第2章 第7讲 函数的单调性与最值(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（广东专版）

**基本信息** 以定义法为核心，通过基础判断-综合应用-创新拓展三级递进，系统构建单调性与最值的解题方法体系，强化逻辑推理与直观想象。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判断|1-5题|定义法/图象法判断单调性|从单调性定义到基本函数性质，形成概念认知链| |综合应用|6-9题、12题|分段函数单调性分析/参数范围求解|结合不等式与函数性质，构建应用逻辑| |创新拓展|13-14题|新定义函数单调性/跨模块综合|迁移核心方法解决复杂情境，发展数学抽象|

课时分层测评8　函数的单调性与最值 (时间：60分钟　满分：85分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8题，每小题5分，共40分) 1.下列函数中，在区间(0，1)上单调递增的是(　　) A.y＝－x2＋1 B.y＝ C.y＝ D.y＝3－x 答案：B 解析：y＝－x2＋1在区间(0，1)上单调递减，故A不符合题意；y＝是[0，＋∞)上的增函数，所以在区间(0，1)上单调递增，故B符合题意；y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以在区间(0，1)上单调递减，故C不符合题意；y＝3－x在区间(0，1)上单调递减，故D不符合题意.故选B. 2.函数f(x)＝在(　　) A.(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数 B.(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数 C.(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数 D.(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数 答案：C 解析：函数f(x)的定义域是{x｜x≠1}.f(x)＝＝－1，根据函数y＝－的单调性及有关性质，可知f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数.故选C. 3.已知函数f(x)＝，则f(x)在区间[2，6]上的最大值为(　　) A. B.3 C.4 D.5 答案：C 解析：因为f(x)＝＝2＋在[2，6]上单调递减，所以f(x)max＝f(2)＝4.故选C. 4.已知函数f(x)＝＋2x，若f(2a2－5a＋4)＜f(a2＋a＋4)，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，)∪(2，＋∞) B.(0，］∪[2，6) C.[2，6) D.(0，6) 答案：B 解析：由题意可知，函数f(x)在[2，＋∞)上单调递增.因为f(2a2－5a＋4)＜f(a2＋a＋4)，所以2≤2a2－5a＋4＜a2＋a＋4，解得2≤a＜6或0＜a≤.故选B. 5.(多选)下列说法中，正确的是(　　) A.若对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，＞0，则y＝f(x)在I上单调递增 B.函数y＝x2在R上是增函数 C.函数y＝－在定义域上是增函数 D.函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞) 答案：AD 解析：对于A，若对任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，＞0，则有f(x1)＜f(x2)，由函数单调性的定义可知y＝f(x)在I上单调递增，故A正确；对于B，由二次函数的性质可知，y＝x2在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故B错误；对于C，由反比例函数单调性可知，y＝－在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增，故C错误；对于D，由反比例函数单调性可知，y＝的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，故D正确.故选AD. 6.(多选)函数f(x)的定义域为R，对任意的实数x1，x2(x1≠x2)，满足x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)是减函数 B.f(－5)＜f(0)＜f(1) C.f(0)＝0 D.不等式f(2x－1)＜f(3－x)的解集为 答案：BD 解析：由x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，得(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，因此f(x)是增函数，故A错误；由－5＜0＜1，得f(－5)＜f(0)＜f(1)，故B正确；不一定有f(0)＝0，如f(x)＝2x在R上为增函数，f(0)＝1，故C错误；由f(2x－1)＜f(3－x)，得2x－1＜3－x，解得x＜，故D正确.故选BD. 【教师备选】　(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)＞0，g(x)＞0，f(x)是减函数，g(x)是增函数，则下列说法正确的有(　　) A.g(x)＋f(x)是增函数 B.f(x)－g(x)是减函数 C.f(x)g(x)是增函数 D.是减函数 答案：BD 解析：对于A，若g(x)＝2x，f(x)＝()x，则g(1)＋f(1)＝，g(－1)＋f(－1)＝，故g(x)＋f(x)不一定为增函数，故A错误；而f(x)·g(x)＝1不是增函数，故C错误；对于B，因为g(x)是增函数，所以－g(x)为减函数.又f(x)是减函数，所以f(x)－g(x)＝f(x)＋(－g(x))为减函数，故B正确；对于D，因为g(x)是增函数，且g(x)＞0，所以＞0且是减函数.又f(x)＞0，且f(x)为减函数，所以＝f(x)×为减函数，故D正确.故选BD. 7.(双空题)函数y＝－x2＋2｜x｜＋1的单调递增区间是　　　　　　　　，单调递减区间是　　　　　　　　. 答案：(－∞，－1]和[0，1]　(－1，0)和(1，＋∞) 解析：由于y＝ 即y＝ 画出函数的图象如图所示， 所以单调递增区间是(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间是(－1，0)和(1，＋∞). 