第2章 培优进阶2 指、对、幂的大小比较(高考超重点)(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

该高中数学高考复习讲义聚焦指对幂大小比较这一高考热点，按直接法（单调性、中间值、特殊值）、运算性质法、构造函数法的逻辑层次梳理考点，通过考点解析、规律总结、真题精讲及对点练，帮助学生构建系统解题框架，突破比较大小的难点。 讲义突出分层教学与方法创新，如构造函数法中通过同构思想建立函数模型（典例5构造f(x)=e^x - 1/x分析零点），培养数学思维与创新意识。设置基础到创新的分层练习，结合高考真题规律，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生应考能力。

培优进阶2　指、对、幂的大小比较(高考超重点) 　　指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现． 题型一　直接法比较大小 角度1　利用函数的单调性法比较大小 (1)(2024·天津卷)若a＝4.2－0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a (2)(2024·北京卷)已知(x1，y1)，(x2，y2)是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则(　　) A．log2＜ B．log2＞ C．log2＜x1＋x2 D．log2＞x1＋x2 答案：(1)B　(2)B 解析：(1)由函数y＝4.2x单调递增可知，0＜a＜1＜b．又c＝log4.20.2＜0，故b＞a＞c，故选B． (2)因为(x1，y1)，(x2，y2)为函数y＝2x的图象上两个不同的点，所以y1＝，y2＝，且x1≠x2，则≠，所以y1＋y2＝＋＞2＝2，所以＞＞0，所以log2＞log2＝.故选B. 角度2　利用中间值法比较大小 (1)(2026·天津红桥模拟)设a＝e－1，b＝ln ，c＝log23，则(　　) A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b (2)设a＝ln，b＝log5，c＝ln 3－ln 2，则(　　) A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a 答案：(1)B　(2)A 解析：(1)由0＜a＝e－1＜e0＝1，b＝ln ＜ln 1＝0，c＝log23＞log22＝1，所以b＜a＜c．故选B． (2)因为a＝ln＝，－5＝2＞0，所以＋1＞，所以b＞log5＝.又c＝＜ln e＝，所以c＜a＜b.故选A. 角度3　利用特殊值法比较大小 已知a＞b＞1，0＜c＜，则下列结论正确的是(　　) A．ac＜bc B．abc＜bac C．alogbc＜blogac D．logac＜logbc 答案：C 解析：取特殊值，令a＝4，b＝2，c＝，则ac＝，bc＝，所以ac＞bc，故A错误；abc＝4×＝，bac＝2×＝，所以abc＞bac，故B错误；logac＝log4＝－1，logbc＝log2＝－2，alogbc＝－8，blogac＝－2，所以alogbc＜blogac，logac＞logbc，故C正确，D错误.故选C. 1.若底数相同，指数不同时，一般选用指数函数进行比较；若指数相同，底数不同时，一般选用幂函数进行比较；若底数相同，真数不同时，一般选用对数函数进行比较． 2.当底数、指数、真数等都不相同时，通常可优先选择“－1，0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较．也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1＝log22＜log23＜log24＝2，进而可估计log23是一个1~2之间的数，从而便于比较． 对点练1.已知a＝log23，b＝log46，c＝log89，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a 答案：C 解析：由于b＝log46＝log2，c＝log89＝log2，又因为3＞＞，且函数y＝log2x为增函数，所以c＜b＜a.故选C. 对点练2.(2026·天津河西模拟)设a＝，b＝20.4，c＝ln，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a 答案：D 解析：a＝＝30.3＞1，b＝20.4＞1，a10＝33＝27，b10＝24＝16，故a10＞b10，所以a＞b＞1，c＝ln＜ln e＝1，所以c＜b＜a.故选D. 