训练9 函数性质的综合应用-【红对勾讲与练·练习手册】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

因为[2-m,m]三[-2,4]，所以 2-m≥2，解得2≤m≤4. m 4, 综上，可得实数m的取值范围是 [-2,4]. 训练9函数 性质的综合应用 1.Bf(x)的定义域为{xx≠0， f-x)=-(e3-)=-fx 即函数f(x)为奇函数.当x>0时， y=x为增画数y=为减函数， 故函数fx)=-号在x>0时为 增函数.故选B. 2.C由奇函数的定义可得f(一x)= 一f(x),当一2x<0时，则0< -x≤2，f(-x)=-f(x)< 0→f(x)>0;当x-2时，则一x≥ 2,f(-x)=-f(x)>0→f(x)<0. 由xf(x)>0=>0,】 fx)>o或 fx)二0，根据分析可得xf(x)>0 x0, 的解集为(-∞，一2)U(2,+∞).故 选C 3.C因为f(x)是定义在R上的奇函 数，由f(2x+1)+f(1)≥0可得 f(2x+1)≥-f(1)=f(-1),又因为 x∈[0，十∞)时，f(x)单调递增，故 f(x)在R上单调递增，故2x十1≥ 一1，解得x≥-1.故选C. 4.D因为函数f(x)满足f(一2一x) f(一2+x),所以f(x)的图象关于直 线x=一2对称.因为函数∫(x)对任 意x1,x2∈（一o∞，一2]，且x1≠x2, 都有x1）-fx2>0成立，所以 x1一x2 f(x)在（一∞，一2]上为增函数.又因 为f(x)的图象关于直线x=一2对 称，f(0)=0,所以f(x)在(-2，十∞) 上为减函数，且f(一4)=0.用折线图 表示函数f(x)的单调性，如图所示， y 4-2: 由图知f(x)>0的解集为（一4,0）.故 选D. 5.C因为y=f(x)的图象关于直线 x=1对称，则f(1-x)=f(1十 x)①，又f(1-x)十g(x)=10,结合 ①得g(x)十f(1十x)=10②，因为 f(x)-g(x-4)=5,则f(1十x) g(x-3)=5,结合②得g(x)十 g(x-3)=5,则令x=1,得g(1)十 g(-2)=5,令x=2,得g(-1)十 g(2)=5,由f(1-x)十g(x)=10, 得f(2)十g(-1)=10,由f(x) g(x-4)=5,得f(2)-g(-2)=5, 则g(-1)十g(-2)=5,所以g(1)十 g(2)=5.故选C. 514红对构·讲与练·高三数学· 6.A由f(x十2)一2为奇函数，得 f(-x十2)-2=-f(x+2)十2，即 f(一x十2)十f(x十2)=4，所以函数 f(x)的图象关于点(2,2)中心对称 由f(3.x+1)为偶函数，得f(-3.x 1)=f(3.x+1),即f(-x+1)= f(x十1)，即f(-x)=f(x十2)，所 以函数f(x)的图象关于直线x=1 对称，所以f(-x十2)十f(-x)=4, 即f(x十2)十f(x)=4,可得f(x十 4)十f(x十2)=4，所以f(x十4)= (x),所以函数f(x)为周期为4的 函数，由f(1)=0,f(1)十f(3)=4, 得f(3)=4,f(2)十f(2)=4,即 f(2)=2,又f(4)=f(-2)=f(2), 所以f(4)=2,所以f(1)+f(2)+ 3)+f(4=8,所以∑fk)习 506[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+ f(1)+f(2)=506×8+2=4050.