数、定点问题|从指数函数定义（2a²-5a+3=1）到定点坐标求解| |性质应用|6（2,3,5,9,10,11）|单调性比较大小、复合函数单调性（同增异减）、奇偶性定义法|单调性→奇偶性→复合函数，形成性质应用链条| |综合拓展|5（4,6,12,13,14）|恒成立问题（判别式/最值）、新定义问题转化|结合函数图象与不等式，实现性质到综合问题的拓展|

课时分层测评14　指数函数 (时间：60分钟　满分：85分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8题，每小题5分，共40分) 1.已知指数函数f(x)＝(2a2－5a＋3)ax在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的值为(　　 ) A. B.1 C. D.2 答案：D 解析：由题意得2a2－5a＋3＝1，所以2a2－5a＋2＝0，所以a＝2或a＝.当a＝2时，f(x)＝2x在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；当a＝时，f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意.所以a＝2.故选D. 【教师备选】　已知指数函数f(x)＝(a－1)bx的图象经过点，则等于(　　) A. B. C.2 D.4 答案：A 解析：由指数函数f(x)＝(a－1)bx的图象经过点，得解得a＝b＝2，所以＝＝.故选A. 2.若函数y＝2－x＋1＋m的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围是(　　) A.(－∞，－2] B.[－2，＋∞) C.(－∞，－1] D.[－1，＋∞) 答案：A 解析：y＝2－x＋1＋m＝()x－1＋m，由指数函数的单调性可得函数为减函数，因为图象不经过第一象限，所以当x＝0时，()－1＋m≤0，解得m≤－2.故选A. 3.已知a＝31.2，b＝1.20，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a＜c＜b B.c＜b＜a C.c＜a＜b D.b＜c＜a 答案：D 解析：因为b＝1.20＝1，c＝＝30.9，且y＝3x为增函数，1.2＞0.9＞0，所以31.2＞30.9＞30＝1，即a＞c＞b.故选D. 4.若函数f(x)＝的定义域是R，则实数a的取值范围是(　　) A.[－1，0] B.[－，] C.(0，] D.R 答案：B 解析：由题意可得－2≥0对任意x∈R恒成立，即≥2，且y＝2x在R上为增函数，可得x2－2ax＋3≥1，即x2－2ax＋2≥0对任意x∈R恒成立，则Δ＝4a2－8≤0，解得－≤a≤，所以实数a的取值范围是[－，].故选B. 5.(多选)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)的定义域是R B.函数f(x)的值域为(－1，1) C.函数f(x)是奇函数 D.函数f(x)为减函数 答案：ABC 解析：对于A，因为ex＞0，所以ex＋1＞0，所以函数f(x)是定义域为R，故A正确；对于B，f(x)＝＝1－，由ex＞0⇒ex＋1＞1⇒0＜＜1⇒－2＜－＜0⇒－1＜1－＜1，所以函数f(x)的值域为(－1，1)，故B正确；对于C，因为f(－x)＝＝＝＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，故C正确；对于D，因为函数y＝ex＋1是增函数，所以y＝ex＋1＞1，所以函数y＝是减函数，所以函数y＝－是增函数，故f(x)＝＝1－是增函数，故D不正确.故选ABC. 【教师备选】　(多选)已知函数f(x)＝，则下列结论中正确的是(　　) A.f(x)的定义域为R B.f(x)是奇函数 C.f(x)在定义域上是减函数 D.f(x)无最小值，无最大值 答案：BD 解析：对于A，由ex－e－x≠0，解得x≠0，故f(x)的定义域为{x｜x≠0}，故A错误；对于B，函数f(x)的定义域关于原点对称，且f(－x)＝＝－f(x)，故f(x)是奇函数，故B正确；对于C，f(x)＝＝＝1＋，故函数f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别单调递减，当x→－∞时，f(x)→－1，x→0－时，f(x)→－∞，x→0＋时，f(x)→＋∞，x→＋∞时，f(x)→1，所以f(x)在定义域上不是减函数，故C错误；对于D，由选项C的分析可知，函数f(x)的值域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，无最小值，无最大值，故D正确.故选BD. 6.(多选)已知函数f(x)＝｜ax－1｜(a＞0，且a≠1)，则下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)恒过定点(0，1) B.函数f(x)的值域为[0，＋∞) C.函数f(x)在区间(－∞，0]上单调递增 D.若直线y＝2a与函数f(x)的图象有两个公共点，则实数a的取值范围是 答案：BD 解析：已知函数f(x)＝｜ax－1｜(a＞0，且a≠1)，则x∈R，对于A，f(0)＝｜a0－1｜＝0，函数f(x)恒过定点(0，0)，故A错误；对于B，x∈R，则ax－1＞－1，所以｜ax－1｜≥0，函数f(x)的值域为[0，＋∞)，故B正确；对于C，当0＜a＜1时，则y＝ax单调递减，又x≤0，所以ax≥1，所以f(x)＝｜ax－1｜＝ax－1，显然此时f(x)在(－∞，0]上单调递减；当a＞1时，则y＝ax单调递增，又x≤0，所以0＜ax≤1，所以f(x)＝｜ax－1｜＝－ax＋1，显然此时f(x)在(－∞，0]上单调递减，故C错误；对于D，y＝｜ax－1｜的图象由y＝ax的图象向下平移1个单位长度，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方得到，分a＞1和0＜a＜1两种情况，分别作图，如图所示， 当a＞1时，2a＞2，显然不符合题意；当0＜a＜1时，此时0＜2a＜1，即0＜a＜，故D正确.