第2章 第9讲 函数的对称性及其应用(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（广东专版）

**基本信息** 聚焦函数对称性判定与应用，通过定义法、性质法构建解题体系，逻辑覆盖中心对称、轴对称及综合应用，突出数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |对称中心|3题|f(a+x)+f(a-x)=2b证中心对称|从定义推导到分式、指数函数应用| |对称轴|4题|f(a+x)=f(a-x)证轴对称|结合偶函数、复合函数性质| |综合应用|8题|奇偶性与对称性综合，方程思想求参数|对称性与周期性、零点结合，形成知识网络|

课时分层测评10　函数的对称性及其应用 (时间：60分钟　满分：85分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (每小题5分，共50分) 1.已知函数f(x)＝，则函数f(x)图象的对称中心的坐标为(　　) A.(－1，－3) B.(－1，3) C.(－1，－2) D.(－1，2) 答案：C 解析：f(－1＋x)＋f(－1－x)＝＋＝＋＝－4，所以函数f(x)的图象关于点(－1，－2)对称.故选C. 2.(一题多解)已知函数f(x)＝2｜2x－a｜的图象关于直线x＝2对称，则a等于(　　) A.2 B.4 C.－2 D.－4 答案：B 解析：法一：函数f(x)＝2｜2x－a｜的图象关于直线x＝2对称，可得f(2＋x)＝f(2－x)，即为＝，即有｜2x＋4－a｜＝｜4－2x－a｜(*)恒成立，可得4＋2x－a＝4－2x－a或4＋2x－a＋4－2x－a＝0，解得x＝0或a＝4，检验可得a＝4时(*)式恒成立.故选B. 法二：因为函数y＝的对称轴为x＝.根据题意，有＝2，解得a＝4.故选B. 3.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋b的图象关于点(1，0)对称，则b等于(　　) A.1 B.－1 C.3 D.－3 答案：A 解析：因为f(x)的图象关于点(1，0)对称，所以f(x)＋f(2－x)＝0.又f(2－x)＝(2－x)3＋a(2－x)2＋(2－x)＋b＝－x3＋(a＋6)x2－(4a＋13)x＋10＋4a＋b，所以f(x)＋f(2－x)＝(2a＋6)x2－(4a＋12)x＋10＋4a＋2b＝0，所以解得a＝－3，b＝1.故选A. 4.函数f(x)＝ex－2－e2－x的图象关于(　　) A.点(－2，0)对称 B.点(2，0)对称 C.直线x＝－2对称 D.直线x＝2对称 答案：B 解析：因为f(x)＝ex－2－e2－x，所以f(2＋x)＝e2＋x－2－e2－(2＋x)＝ex－e－x，f(2－x)＝e2－x－2－e2－(2－x)＝e－x－ex，所以f(2＋x)＋f(2－x)＝0，所以函数f(x)的图象关于点(2，0)对称.故选B. 5.已知函数f (x)的定义域为R，则下列说法不正确的是(　　) A.若f (x＋2)＝－f (－x)，则函数y＝f (x)的图象关于(1，0)对称 B.函数y＝－f (2－x)与函数y＝f (x)的图象关于(1，0)对称 C.函数y＝f (－1＋x)－f (1－x)的图象关于(1，0)对称 D.函数y＝f (1＋x)－f (1－x)的图象关于(1，0)对称 答案：D 解析：若f (x＋2)＝－f (－x)，即f (x＋2)＋f(－x)＝0，则函数y＝f (x)的图象关于(1，0)对称，故A正确；若点(x，y)在y＝f (x)上，则点(2－x，－y)在y＝－f (2－x)的图象上，且点(x，y)与点(2－x，－y)关于点(1，0)对称，则函数y＝－f (2－x)与函数y＝f (x)的图象关于(1，0)对称，故B正确；设g(x)＝f (－1＋x)－f (1－x)，则g(2－x)＋g(x)＝f (1－x)－f (x－1)＋f (－1＋x)－f (1－x)＝0，故函数y＝f (－1＋x)－f (1－x)的图象关于(1，0)对称，故C正确；令g(x)＝f (1＋x)－f (1－x)，则g(2－x)＋g(x)＝f (3－x)－f (x－1)＋f (1＋x)－f (1－x)不恒为0，故函数y＝f (1＋x)－f (1－x)的图象不关于(1，0)对称，故D错误.故选D. 6.(多选)若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)＝f(－x) B.f(2＋x)＋f(2－x)＝0 C.f(3)＝f(5) D.f(x＋2)＝f(x－2) 答案：ABC 解析：因为f(x)为偶函数，则f(x)＝f(－x)，故A正确；因为f(x)的图象关于点(2，0)对称，对于f(x)的图象上的点(x，y)关于点(2，0)的对称点(4－x，－y)也在函数图象上，即f(4－x)＝－y＝－f(x)，用2＋x替换x得到，f[4－(2＋x)]＝－f(2＋x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0，故B正确；由f(2＋x)＋f(2－x)＝0，令x＝1，则f(3)＝－f(1)，令x＝3，则f(5)＝－f(－1)＝－f(1)，则f(3)＝f(5)，故C正确；由B知，f(2＋x)＝－f(2－x)＝－f(x－2)，故D错误.故选ABC. 7.(多选)已知函数f(x)的图象的对称轴为x＝3，则函数f(x)的解析式可以是(　　) A.f(x)＝x＋ B.f(x)＝ex－3＋e3－x C.f(x)＝x4－18x2 D.f(x)＝ 答案：BD 解析：若函数f(x)的图象的对称轴为x＝3，则f(6－x)＝f(x)总成立.