故 选A. 7.BCD因为f(2x十1)为偶函数，故 f(-2x+1)=f(2x+1),故f(x十 1)=f(1一x),所以f(x)的图象有 条对称轴为直线x=1,且f(x一1)= f(3一x),又f(x一1)的图象关于，点 (3,3)成中心对称，故f(6一x一1)十 f(x-1)=6,故f(5-x)十f(x 1)=6,故f(2)=3且f(5-x)十 f(3-x)=6,所以f(x)十f(x十 2)=6,所以f(x十4)十f(x十2)=6， 所以f(x)=f(x十4)，故f(x)为周 期函数且周期为4，故f(x)的图象有 一条对称轴为直线x=5,故A错误，C 正确；而f(22)=f(2)=3,故B正确； 由f(x)+f(x十2)=6可得f(1)十 f(3)=6,f(2)十f(4)=6,故 yfi)=4×12+f(1)+f(2)马 f(3)=48十9=57，故D正确.故 选BCD. 8.AB由f(x十6)=f(x)①，可得函 数f(x)的周期为6，由f(3十x)十 f(3-x)=0,可得f(3十x)= 一f(3一x)②，即函数f(x)的图象关 于点(3,0)成中心对称，又由②式可得 f(x十6)=一f(-x),结合①式可得 f(-x)=一f(x),故B正确；又f(x) 是定义域为R的函数，故f(0)= -(0),即得f(0)=0,故A正确；由 上述分析知，f(0)=0,f(2)=0,由 f(x)的图象关于点(3,0)成中心对 称，f(x)是定义域为R的函数可知， f(3)=0,f(4)=f(2)=0,f(6)= f(0)=0,f(8)=f(2)=0,f(9)= f(3)=0,f(10)=f(4)=0,故函数 f(x)在[0,10]上至少有8个零点，故 D错误；因为f(15)=f(3)=0,且 f(11)=f(5)=f(-1)=-f(1),而 f(1)的值不能确定，即得不到f(15)= f(11),故C错误.故选AB. 9.AB 对于A,因为f(2-x)= f(2+x),故函数f(x)的图象关 线x三号对称，故A正确： 基础版 B,由f(-2x十1)=-f(2x十 1)台f(-x十1)=-f(x十1)，故 f(x十1)为奇函数，故B正确；对于 c因为f(合-)=f(合+)： 所以f(x)=f(1-x)=-f(1+ x),即f(x+2)=-f(x+1) f(x),故f(x)的最小正周期为2，故 C错误：对于D,由题意可得f(1)=0, 对于（分-）=（合+小令 x=之可得f0)=f)=0,故D 错误，故选AB. 10.4 解析：由于函数y=∫(x)的图象关 于直线工=号对称f()=4,故 f(-2)=f(5)=4,又y=f(x)为 偶函数，故f(2)=f(一2)=4，则 f(-1)=f(1)=f(2)=4. 11.(-2,+∞) 解析：因为f(2一x)=21一2-1，则 f(2一x)十f(x)=0,可知函数 f(x)的图象关于点(1,0)对称，且 f(x)单调递增，不等式f(2a)十 f(4-a)>0转化为f(2a)> -f(4-a)=f(a-2),所以2a> a-2,解得a>-2. 12.8 解析：由已知f(x)=f(-x),且 f(12+x)=-f(-x),.f(x+ 24)=f(12+(12+x))= -f(-(12+x)=-f(12+x)= f(-x)=f(x),即函数f(x)是以 24为周期的周期函数，故「(2024)= f(84×24十8)=f(8)=f(12+ (-4))=-f(4)=8. 13.解：(1)令x=y=0,可得f(0)= f(0)十f(0),故f(0)=0, 令y=-x可得f(0)=f(x)十 f(-x),故f(-x)=-f(x). 又函数f(x)的定义域为R,故函数 f(x)为奇函数. (2)令x<0,则-x>0,故 f(-x)=(-x)2+2(-x)=x 2x, 又f(-x)=-f(x),所以 f(x)=-f(-x)=-x2十2x, f(0)=0, 综上可知， x2+2x,x≥0， fx)=x2+2xx<0. 