第2章 教材拓展3 分式函数与根式函数的值域(最值)(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

分式函数与根式函数的值域(最值)

一、分式函数的值域(最值)

【教材母题】

1.(人教A必修一P81例5)

已知函数f(x)＝(x∈［2，6］)，求函数的最大值和最小值．

2.(人教B版必修一P98T5)

求下列函数的值域：

(1)f(x)＝，1≤x≤2；

(2)f(x)＝－，x∈［0，＋∞)．

【知能拓展】

1.定义：把形如y＝叫做分式函数，高中阶段我们接触到的分式函数以一次分式函数和二次分式函数为主．比如：y＝，y＝，y＝…

2.(1)求分式函数值域(最值)需要熟悉以下几个函数图象：

反比例函数：y＝(k≠0)，如图①，②；对勾函数：y＝x＋(a＞0)，如图③；飘带函数y＝x－(a＞0)，如图④，图象如下：

(2)分式函数的类型及求解方法

①一次分式函数：y＝＝＋＝＋．

②二次分式函数：y＝＝，y＝＝＋常数，(归结为反比例函数)

y＝＝＝t＋＋常数或t－＋常数，

y＝＝＝．

【典例应用】

求下列函数的值域：

(1)y＝；(2)y＝；

(3)y＝．

解：(1)y＝＝3＋，

因为≠0，故3＋≠3，

所以y＝．

(2)y＝

＝x－．

因为x＞，所以x－＞0，

故x－＋≥2＝，

当且仅当x－＝，即x＝时等号成立，

故y＝≥＋，即函数值域为［＋，＋∞).

(3)因为x2＋x＋1＞0恒成立，故x∈R，

则由y＝可得(y－2)x2＋(y＋1)x＋y－2＝0，

当y＝2时，x＝0，适合题意；

当y≠2时，由于x∈R，故(y－2)x2＋(y＋1)x＋y－2＝0恒有实数根，

故Δ＝(y＋1)2－4(y－2)2≥0，解得1≤y≤5且y≠2，

故y＝的值域为［1，5］．

学生用书⬇第27页

对点练1.(1)函数y＝，x∈的最大值为　　　　．

(2)函数y＝(x＞2)的最小值为　　．

(3)函数y＝的值域为　　　　．

(4)函数y＝的值域为　　　　．

答案：(1)　(2)6　(3)　(4)

解析：(1)y＝＝2－在x∈上单调递增，所以当x＝10时ymax＝．