第1章 第5讲 第2课时 一元二次方程、不等式(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（广东专版）

**基本信息** 聚焦一元二次方程与不等式，以分层训练构建“解法-参数-综合-创新”递进体系，渗透分类讨论、函数思想等数学思维，培养运算能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础解法|1-3、7-8题|因式分解法、根与系数关系、绝对值不等式分段讨论|从不等式解集逆向推导参数，夯实概念生成与求解逻辑| |参数讨论|4-6、9题|分离参数法、对勾函数单调性、分类讨论参数正负|结合参数取值分析不等式解集，深化原理推导与变式应用| |综合应用|10-13题|类比迁移法、函数奇偶性与单调性、存在性问题转化|关联函数性质与不等式，构建知识应用拓展链条| |创新题型|14-15题|新定义转化、恒成立问题参数最值|融合跨模块知识，培养数学眼光与问题解决能力|

课时分层测评6　一元二次方程、不等式 (时间：60分钟　满分：90分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8题，每小题5分，共40分) 1.已知A＝，B＝，则A∩B＝(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：由－4x2＋16x－12≥0，即≤0，解得1≤x≤3，所以A＝＝.又B＝，所以A∩B＝＝.故选C. 2.已知不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x｜－1＜x＜2}，则不等式2x2＋bx＋a＜0的解集为(　　) A. B. C.{x｜－2＜x＜1} D.{x｜x＜－2，或x＞1} 答案：A 解析：因为不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x｜－1＜x＜2}，所以ax2＋bx＋2＝0的两根为－1，2，且a＜0，－1＋2＝－，×2＝，解得a＝－1，b＝1，则所求不等式可化为2x2＋x－1＜0，解得－1＜x＜，则不等式2x2＋bx＋a＜0的解集为.故选A. 3.已知命题p：“∀x∈R，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3＞0”为真命题，则实数a的取值范围是(　　) A.{a｜－1＜a＜2} B.{a｜a≥1} C.{a｜a＜－1} D.{a｜－1≤a＜2} 答案：D 解析：当a＝－1时，3＞0成立；当a≠－1时，需满解得－1＜a＜2.综上所述，实数a的取值范围是{a｜－1≤a＜2}.故选D. 4.对任意x∈[1，2]，不等式ax2－2x＋3a＜0恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，) B.(－∞，) C.(，＋∞) D.(－∞，) 答案：D 解析：分离参数得a＜，要使对任意x∈[1，2]，不等式ax2－2x＋3a＜0恒成立，只需a＜.又因为＝，令f(x)＝x＋，由对勾函数性质可知，f(x)在[1，)上单调递减，在[，2]上单调递增，又f(1)＝4，f(2)＝，所以f(x)max＝4，所以＝，所以a＜.故选D. 【教师备选】　若关于x的不等式3x2－(a＋2)x－3＞0在区间［，2］内有解，则a的取值范围是(　　) A.(－10，) B.(－∞，－10) C.(－∞，－2) D.(－∞，) 答案：D 解析：因为x∈［，2］，所以由不等式3x2－(a＋2)x－3＞0得a＋2＜＝3x－.不等式3x2－(a＋2)x－3＞0在区间［，2］内有解，只需a＋2＜. 