故函数图象如下： '1 3 -2-1012x 2 -3 -4 (3)由(2)可知，函数f(x)为R上的 增函数， 因为f(x-2)十f(x2-2x)>0, 所以f(x-2)>-f(x2-2x)= f(2x-x2), 所以x-2>2x-x2,解得x<-1或 x>2,故不等式的解集为（一∞， -1)U(2,十∞). 14.解：(1)由f(x)=-f(4-x)得 f(-x)=-f(x十4)， 又因为f(x十2)=f(-x), 所以f(x十4)=一f(x十2)，所以 f(x+2)=-f(x）, 所以f(x十4)=f(x),且 f(-x)=-f(x), 所以函数f(x)周期为4，且是奇 函数. 当x∈[-2,0]时， f(x)=-f(-x)=x2+2x, 当x∈[2,4]时，x-4∈[-2,0]， f(x)=f(x-4)=(x-4)”十 2(x-4)=x2-6x十8. (2)f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0, f(3)=-1, 则f(0)十f(1)+f(2)+f(3)=0, 由f(x)周期为4知，f(0)十f(1) f(2)+f(3)+f(4)+…+f(506X 4)=f(2024)=f(0)=0. 训练10二次函数 1,A因为y=√E-x=-(√E)2十 F=-(-2)+红>0. 当反=子即x=子时y=反 1 x(x>0)取得最大值，且ymx=: 故选A. 2.D由a>b>c,且a十b十c=0,得 a>0,c<0,所以函数图象开口向上， 排除A,C:又f(0)=c<0,排除B.故 选D. 3.A由f(0)=f(4),得a≠0，且 f(x)=a.x2十bx十c图象的对称轴为 -6=2,所以4a十b=0, 直线x=一2a 又f(0)>f(1),f(4)>f(1),所以 f(x)先减后增，于是a>0.故选A. 4.D函数f(x)=-x2十2(1-m)x十 3的图象的对称轴为直线x _21一m）=1-m,因为函数 -2 f(x)=-x2+2(1-m)x十3在区间 (一∞，4]上单调递增，所以1一m≥4， 解得m≤-3，所以实数m的取值范围 为(-∞，一3].故选D. 5.Af(x)=x2+(3m十5)x+1, f(-x)=(-x)2+(3m十5)-x十 1=x2+(3m+5)|x+1=f(x), 所以f(x)为偶函数.因为f(x)= x2十(3m十5)x十1有四个单调区 间，所以f(x)在y轴右侧有两个单调 区间，所以-3m,+5>0,解得m< 2 5 故选A 6.B①若a>2,当2<x<a时， f(x）=xx-a-2a2=-x2十 a.x-2a2,此时4=a2-4X(-1)X (-2a2)=-7a2<0,又-1<0，所以 f(x)<0,不满足当x>2时， f(x)>0,故a>2不符合题意；②若 0<a≤2，当x>2时，f(x)= x x-a-2a?=x2-ax-2a2= (x-2a)(x+a)>0,解得x>2a,由 于当x>2时，f(x)>0,故2a≤2， 解得0<a≤1：③若a=0,当x>2 时，f(x)=x2>0恒成立，符合题意； ④若a<0,当x>2时，f(x)= xx-a-2a2=x2-a.x-2a2= (x-2a)(x十a)>0,解得x>-a,由 于当x>2时，f(x)>0,故-a≤2， 解得一2≤a<0.综上，a的取值范围 为[-2,1].故选B. 7.ABD因为二次函数的图象过点(1， 0),且对称轴为直线x=2,所以图象 与x抽的另一个交点为(3,0)，所以在 x轴上截得的线段的长度是2，故A,D a十b十c=0, 正确；由已知得 b 2a=2, 解得 b=一4a'所以二次函数为y= c=3a, a(x2一4x十3)，其图象顶，点的横坐标 为2，所以顶点一定不是（一2，一2），当 a=1时，与y轴交于点(0,3)，故B正 确，C错误.故选ABD. 