第2章 第11讲 指数与对数的运算(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（广东专版）

**基本信息** 聚焦指数与对数运算，通过基础化简、综合转化及实际建模，系统提炼换底公式、方程思想等方法，构建“概念-性质-应用”逻辑链条，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|1-3、7|指数对数运算法则、根式与指数互化|从定义出发，推导运算性质，强化基本化简技能| |综合应用|4-6、8、12|换底公式、方程思想、分类讨论|结合指数对数关系，通过方程转化解决复杂问题| |实际情境|10-11、13-14|数学建模、创新定义应用|将实际问题抽象为指数对数模型，培养应用意识|

课时分层测评13　指数与对数的运算 (时间：60分钟　满分：85分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8题，每小题5分，共40分) 1.(2025·河南新乡二模)＝(　　) A.16 B.8 C.32 D.16 答案：A 解析：由＝＝＝24＝16.故选A. 2.已知a＝log23，b＝log25，则log415＝(　　) A.2a＋2b B.a＋b C.ab D.a＋b 答案：D 解析：log415＝log215＝(log23＋log25)＝a＋b.故选D. 3.计算2log32－log3＋(－1)0＋log38－＝(　　) A.－7 B.－6 C.－3 D.0 答案：B 解析：原式＝log34－log3＋log38＋1－＝log3(4××8)＋1－＝log39＋1－9＝－6.故选B. 4.(2025·山东威海一模)生物丰富度指数d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数，生物丰富度指数d越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由d1变为d2，若＝，则＝(　　) A.log32 B. C.log23 D. 答案：D 解析：由题意得d2＝，d1＝，由＝，可得N1＝，所以＝·＝＝＝＝.故选D. 5.(多选)下列计算正确的是(　　) A.(－60－(＝－1 B.(＋ln(ln e)＝7 C.log23×log34＝log67 D.lg 25＋lg 8－lg 200＋lg 2＝0 答案：ABD 解析：对于A，原式＝－1－＝－1，故A正确；对于B，原式＝(＋ln(ln e)＝7＋ln 1＝7，故B正确；对于C，原式＝×＝×＝2，故C错误；对于D，原式＝lg 52＋lg 23－lg 200＋lg 2＝2(lg 5＋lg 2)－lg ＝2－2＝0，故D正确.故选ABD. 6.(多选)下列运算中，正确的是(　　) A.－＝－2 B.若a＋＝14，则＋＝4 C.若log73＝a，log74＝b，则log742＝1＋＋ D.若4a＝6b＝9c，则＋＝ 答案：AB 解析：对于A，－＝－＝－＝－2，故A正确；对于B，因为a＋＝14，所以＋＝＝＝4，故B正确；对于C，因为log73＝a，log74＝b，所以log742＝log77＋log73＋log72＝1＋log73＋log74＝1＋a＋，故C不正确；对于D，当a＝b＝c＝0时，4a＝6b＝9c成立，但＋＝无意义，故D不正确.故选AB. 7.已知a＞0，化简＝　　　　. 答案： 解析：＝＝＝. 8.已知a＞b＞1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＋2b＝　　　　. 答案：8 解析：由logab＋logba＝，且logab·logba＝1，所以logab，logba是方程x2－x＋1＝0的两根，解得logba＝2或logba＝.又a＞b＞1，所以logba＝2，即a＝b2.又ab＝ba，从而＝ba，则a＝2b，且a＝b2，则b＝2，a＝4，所以a＋2b＝8. 9.(10分)(1)已知＋＝3，计算：； (2)已知a＝＋－，b＝log39＋log3，求lg a2－b2 027＋2 026的值； (3)(＋eln 3＋lo－log34·log23. 解：(1)因为＋＝3，所以＝9，即x＋x－1＋2＝9， 所以x＋x－1＝7，所以(x＋x－1)2＝49，即x2＋x－2＋2＝49，所以x2＋x－2＝47， 所以＝＝4. (2)根据题意，a＝＋－＝＋1－＝－＝1， b＝log39＋log3＝log332＋log33－3＝2－3＝－1， 所以lg a2－b2 027＋2 026＝lg 12－＋2 026＝0－＋2 026＝2 027. (3)原式＝(＋3－log2－2log32·log23＝＋3－－2＝3. (10、11题，每小题5分，共10分) 10.(2025·山东淄博一模)已知函数f满足f＝2f，当0≤x＜1时，f＝3x，则f＝(　　) A.2 B.4 C.8 D.18 答案：C 解析：因为2＝log39＜log318＜log327＝3，所以0＜log318－2＜1.因为f＝2f，所以f＝22f＝22×＝8.故选C. 11.(2025·河南南阳模拟)在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L＝L0(D为常数)，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，n表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型中G0＝20，当n＝10时，学习率为0.25；当n＝30时，学习率为0.062 5，则学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为(已知lg 2≈0.3)(　　) A.31 B.32 C.33 D.34 答案：D 解析：因为衰减学习率模型为L＝L0，所以根据已知条件可得0.25＝L0＝L0①，0.062 5＝L0＝L0②，用②式除以①式可得＝，化简可得D＝0.25.将D＝0.25代入①式中可得L0＝0.5.所以衰减学习率模型为L＝0.5·.当学习率衰减到0.05以下时，即L＝0.5·＜0.05.化简上述不等式得lg 0.25＜lg 0.1，所以n＞×20＝≈33.3.因为n为正整数，所以最小值取34.故选D. 12.(15分)已知P＝80.25×＋－(－2 026)0，Q＝2log32－log3＋log38. (1)分别求P和Q； (2)若2a＝5b＝m，且＋＝Q，求m. 解：(1)P＝80.25×＋－(－2 026)0 ＝(8×2＋－1＝2＋－1＝， Q＝2log32－log3＋log38＝log3＝log39＝2. (2)因为2a＝5b＝m＞0，所以a＝log2m，b＝log5m， 由换底公式得＝logm2，＝logm5，则m≠1， 则＋＝logm2＋logm5＝logm10， 由于＋＝Q，故logm10＝2，所以m＝. (每小题5分，共10分) 13.(2025·浙江杭州二模)定义“真指数”＝(e为自然对数的底数)，则(　　) A.＝· B.＝ C.＋≥2 D.≤ 答案：C 解析：对于A，取x1＝3，x2＝－2，左边x1＋x2＝1≥0，即左边等于e；右边等于e3·1＝e3，故A错误；对于B，取x1＝1，x2＝2，左边x1－x2＝－1＜0，即左边等于1；右边等于＝，故B错误；对于C，由于ex＞0恒成立，所以＞0在x∈R恒成立，所以＋≥2＝2，当且仅当＝时取等号，故C正确；对于D，取x1＝－1，x2＝－1，左边x1x2＝1＞0，即左边等于e；右边等于＝1－1＝1.故D错误.故选C. 14.已知lob1＝lob2＝…＝lob211＝985，则lo(b1b2…b211)＝　　　　　　. 答案：985 解析：因为lob1＝lob2＝…＝lob211＝985，则bi＝(i＝1，2，3，…，211)，所以lo(b1b2…b211)＝＝＝＝985. 学生用书⬇第48页 学科网（北京）股份有限公司 $