第2章 教材拓展3 分式函数与根式函数的值域(最值)(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

该高中数学讲义聚焦分式函数与根式函数的值域（最值）高考核心考点，以教材母题为起点，通过定义辨析、类型归纳、方法提炼构建知识体系，结合典例精讲与分层对点练，形成考点梳理、方法指导、实战训练的系统复习流程，助力学生突破函数值域求解难点。 资料突出一题多解与分层训练特色，如对根式函数值域采用单调性法、换元法等多种策略，培养学生数学思维，设置基础巩固到综合应用的梯度练习，配合即时反馈机制，确保高效复习效果，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

分式函数与根式函数的值域(最值) 一、分式函数的值域(最值) 【教材母题】 1.(人教A必修一P81例5) 已知函数f(x)＝(x∈［2，6］)，求函数的最大值和最小值． 2.(人教B版必修一P98T5) 求下列函数的值域： (1)f(x)＝，1≤x≤2； (2)f(x)＝－，x∈［0，＋∞)． 【知能拓展】 1.定义：把形如y＝叫做分式函数，高中阶段我们接触到的分式函数以一次分式函数和二次分式函数为主．比如：y＝，y＝，y＝… 2.(1)求分式函数值域(最值)需要熟悉以下几个函数图象： 反比例函数：y＝(k≠0)，如图①，②；对勾函数：y＝x＋(a＞0)，如图③；飘带函数y＝x－(a＞0)，如图④，图象如下： (2)分式函数的类型及求解方法 ①一次分式函数：y＝＝＋＝＋． ②二次分式函数：y＝＝，y＝＝＋常数，(归结为反比例函数) y＝＝＝t＋＋常数或t－＋常数， y＝＝＝． 【典例应用】 求下列函数的值域： (1)y＝；(2)y＝； (3)y＝． 解：(1)y＝＝3＋， 因为≠0，故3＋≠3， 所以y＝． (2)y＝ ＝x－． 因为x＞，所以x－＞0， 故x－＋≥2＝， 当且仅当x－＝，即x＝时等号成立， 故y＝≥＋，即函数值域为［＋，＋∞). (3)因为x2＋x＋1＞0恒成立，故x∈R， 则由y＝可得(y－2)x2＋(y＋1)x＋y－2＝0， 当y＝2时，x＝0，适合题意； 当y≠2时，由于x∈R，故(y－2)x2＋(y＋1)x＋y－2＝0恒有实数根， 故Δ＝(y＋1)2－4(y－2)2≥0，解得1≤y≤5且y≠2， 故y＝的值域为［1，5］． 学生用书⬇第27页 对点练1.(1)函数y＝，x∈的最大值为　　　　． (2)函数y＝(x＞2)的最小值为　　． (3)函数y＝的值域为　　　　． (4)函数y＝的值域为　　　　． 答案：(1)　(2)6　(3)　(4) 解析：(1)y＝＝2－在x∈上单调递增，所以当x＝10时ymax＝． (2)因为x＞2，所以x－2＞0，所以y＝＝＝＋＋2≥2＋2＝6，当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立，故函数的最小值为6. (3)y＝＝＝2＋，设t＝x2＋x＋1，则t＝x2＋x＋1＝＋∈，即∈，2＋∈，故所求函数的值域为. (4)因为y＝＝，所以定义域是，令t＝x－1，则t≠－2，得y＝＝＝，当t＝0时，得y＝0，当t≠0时，得y＝＝，则＝＋≥2＝4，得t＋≥4，或t＋≤－4，等号成立时，分别对应t＝2和t＝－2，因为t≠－2，则t＋≥4，或t＋＜－4，得t＋＋4≥8，或t＋＋4＜0，则0＜≤，或＜0，综上知，函数y＝的值域为. 对点练2.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，函数y＝［x］称为高斯函数，其中x∈R，［x］表示不超过x的最大整数，例如：＝－3，＝3.