因为y＝3x－在x∈［，2］上单调递增，所以y的最大值为ymax＝3×2－＝，可得a＋2＜，解得a＜.故选D. 5.(多选)已知a∈R，关于x的不等式(ax－2)(x＋2)＞0的解集可能是(　　) A. B.{x｜x＞－2} C. D. 答案：ACD 解析：当a＝0时，(ax－2)(x＋2)＝－2(x＋2)＞0，解得x＜－2；当a＞0时，(ax－2)(x＋2)＝a·(x＋2)＞0，解得x＞或x＜－2，故A正确；当a＜0时，(ax－2)(x＋2)＝a·(x＋2)＞0，若＝－2，则a＝－1，则解集为空集；若＜－2，则－1＜a＜0，则不等式的解集为，故D正确；若＞－2，解得a＜－1，则不等式的解集为，故C正确.故选ACD. 6.(多选)关于x的不等式(ax－1)(x＋2a－1)＞0的解集中恰有3个整数，则a的值可以为(　　) A.－ B.1 C.－1 D.－2 答案：AC 解析：由题意知a＜0，则排除B；对于A，当a＝－时，＞0，即(x＋2)(x－2)＜0，解得－2＜x＜2，解集中恰有3个整数，符合题意；对于C，当a＝－1时，(－x－1)(x－3)＞0，即(x＋1)(x－3)＜0，解得－1＜x＜3，解集中恰有3个整数，符合题意；对于D，当a＝－2时，(－2x－1)(x－5)＞0，即(2x＋1)(x－5)＜0，解得－＜x＜5，解集中有5个整数，不符合题意.故选AC. 7.不等式＞x的解集为　　　　　. 答案：(－∞，－1)∪(1，5) 解析：不等式＞x化为以下两个不等式组解得x＜－1，解解得1＜x＜5，所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，5). 8.不等式－＜0的解集为　　　　. 答案： 解析：当x＞2时，－＝2x－1－x＋2＝x＋1；≤x≤2时，－＝2x－1＋x－2＝3x－3；x＜时，－＝1－2x＋x－2＝－x－1；－＝当x＞2时，x＋1＜0⇒x＜－1，无解；≤x≤2时，3x－3＜0⇒x＜1，解为≤x＜1；x＜时，－x－1＜0⇒x＞－1，解为－1＜x＜.取并集，所以原不等式的解集为. 9.(10分)解关于x的不等式2a2x2－3ax－2＞0，a∈R. 解：当a＝0时，原不等式即为－2＞0，该不等式的解集为⌀； 当a≠0时，2a2＞0， 原不等式即为(2ax＋1)(ax－2)＞0. ①若a＜0，则－＞，原不等式的解集为； ②若a＞0，则－＜，原不等式的解集为. 综上所述，当a＝0时，原不等式的解集为⌀； 当a＜0时，原不等式的解集为； 当a＞0时，原不等式的解集为. (10—12题，每小题5分，共15分) 10.对于问题“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－1，2)，解关于x的不等式ax2－bx＋c＞0”，给出如下一种解法.解：由ax2＋bx＋c＞0的解集为(－1，2)，得a(－x)2＋b(－x)＋c＞0的解集为(－2，1)，即关于x的不等式ax2－bx＋c＞0的解集为(－2，1).参考上述解法，若关于x的不等式＋＜0的解集为∪，则关于x的不等式＋＜0的解集为(　　) A.(－2，1)∪(1，3) B.(－3，－1)∪(1，2) C.(－3，－2)∪(－1，1) D.(－2，－1)∪(1，2) 答案：B 解析：若关于x的不等式＋＜0的解集为∪，则关于x的不等式＋＜0可看成是前者不等式中的x用代替得到的，所以∈∪，则x∈(－3，－1)∪(1，2).故选B. 11.已知函数f是定义在R上的偶函数，且在上单调递增.若关于x的不等式f≤4的解集为∪，则不等式f＞2x2的解集为(　　) A.(－∞，－2)∪(2，＋∞) 　B.(－2，2) C.(－∞，－4)∪(4，＋∞) 　D.