8.AD由题意得，当x≥0时，f(x)= x-x”=- -2)》°+7x< 0时，f(x)=f(一x)=一x一x= -(2+)》+x)的最大值为 1 2 A正确：fx)在(0)上是减 1 函数，B错误；f(x)>0的解集为(-1， 0)U(0,1),C错误；当x≥0时，f(x)+ 2x=3.x一x2≥0的解集为[0,3]，当 x<0时，f(x)十2x=x-x2≥0无 解，D正确.故选AD. 9.AC当a≤0时，f(x)在[0,2]上单 调递增，f(x)mx=f(2)=22 a=2,解得a=1(舍去)或a=3(舍 去).当a>0时，f(x)= x(-a…当号 >2,即 x(x-a),x>a, a>4时，f（x)mx=f(2)=-2(2- a)=2,解得a=3(舍去).当x>a 时，令f(x)=f(经)，解得x E十1Da(负值舍去).当号≤2≤ 2 5+1Da,即42-1)≤a≤4时， 2 fx)=f(侣）-=2，解得a= 22.当2> (W2+1)a,即0<a< 2 4(W2-1)时，f(x)mx=f(2)=2(2 a)=2,解得a=1.故选AC. 10 10. 解析：y=x2-2.x十m-1(m>0) 图象的对称轴为直线x=m.当0 m<2时，yi=m2-2m2十m 1=-7,解得m=3或m=-2,与 0<m<2矛盾，舍去；当m≥2时， ymim=22-2mX2十m-1=-7,解 综上可知，m=10 得m=10 3 11.[-3,0] 解析：当a=0时，f(x)=一3x十1 在[一1，十∞)上单调递减，满足题意： 当a≠0时，f(x)图象的对称轴为直线 x=3.0,由f(x)在[-1，+∞)上单 2a a<0, 调递减，知3一a≤-1， 解得一3≤ 2a a<0.综上，a的取值范围是[-3,0]. 12.5 解析：因为二次函数f(x)=a.x2十 2x十c(x∈R)的值域为[2，十∞)，所以 a>0, f(x)n=4如c4=ac-1=2, 4a 解得a= 1 2>0,则c>2,所以 +16 16 a T+=(+1)+ c+1 3≥ 16 2√c+1)·中-3=5，当且仅当 c=3时，学号成立，所以已+片的 最小值是5. 13.解：(1)如图所示，根据偶函数的图象 关于y轴对称，可作出f(x)的图象。 当x>0时，一x<0,因为函数f(x) 为偶函数，所以(x)=f(一x)= x2-2x, 所以函数f(x)的解析式为f(x)= {x2+2x,x≤0， x2-2x,x>0, 可得f(x)的单调递减区间为[0,1门 和（一0o,一1]. y 人、 2 -4-3-29八234 (2)当x∈[1,2]时，g(x)=f(x) 2ax+1=x2-2(a+1)x+1, 可得其图象开口向上且对称轴方程 为x=a十1， 3 ①当a十1≤2，即a≤ 时， 2 g(x）mx=g(2)=1-4a; 1时 ②当a+1之？，即a≥2 g(x）mx=g(1)=-2a. 综上可得， 1-4a,a≤2’ .1 g(x）nx= 2a,a>2 14.解：(1)设y=kx+b(k≠0). 由题表格中的数据可得 86中。1180解得台二im 10k+b=160, 所以y与x之间满足函数解析式y= 6x十100,5≤x≤25. 参考答案515班级： 姓名： 训练9 函数性质的综合应用 (总分：100分) 一、单项选择题（每小题5分，共30分） 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 1.已知函数fx)=x-1,则f(x) 7.(2025·四川绵阳阶段练习)若函数f(x)的定义 域为R,且f(2x+1)为偶函数，f(x一1)的图象 A.是偶函数，且在(0，十∞)上是增函数 关于点(3,3)成中心对称，则下列说法正确的是 B.是奇函数，且在(0，十∞)上是增函数 () C.是偶函数，且在(0，十∞)上是减函数 A.f(x)的一个周期为2 D.是奇函数，且在(0，十∞)上是减函数 B.f(22)=3 2.