已知函数f(x)＝＋，则函数y＝的值域为　　． 答案： 解析：令y＝，由x∈R，则有yx2＋x＋4y＝0，当y＝0时，有x＝0；当y≠0时，则有Δ＝－16y2＝－7y2－6y＋1＝－≥0，解得－1≤y≤，又y≠0，即－1≤y＜0或0＜y≤；综上可得－1≤y≤，则f(x)＝＋＝y＋∈，故y＝的值域为. 二、根式函数的值域(最值) 【知能拓展】 　　求解形如y＝ax＋b＋、y＝ax＋b＋、y＝＋等根式型函数的值域，关键是消除或减少根号，常用方法有单调性法、代数换元法、三角换元法、导数法、平方法、几何意义法、反解法． 【典例应用】 求下列函数的值域： (1)(一题多解)y＝x＋；(2)y＝x－；(3)y＝＋． 解析：(1)法一(单调性)：函数的定义域是［－，＋∞)，且函数y＝x＋为增函数，所以函数值域为［－，＋∞). 法二(换元)：令＝t，则t≥0，且x＝， 所以y＝－1≥－(t≥0).故函数的值域为［－，＋∞). 法三(构造函数)：y＝x＋＝[2x＋1＋2＋1]－1＝＋1)2－1≥－1＝－. 当x＝－时，y取最小值－，所以函数值域为［－，＋∞). (2)(三角换元)依题意得1－x2≥0，则－1≤x≤1，设x＝cos θ，θ∈[0，π]，则y＝cos θ－｜sin θ｜＝cos. 因为θ∈[0，π]，≤θ＋≤，所以－1≤cos≤； 所以函数y＝x－值域为[－，1]. (3)依题意得解得3≤x≤5， 则y2＝2＋2 ＝2＋2，3≤x≤5， 故－＋1∈，2∈，所以2≤y2≤4， 由y的非负性知，≤y≤2，故函数的值域为. 对点练3.(1)函数y＝－x的最小值为　　． (2)函数y＝x＋的最大值为　　　　． (3)函数y＝－2的值域为　　　　． (4)函数f(x)＝2x－3－的值域为　　　　． (5)(2025·山东泰安二模)函数y＝－x的最小值为　　　　． 答案：(1)－　(2)1　(3)　(4)［3－，5］　(5) 解析：(1)函数y＝－x中，令1－2x≥0得x≤，易知函数y＝和y＝－x都是减函数，故函数y＝－x在x≤时是递减的，故x＝时ymin＝－. (2)函数y＝x＋，定义域是，令t＝≥0，所以x＝，所以y＝＋t＝－＋t＋，t≥0，对称轴方程为t＝1，所以t＝1时，函数ymax＝－＋1＋＝1. (3)因为y＝在定义域内单调递增，y＝2在定义域内单调递减，所以y＝f(x)＝－2在定义域上单调递增，又因为定义域为x∈，所以y∈＝.即函数y＝－2的值域为[－2，]. (4)f(x)＝2x－3－＝2x－3－，由－x2＋6x－8≥0，解得2≤x≤4，令t＝2x－3－，即＝2x－3－t，将函数f(x)＝2x－3－的值域转化为y＝与y＝2x－3－t有交点时的t的取值范围，在同一坐标系中作函数y＝与y＝2x－3－t的图象如图所示. 由图象知：当直线y＝2x－3－t与半圆＋y2＝1(y≥0)相切时，t最小，此时＝1，解得t＝3±，由图象知t＝3－，当直线y＝2x－3－t过点时，t最大，此时t＝5，所以t∈[3－，5]，即f(x)的值域为[3－，5]. (5)设f(x)＝－x，定义域是R，则f'(x)＝－.令f'(x)＝0，解得x＝±，当x≤0时，f'(x)＜0，f(x)单调递减；当0＜x＜时，＝＜，则f'(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞时，＝＞，则f'(x)＞0，f(x)单调递增，所以函数f(x)在x＝处取得最小值f()＝－×＝. 学生用书⬇第28页 学科网（北京）股份有限公司 $