学生用书⬇第50页 题型二　利用指数、对数及幂的运算性质法比较大小 (1)设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜a＜b (2)(一题多解)(2025·全国一卷)已知2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能是(　　) A．x＞y＞z B．x＞z＞y C．y＞x＞z D．y＞z＞x 答案：(1)D　(2)B 解析：(1)因为0＜＜，则0＜a＜1，b＝＝＝＞1，0＜＜30，即0＜c＜1，c＝＝，接下来比较的大小关系.因为＝，而＝＞，则＜，根据幂函数y＝上单调递增得＞，即a＞c.故c＜a＜b.故选D. (2)法一：令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝0，得x＝，y＝，z＝，此时x＞y＞z；令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝5，得x＝8，y＝9，z＝1，此时y＞x＞z；令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝8，得x＝26＝64，y＝35＝243，z＝53＝125，此时y＞z＞x.故选B. 法二：设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝t，则x＝2t－2＝f(t)，y＝3t－3＝g(t)，z＝5t－5＝h(t)，在同一平面直角坐标系中画出函数f(t)，g(t)，h(t)的图象．由图可知x，y，z的关系不可能为x＞z＞y．故选B． 1.同底直判：指数按底数定增减，比指数得大小；对数先验真数正，再依底数单调性比真数． 2.非同源转化：优先用换底、幂的乘方转同底；次转同指数(借幂函数单调性)或同真数(换底后比倒数)． 对点练3.(2026·江西名校联考)设a＝log43，b＝log86，c＝log62，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b 答案：D 解析：因为log43＝lo33＝log6427，log86＝lo62＝log6436，所以log648＜log6427＜log6436，即＜a＜b.又log62＜log6＝，所以c＜a＜b.故选D. 对点练4.(2026·陕西渭南模拟)已知定义域为R的函数f(x)为偶函数，且f(x)在区间［0，＋∞)上单调递减，则下列选项正确的是(　　) A．f＜f＜f B．f＜f＜f C．f＜f＜f D．f＜f＜f 答案：A 解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，lo4＝－log34，所以f＝f＝f.因为ln 3·ln 5＜＝＜()2＝ln24，所以＞，即log34＞log45.又＝log3＝log3＞log3＝log34，所以＞log34＞log45.又f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，所以f＜f＜f，即f＜f＜f.故选A. 题型三　构造函数法比较大小 (2025·山东青岛模拟)已知正数a，b，c满足aea＝bln b＝ecln c＝1，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b 答案：D 解析：由aea＝bln b＝ecln c＝1，得ea－＝ln b－＝ln c－＝0.令函数f(x)＝ex－，x＞0，显然函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，而f＝－2＜0，f(1)＝e－1＞0，f(a)＝0，则＜a＜1.令函数g(x)＝ln x－，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，g(2)＝ln 2－＞0，而g＝ln－＜ln－＝－＜0，g(b)＝0，则＜b＜2.令h(x)＝ln x－，函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增，而h(1)＝－＜0，h＝ln－＞ln－＝ln－＞ln e－＝0，h(c)＝0，则1＜c＜，所以a＜c＜b.故选D. 构造函数比较大小的方法 1.同构思想：若待比较的式子或数中具有相同的结构形式或者在适当变形后具有相同的结构形式，常将式子或数中相同部分看作变量x，通过灵活构造函数并利用函数的单调性，巧妙比较大小． 2.常见的方法：(1)直接或根据变形后的关系式构造函数．(2)将待求的式子或数变形后构造函数． 对点练5.已知a＞0，b＜0，且2a－2－b＞，则(　　) A．a＋b＞2 B．a＋b＜－2 C．a＋b＜0 D．a＋b＞0 答案：D 解析：因为2a－2－b＞，所以2a－2－b＞＋，即2a－＞2－b－.由b＜0，得－b＞0.