(－4，4) 答案：B 解析：因为函数f是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，所以f上单调递减.又f≤4的解集为(－∞，－2]∪，可得f＞4，所以当x≥2，或x≤－2时，y＝f(x)的图象在y＝4图象的下方，当－2＜x＜2时，y＝f(x)的图象在y＝4图象的上方.又因为当x≥2，或x≤－2时，y＝2x2的图象在y＝4图象的上方，当－2＜x＜2时，y＝2x2的图象在y＝4图象的下方，所以当x≥2，或x≤－2时，y＝f(x)的图象在y＝2x2图象的下方，当－2＜x＜2时，y＝f(x)的图象在y＝2x2图象的上方，则不等式f＞2x2的解集为.故选B. 12.(新定义)在R上定义运算： a⊕b＝a(b＋1).已知－1≤x≤1时，存在x使不等式(m－x)⊕(m＋x)＜0成立，则实数m的取值范围是　　　　　　. 答案：{m｜－2＜m＜1} 解析：根据题意，不等式(m－x)⊕(m＋x)＜0，即(m－x)(m＋x＋1)＜0，即(x－m)(x＋m＋1)＞0，则当－1≤x≤1时存在x使不等式(x－m)(x＋m＋1)＞0成立，即当－1≤x≤1时存在x使不等式x2＋x＞m2＋m成立.令f(x)＝x2＋x，x∈[－1，1].因为f(x)＝－在［－1，－)上单调递减，在［－，1］上单调递增，且f(－1)＝0，f(1)＝2，f(－)＝－，所以f(x)∈［－，2］，所以m2＋m＜2，解得－2＜m＜1，即实数m的取值范围是{m｜－2＜m＜1}. 13.(15分)已知函数f(x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2. (1)若不等式f(x)≥－2对于一切实数x恒成立，求实数a的取值范围； (2)若a＜0，解关于x的不等式f(x)＜a－1. 解：(1)∀x∈R，f(x)≥－2恒成立等价于∀x∈R，ax2＋(1－a)x＋a≥0， 当a＝0时，x≥0，对一切实数x不恒成立，则a≠0， 此时必有 即解得a≥， 所以实数a的取值范围是. (2)依题意，因为a＜0，则f(x)＜a－1⇔ax2＋(1－a)x－1＜0⇔＞0， 当a＝－1时，－＝1，解得x≠1； 当－1＜a＜0时，－＞1，解得x＜1或x＞－； 当a＜－1时，0＜－＜1，解得x＜－或x＞1. 所以，当a＝－1时，原不等式的解集为{x｜x≠1}； 当－1＜a＜0时，原不等式的解集为{x｜x＜1，或x＞－}； 当a＜－1时，原不等式的解集为{x｜x＜－，或x＞1}. (每小题5分，共10分) 14.(新定义)(多选)设＜x＞表示不小于实数x的最小整数，则满足关于x的不等式＜x＞2＋＜x＞－12≤0的解可以为(　　) A. B.3 C.－4.5 D.－5 答案：BC 解析：因为不等式＜x＞2＋＜x＞－12≤0，所以(＜x＞－3)(＜x＞＋4)≤0，即－4≤＜x＞≤3，又因为＜x＞表示不小于实数x的最小整数，＜＞＝4，＜3＞＝3，＜－4.5＞＝－4，＜－5＞＝－5，所以不等式＜x＞2＋＜x＞－12≤0的解可以为3，－4.5.故选BC. 15.(创新交汇)(2025·天津卷) 若a，b∈R，对∀x∈[－2，2]，均有(2a＋b)x2＋bx－a－1≤0恒成立，则2a＋b的最小值为　　　　. 答案：－4 解析：设t＝2a＋b，原题转化为求t的最小值，原不等式可化为对任意的－2≤x≤2，tx2＋x－a－1≤0，不妨代入x＝－，得t－－a－1≤0，得t≥－4，当t＝－4时，原不等式可化为－4x2＋x－a－1≤0，即－［2x＋］2＋a2≤0，观察可知，当a＝0时，－(2x＋1)2≤0对－2≤x≤2一定成立，当且仅当x＝－取等号，此时，a＝0，b＝－4，说明t＝－4时，a，b均可取到，满足题意，故t＝2a＋b的最小值为－4. 学生用书⬇第20页 学科网（北京）股份有限公司 $