8.已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围是　　　　. 答案：(0，］ 解析：因为函数f(x)＝是定义在R上的增函数，所以解得0＜a≤. 9.(10分)已知f(x)＝. (1)若a＝－2，试证明：f(x)在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a＞0，且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围. 解：(1)证明：当a＝－2时，f(x)＝. 任取x1，x2∈(－∞，－2)，且x1＜x2， 则f－f＝－ ＝. 因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0， 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增. (2)任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2， 则f－f＝－ ＝. 因为a＞0，x2－x1＞0，所以要使f(x1)－f(x2)＞0， 只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，所以a≤1. 综上所述，实数a的取值范围是(0，1]. (10、11题，每小题5分，共10分) 10.已知函数y＝f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有＞－1，则下列说法正确的是(　　) A.y＝f(x)＋x是增函数 B.y＝f(x)＋x是减函数 C.y＝f(x)是增函数 D.y＝f(x)是减函数 答案：A 解析：不妨令x1＜x2，所以x1－x2＜0，＞－1⇔f－f＜－(x1－x2)⇔f＋x1＜f＋x2.令g(x)＝f(x)＋x，所以g(x1)＜g(x2).又x1＜x2，所以g(x)＝f(x)＋x是增函数.故选A. 11.(多选)已知函数f(x)＝x－，下列说法正确的是(　　) A.当a＞0时，f(x)在定义域上单调递增 B.当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞) C.当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞) D.当a＞0时，f(x)的值域为R 答案：BCD 解析：当a＞0时，f(x)＝x－，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).因为f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，又当x→－∞时，f(x)→－∞，当x→0－时，f(x)→＋∞，当x→0＋时，f(x)→－∞，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，所以f(x)的值域为R，故A错误，D正确；当a＝－4时，f(x)＝x＋，由其图象(图略)可知，B、C正确.故选BCD. 12.(15分)已知a∈R，函数f(x)＝x2＋的定义域是(1，＋∞). (1)求f(2)的值(用含a的式子表示)； (2)若函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围； (3)在(2)的条件下，若对(1，＋∞)内的任意实数x，不等式f＞4＋恒成立，求实数a的取值范围. 解：(1)由函数f(x)＝x2＋可得，f(2)＝22＋＝4＋. (2)任取x1＞x2＞1，则f(x1)－f(x2)＝－＝(－)＋＝(x1－x2)·. 因为函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x1)－f(x2)＞0. 因为x1＞x2＞1，所以x1－x2＞0，x1x2＞0， 所以(x1＋x2)x1x2－a＞0，即a＜(x1＋x2)x1x2恒成立. 因为x1＞x2＞1，所以x1＋x2＞2，x1x2＞1， 所以(x1＋x2)x1x2＞2，所以a≤2. 故实数a的取值范围是(－∞，2]. (3)由(1)可知f(2)＝4＋， 所以不等式f＞4＋可化为f＞f(2). 因为f(x)在(1，＋∞)上单调递增， 所以ex－＞2恒成立， 即a＜(ex)2－2ex在(1，＋∞)上恒成立. 记g(x)＝(ex)2－2ex，x∈(1，＋∞). 令t＝ex，则t＞e， 所以y＝t2－2t＝(t－1)2－1在(e，＋∞)上单调递增， 所以y＞e2－2e，所以a≤e2－2e. 故实数a的取值范围是(－∞，e2－2e]. (每小题5分，共10分) 13.(多选)(2025·八省联考)在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数.双曲正切函数是一种激励函数.定义双曲正弦函数sin hx＝，双曲余弦函数cos hx＝，双曲正切函数tan hx＝.则(　　) A.双曲正弦函数是增函数 B.双曲余弦函数是增函数 C.双曲正切函数是增函数 D.tan h＝ 答案：ACD 解析：对于A，令f＝sin hx＝，则f'(x)＝＞0恒成立，故双曲正弦函数是增函数，故A正确；对于B，令g＝cos hx＝，则g'＝，由选项A知，g'为增函数，又g'＝＝0，故当x∈时，g'＜0，当x∈时，g'＞0，故g上单调递减，在上单调递增，故B错误；对于C，tan hx＝＝＝＝＝1－，由y＝e2x＋1在R上单调递增，且y＝e2x＋1＞1，故tan hx＝1－是增函数，故C正确；对于D，由C知tan hx＝，则tan h＝，＝ ＝ ＝ ＝＝，故tan h＝，故D正确.故选ACD. 14.(双空题)已知函数f(x)＝若对任意x1，x2∈R，且x1≠x2都有＜0，则实数a的取值范围是　　　　　；若f(x)在[－1，t)上的值域为[0，4]，则实数t的取值范围是　　　　　. 答案：(－∞，0] 　(2，4] 解析：第一空：若对任意x1，x2∈R，且x1≠x2都有＜0，则f(x)在R上是减函数，则≤0，即a≤0，所以实数a的取值范围是(－∞，0]. 第二空：当a＞0时，若f(x)在[－1，t)上的值域为[0，4]，则f＝－＝4，解得a＝4或a＝－4(舍去).又f(－1)＝2，f(0)＝f(4)＝0，所以2＜t≤4；当a≤0时，f(x)在[－1，t)上单调递减，则f(x)在[－1，t)上的最大值为f(－1)＝2，不符合题意，所以实数t的取值范围是(2，4]. 学科网（北京）股份有限公司 $