令f(x)＝2x－，x＞0，则f(a)＞f，因为f(x)在上单调递增，所以a＞－b，即a＋b＞0.故选D. 对点练6.(多选)(2026·湖南长沙模拟)设x，y∈R，则使得“＞x－y”成立的一个充分不必要条件是(　　) A．x3＜y3 B．log3＞0 C．＞＞0 D．＜y 答案：BCD 解析：依题意，得ey＋2y＞ex＋2x，函数f(x)＝ex＋2x单调递增，故x＜y.对于A，x3＜y3⇔x＜y，故“x＜y”是“＞x－y”的充要条件，故A错误；对于B，由log3＞0得y＞x＋1＞x，能推出x＜y，反之不成立，所以“log3＞0”是“＞x－y”的充分不必要条件，故B正确；对于C，由＞＞0可得0＜x＜y，故＞x－y，反之不成立，故“＞＞0”是“＞x－y”的充分不必要条件，故C正确；对于D，＜y⇒0＜x＜y，或x＜0＜y，故“＜y”是“＞x－y”的充分不必要条件，故D正确.故选BCD. 课时分层测评16　指、对、幂的大小比较 (时间：60分钟　满分：75分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (每小题5分，共50分) 1.(2026·北京东城模拟)设a＝log24，b＝2－1，则a，b，1的大小关系为(　　) A．b＜a＜1 B．a＜b＜1 C．b＜1＜a D．a＜1＜b 答案：C 解析：a＝log24＝2，b＝2－1＝0.5，所以b＜1＜a．故选C． 2.(2026·河北石家庄模拟)已知a＝20.6，b＝0.50.8，c＝log20.9，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a 答案：D 解析：因为y＝log2x单调递增，所以c＝log20.9＜log21＝0.因为y＝2x单调递增，所以a＝20.6＞20＝1.因为y＝0.5x单调递减，所以b＝0.50.8＜0.50＝1，且b＞0，所以a＞b＞c．故选D． 3.(2026·广东广州模拟)已知a＝log32，b＝log43，c＝，则此三数的大小关系为(　　) A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a 答案：B 解析：因为函数y＝log3x在上单调递增，0＜＜2，0＜23＜32，所以log32＞log3，log323＜log332，化简可得log32＞，3log32＜2，所以＜log32＜.因为函数y＝log4x在上单调递增，0＜42＜33，所以log442＜log433，即2＜3log43，所以log43＞，所以＜log32＜log43，即c＜a＜b.故选B. 4.(2026·海南三亚模拟)已知a＝log23，b＝，c＝log53，则(　　) A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c 答案：A 解析：因为a＝log23＝log163＝，b＝＝log164＝，c＝log253＝，所以b＞a＞c.故选A. 5.(2026·湖南长沙模拟)若a＝log2，b＝log4，c＝log63，则(　　) A．a＝b＝c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a 答案：D 解析：2a＝log23，2b＝log46＝log2＝＝，2c＝log69＝＝.因为3＞，所以a＞b.＝＝＜＝1.又c，b都大于0，所以c＜b.所以c＜b＜a.故选D. 6.(2026·河南许昌模拟)已知a＝，b＝，c＝，则(　　) A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b 答案：D 解析：依题意，知b＝＝＝，c＝＝＝.又函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，而3.4＞＞，即log23.4＞log2＞log2.又y＝3x在R上单调递增，所以＞＞，即a＞c＞b.故选D. 7.(多选)(2026·河北保定模拟)下列不等式成立的有(　　) A．log0.30.2＞log0.20.3 B.0.30.2＞0.20.3 C．log30.2＜log20.2 D.30.2＜20.3 答案：AB 解析：对于A，log0.30.2＞log0.30.3＝1，log0.20.3＜log0.20.2＝1，故log0.30.2＞log0.20.3，故A正确；对于B，0.30.2＞0.30.3＞0.20.3，故0.30.2＞0.20.3，故B正确；对于C，由于log30.2＜0，log20.2＜0，故＝＝＝log23＞1，故log30.2＞log20.2，故C错误；对于D，30.2＝，20.3＝，因为＝32＝9，＝8，所以＞，故30.2＞20.3，故D错误.故选AB. 8.(多选)已知实数a，b满足ea＋a＝2，ln(3－b)＋1＝b，则(　　) A．0＜a＜1 B．2＜b＜3 C．b＞a＋1 D．