已知定义在R上的奇函数f(x),当0<x≤2时， C.f(x)的图象的一条对称轴为直线x=5 f(x)<0,当x>2时，f(x)>0,则不等式 xf(x)>0的解集为 () D.∑f(i)=57 A.(2,+∞) 8.(2025·吉林长春阶段练习)已知定义域为R的函 B.(-2,0)U(2,+∞) 数f(x)满足f(x)不恒为零，且f(x+6) C.(-∞，-2)U(2,+∞) f(x),f(3+x)+f(3-x)=0,f(2)=0,则下列 D.(-2,0)U(0,2) 结论正确的是 () 3.已知定义在R上的奇函数f(x),且当x∈ A.f(0)=0 [0,十∞)时，f(x)单调递增，则不等式f(2x+ B.f(x)是奇函数 1)+f(1)≥0的解集是 ( C.f(x)的图象关于直线x=13对称 A.(-∞，1) B.(-1,+∞) D.f(x)在[0,10]上有6个零点 C.[-1,+∞) D.(-∞，1] 9.已知定义在R上的函数f()满足f(兮-x) 4.(2025·北京开学考试)已知函数f(x)满足f(一2 x)=f(-2十x),对任意x1x2∈(-∞，-2]，且 f(}+小f(-2x+1D=-f2x+1.且f) ≠：都有二>0发立，且 不是常数函数，则 C1一x2 f(0)=0,则f(x)>0的解集是 ) Af:)的图象关于直线x=台对称 A.(-∞，-2)U(2,+∞) B.f(x+1)为奇函数 B.(-2,2) C.f(x)的最小正周期为4 C.(-∞，-4)U(0,+∞) D.f(0)=2 D.(-4,0) 三、填空题（每小题5分，共15分） 5.(2025·山东泰安开学考试)已知函数f(x),g(x) 10.(2024·陕西咸阳一模)函数y=f(x)为偶函数， 的定义域为R,y=f(x)的图象关于直线x=1对 称，且f(1-x)+g(x)=10,f(x）-g(x-4) 且图象关于直线x=?对称，若f(5)=4,则 Γ2 5,若f(2)=1,则g(1)+g(2)= () f(-1)= 得分 A.-5 B.-6 11.(2024·四川乐山期中)已知函数f(x)=21 C.5 D.6 21,则满足不等式f(2a)+f(4-a)>0的实数 6.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)一2为 a的取值范围是 得分 奇函数，f(3x十1)为偶函数，f(1)=0,则 12.(2024·云南昆明阶段练习)已知函数f(x)的定 f)= 义域为R,且f(x)为偶函数，其图象关于点(6， k-1 A.4050 B.4048 0)对称.当x∈[0,6]时，f(x)=x2-6.x,则 C.4044 D.4036 f(2024)= 得分 (横线下方不可作答) 277 第二章 函数的概念与基本初等函数 四、解答题（共37分） 14.(19分)(2024·山东青岛模拟)设f(x)是定义在 13.(18分)(2025·江西上饶开学考试)若函数f(x) R上的函数，且对任意实数x,恒有f(x十2)= 的定义域为R,f(x)不是常数函数，且对任意的 f(-x),f(x)=-f(4-x),当x∈[0,2]时， x,y∈R,都有f(x十y)=f(x)十f(y)成立. f(x）=2x-x2. 得分☐ 得分 (1)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式： (1)试判断f(x)的奇偶性； (2)计算：f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2024). (2)若当x>0时，f(x)=x2+2x,求f(x)的 解析式，并画出函数图象； (3)在(2)的前提下，解不等式f(x一2)+ f(x2-2x)>0. 红对勾·讲与练278] 高三数学·基础版 ■