对于A，f(6－x)＝6－x＋≠x＋＝f(x)，故A错误；对于B，f(6－x)＝e3－x＋ex－3＝f(x)，故B正确；对于C，f(0)＝0，f(6)＝64－18×62＝648≠f(0)，所以f(6－x)＝f(x)不恒成立，故C错误；对于D，易求f(x)的图象关于直线x＝3对称，故D正确.故选BD. 8.设函数y＝f的图象与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称，若f＋f(9)＝1，则实数m＝　　　　. 答案：1 解析：因为函数y＝f的图象与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称，所以x＝log3y－m，所以f＝log3x－m.又f＋f(9)＝1，所以(log33－m)＋(log39－m)＝1，整理得2m＝2，即m＝1. 9.(开放题)请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式f＝　　　　. ①f＝f；②f至少有两个零点；③f有最小值. 答案：x2－2x(答案不唯一) 解析：取f＝x2－2x，其对称轴为x＝1，满足①f＝f，令f＝x2－2x＝0，解得x＝0或2，满足②f至少有两个零点，f＝x2－2x＝－1，当x＝1时，f＝－1，满足③f有最小值.(答案不唯一). 10.已知函数y＝f(x)的定义域为R，且函数y＝f(x＋1)为偶函数，函数y＝f(x＋2)－1为奇函数，则f(0)＝　　　　. 答案：1 解析：因为函数y＝f(x＋1)为偶函数，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称.又因为函数y＝f(x)的定义域为R，函数y＝f(x＋2)－1为奇函数，所以函数y＝f(x)的图象关于点(2，1)对称，且f(2)＝1，所以f(0)＝f(2)＝1. (11、12题，每小题5分，共10分) 11.(多选)已知f(x)是定义在R上的函数，函数f(x－2)的图象关于y轴对称，函数f(x－1)的图象关于原点对称，则下列说法正确的是(　　) A.f(－2)＝0 B.对∀x∈R，f(x)＝f(x＋4)恒成立 C.函数f(x)关于点(－1，0)中心对称 D.f(2 027)＝0 答案：BCD 解析：因为函数f(x－2)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)的图象关于直线x＝－2对称，所以f(x－2)＝f(－x－2)，则f(x)＝f(－x－4).因为函数f(x－1)的图象关于原点对称，所以函数f(x)的图象关于点(－1，0)中心对称，f(－1)＝0，所以f(x－1)＝－f(－x－1)，则f(x)＝－f(－x－2)，故C正确；因为f(x)＝f(－x－4)＝－f(－x－2)，所以f(x－4)＝－f(x－2)，故f(x)＝f(x＋4)，故B正确；f(2 027)＝f(507×4－1)＝f(－1)＝0，故D正确；没有条件能确定f(－2)＝0，故A错误.故选BCD. 12.(2025·山东日照一模)已知函数f＝的图象关于点P对称，则点P的坐标为　　　　. 答案： 解析：令9－3x≠0，解得x≠2，可知f.又因为f＋f＝＋＝＝，所以函数f的图象关于点P对称. 13.(15分)(2025·陕西西安二模节选)已知函数f＝ln(x＋1)，设g(x)＝(x＋1)f()－f(＋1). (1)求g(1)－g(－2)的值； (2)证明：存在实数m，使得曲线y＝g(x)关于直线x＝m对称. 解：(1)根据题意，g(x)＝(x＋1)ln(＋1)－ln(＋2)， 所以g(x)＝(x＋1)ln －ln ， 所以g(1)＝2ln 2－ln 3＝ln ，g(－2)＝－ln －ln ＝－ln ＝ln ， 所以g(1)－g(－2)＝ln －ln ＝0. (2)证明：g(x)的定义域是(－∞，－1)∪(0，＋∞)，若存在实数m，使得曲线y＝g(x)关于直线x＝m对称，则定义域(－∞，－1)∪(0，＋∞)关于直线x＝m对称， 所以m＝－. 所以g(－1－x)－g(x)＝［(－x)ln －ln ］－［(x＋1)ln －ln ］ ＝［(－x)ln －ln ］－［(x＋1)ln －ln ］ ＝(xln －ln )－［(x＋1)ln －ln ］ ＝ln －ln －ln ＝ln(··)＝ln 1＝0， 所以g(－1－x)＝g(x)， 所以曲线y＝g(x)关于直线x＝－对称. (每小题5分，共10分) 14.(交汇题)已知函数f(x)＝＋＋的图象的对称中心在直线y＝ax＋b上，则a2＋b2的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：因为f(x)＝＋＋，所以f(x)＝3＋＋＋.函数f(x)的定义域是，所以由题意知函数f(x)满足f(x)＋f(6－x)＝6a＋2b，则3＋＋＋＋(3＋＋＋)＝6a＋2b，整理得6a＋2b＝6，所以3＝3a＋b， 所以a2＋b2＝a2＋(3－3a)2＝10a2－18a＋9＝10＋，当且仅当a＝时有最小值，所以a2＋b2的最小值为.故选C. 15.已知函数y＝f(x)－1是奇函数，若曲线y＝1＋与曲线y＝f(x)共有2 026个交点，分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x2 026，y2 026)，则(xi＋yi)＝　　　　. 答案：2 026 解析：因为y＝f(x)－1为奇函数，所以y＝f(x)的图象关于点(0，1)对称.又y＝1＋的图象关于点(0，1)对称，所以x1＋x2＋…＋x2 026＝0，y1＋y2＋…＋y2 026＝1 013×2＝2 026，所以(xi＋yi)＝(x1＋x2＋…＋x2 026)＋(y1＋y2＋…＋y2 026)＝2 026. 学生用书⬇第36页 学科网（北京）股份有限公司 $