ea＋b＝3 答案：AD 解析：令f(x)＝ex＋x－2，因为f(0)＝e0＋0－2＜0，f(1)＝e1＋1－2＞0，且f(x)在内单调递增，由零点存在定理得f(x)在区间内存在唯一零点，所以由ea＋a＝2，得0＜a＜1，故A正确；令g(x)＝ln(3－x)－x＋1，因为g(x)在区间(－∞，3)内单调递减，又g(2)＝ln(3－2)－2＋1＝－1＜0，故当x∈(2，3)，g(x)＜g(2)＜0，所以函数g(x)在区间内无零点，方程ln(3－b)＋1＝b在区间内无解，故B错误；由ln(3－b)＋1＝b，得3－b＋ln(3－b)＝2，考虑到函数f(x)＝x＋ln x单调递增，比较ea＋a＝2与3－b＋ln(3－b)＝2的形式，可得ea＝3－b，所以ea＋b＝3，故D正确；由ea＋b＝3，得ea＝3－b，将其代入到ea＋a＝2中，得3－b＋a＝2，即b＝a＋1，故C错误.故选AD. 9.实数，，，2π从小到大排列为　　　　　　　. 答案：＜＜2π＜ 解析：因为＝，＝，则由y＝在(0，＋∞)上单调递增，y＝8x在R上单调递增，知＞＞，故＞.又由函数f(x)＝ax(a＞1)为增函数，得＜＝＜23＜2π，则2π＞.又2π＜23.2＝8×20.2＜π2×π0.2＝π2.2＜.故答案为＜＜2π＜. 10.已知2a＋a＝log2b＋b＝log3c＋c＝k(k＜1)，则a，b，c从小到大的关系是　　　　　　． 答案：a＜c＜b 解析：由2a＋a＝log2b＋b＝log3c＋c＝k(k＜1)，可得2a＝－a＋k，log2b＝－b＋k，log3c＝－c＋k，且k＜1．分别作出函数y＝2x，y＝log2x，y＝log3x和y＝－x＋k的图象，如图．由图可知：a＜c＜b． (每小题5分，共15分) 11.(2026·天津南开模拟)若2a＝3＝logb9，c＝，则实数a，b，c的大小顺序为(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c 答案：D 解析：依题意，得a＝log23，b3＝9，可得b＝，c＝.因为对数函数y＝log2x为上的增函数，则2＝log24＞a＝log23＞log22＝1，幂函数y＝上为增函数，则b＝＞＝2，故b＞a＞c.故选D. 12.(2026·江西赣州模拟)已知a＝log23＋log32，b＝log45＋log54，则下列结论正确的是(　　) A．a＞b＞2 B．a＞2＞b C．b＞a＞2 D.2＞a＞b 答案：A 解析：设f(x)＝x＋，x＞0，则由对勾函数单调性知，f(x)在(0，1)上递减，(1，＋∞)上递增，f(x)min＝f＝2，且a＝log23＋log32＝log23＋＝f(log23)，b＝log45＋log54＝log45＋＝f(log45).因为log23＞log2＝log45＞1，所以f(log23)＞f(log45)＞f，即a＞b＞2.故选A. 13.(2026·甘肃金昌模拟)已知f(x)＝cos，a＝log22 026，b＝1，c＝0.20.3，则f(a)，f，f的大小关系为　　　　．(均用“＞”连接) 答案：f＞f＞f(a) 解析：易知f(x)为偶函数，周期为4，当x∈，∈，此时f(x)＝cos上单调递减，且f(x)＞0，当x∈，∈，此时f(x)＝cos上单调递减，且f(x)＜0，a＝log22 026∈，f(a)＝f＝f(12－a)，12－a∈，所以f(a)＜0.又c＝0.20.3∈，所以0＜f＜1.又b＝1，所以f＝0，故f＞f＞f(a). (每小题5分，共10分) 14.(2026·山东烟台模拟)已知0＜b＜1，若ea＋ln b＝－a，则(　　) A．a＞b－1 B．a＞b－2 C．ea＜b－1 D．ea＜b－2 答案：D 解析：由ea＋ln b＝－a，可得ea＋a＝＋ln.因为0＜b＜1，所以1＜＜，所以＋ln＜＋ln＜＋ln.设函数f(x)＝ex＋x，则f＜f(a)＜f，易知f(x)在R上单调递增，所以ln＜a＜ln，即b－1＜ea＜b－2.故选D. 15.(2026·福建泉州模拟)已知e2≈7.39，e3＞2.14，e4＞33，a＝ln 2.1，b＝log3e，c＝log7.54，则(　　) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a 答案：C 解析：因为a＝ln 2.1，所以ea＝2.1.又因为e3＞2.14＝4＝e4a，所以4a＜3⇒a＜．根据换底公式b＝log3e＝．因为e4＞33，所以4＞3ln 3⇒ln 3＜，所以b＝，所以b＞＞a；已知e2≈7.39，c＝log7.54，由于底数7.5＞e2≈7.39＞1，且真数4＞1，底数越大，对数值越小，因此c＝log7.54＜loge24＝＝ln 2，所以c＜ln 2＜ln 2.1＝a．综上，c＜ln 2＜ln 2.1＝a＜＜b，即c＜a＜b．故选C． 学生用书⬇第51页 学科网（北京）股份有限公司 $