故选BD. 7.(易错题)若指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[－1，1]上的最大值为2，则a＝　　　　. 答案：2或 解析：若a＞1，则f(x)max＝f(1)＝a＝2；若0＜a＜1，则f(x)max＝f＝a－1＝2，得a＝，故a＝2或. 8.(2025·山东枣庄二调)已知函数f(x)＝(a＞0，a≠1)恒过定点A，则点A的坐标为　　　　. 答案：(1，2) 解析：函数f(x)＝ax－1·＝2ax－1，由x＝1，得f(x)＝2恒成立，所以点A的坐标为(1，2). 【教师备选】　对于任意a＞0且a≠1，函数f(x)＝amx＋n＋b的图象恒过定点(1，2).若f(x)的图象也过点(－1，10)，则f(x)＝　　　　　　. 答案：＋1 解析：因为函数f(x)＝amx＋n＋b的图象恒过定点(1，2)，所以所以n＝－m，b＝1，所以f(x)＝am(x－1)＋1.又f(x)的图象也过点(－1，10)，所以f(－1)＝a－2m＋1＝10.又am＞0，解得am＝，所以f(x)＝＋1. 9.(10分)已知定义域是R的函数f(x)＝ax－(k－1)·a－x(a＞0，且a≠1)是奇函数. (1)求实数k的值； (2)若f(1)＜0，判断函数f(x)的单调性，若f(m2－2)＋f(m)＞0，求实数m的取值范围. 解：(1)因为f(x)是定义域是R的奇函数， 所以f(0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0， 所以k＝2， 经检验k＝2符合题意，所以k＝2. (2)由(1)知，f(x)＝ax－a－x(a＞0，且a≠1)， 因为f(1)＜0，即a－＜0. 又a＞0，且a≠1，所以0＜a＜1， 而y＝ax在R上单调递减，y＝－a－x在R上单调递减， 故由单调性的性质可判断f(x)＝ax－a－x在R上单调递减， 不等式f(m2－2)＋f(m)＞0可化为f(m2－2)＞f(－m)， 所以m2－2＜－m，即m2＋m－2＜0，解得－2＜m＜1， 所以实数m的取值范围是(－2，1). (10、11题，每小题5分，共10分) 10.已知ln a2－ln a＝1，则函数f(x)＝的单调递增区间是(　　) A.(－∞，0] B.(－∞，1] C.[0，＋∞) D.[1，＋∞) 答案：D 解析：因为ln a2－ln a＝1，所以ln a＝1，所以a＝e.所以f＝.函数y＝ex在R上单调递增，函数y＝x2－2x在区间(－∞，1]上单调递减，在区间[1，＋∞)上单调递增，根据复合函数的单调性法则知，函数f(x)＝的单调递增区间是 [1，＋∞).故选D. 11.已知函数f(x)＝4x－2x＋1＋4，x∈[－1，1]，则函数y＝f(x)的值域为　　　　　　. 答案：[3，4] 解析：f(x)＝(2x)2－2×2x＋4，x∈[－1，1]，令2x＝t，则t＝2x在[－1，1]上单调递增，即≤t≤2，所以y＝t2－2t＋4＝(t－1)2＋3，当t＝1时，ymin＝3，此时x＝0，f(x)min＝3；当t＝2时，ymax＝4，此时x＝1，f(x)max＝4，所以函数y＝f(x)的值域为[3，4]. 12.(15分)已知f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且f(x)＋g(x)＝21－x. (1)求f(x)，g(x)的解析式； (2)若对任意的x∈R，f(x)≥恒成立， 求实数m的取值范围. 解：(1)因为f(x)为偶函数，g(x)为奇函数， 且有f(x)＋g(x)＝21－x， 所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝21＋x， 所以 则f(x)＝2x＋2－x，g(x)＝2－x－2x. (2)因为f(x)＝2x＋2－x≥2＝2， 当且仅当2x＝2－x，即x＝0时，等号成立， 所以f(x)min＝2. 所以对任意的x∈R，f(x)≥恒成立， 即2≥，则m2－2m－2≤1， 即m2－2m－3≤0，解得－1≤m≤3， 所以实数m的取值范围是[－1，3]. (每小题5分，共10分) 13.(多选)若4m－4n＜5－m－5－n，则下列关系正确的是(　　) A.m＜n B.＞ C.＜ D.3－n＜3－m 答案：ACD 解析：由4m－4n＜5－m－5－n得4m－5－m＜4n－5－n，令f(x)＝4x－5－x，则f(m)＜f(n).因为函数y＝4x，y＝－5－x在R上都是增函数，所以f(x)在R上是增函数，所以m＜n，故A正确；对于B，当m＝1，n＝2时，＝n－3＜m－3＝1，故B错误；对于C，因为函数y＝在R上单调递增，所以由m＜n得＜，故C正确；对于D，因为函数y＝3－x在R上单调递减，所以由m＜n得3－n＜3－m，故D正确.故选ACD. 14.(新定义)(多选)函数y＝f(x)和y＝f(－x)，若两函数在区间[m，n]上的单调性相同，则把区间[m，n]叫做y＝f(x)的“稳定区间”，已知区间[1，2 026]为函数y＝的“稳定区间”，则实数a的可能取值是(　　) A.－ B.－ C.0 D. 答案：AB 解析：因为y＝f(x)＝，则f(－x)＝＝｜2x＋a｜，由题意得f(x)＝与f(－x)＝｜2x＋a｜在区间[1，2 026]上单调性相同.若单调递增，则在区间[1，2 026]上恒成立，即所以－2≤a≤－；若单调递减，则在区间[1，2 026]上恒成立，即无解，综上，实数a的取值范围是，所以A、B选项符合题意.故选AB. 学生用书⬇第51页 学科网（北京）股份有限公司 $