第2章 第16讲 实际问题中的函数模型(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

第16讲　实际问题中的函数模型

【课程标准】　1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具，在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律．　2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义．　3.了解函数模型在社会生活中的广泛应用．

1.指数、对数、幂函数模型性质比较

函数 性质	y＝ax (a＞1)	y＝logax (a＞1)	y＝xn (n＞0)
在(0，＋∞)上的增减性	单调递增	单调递增	单调递增
增长速度	越来越快	越来越慢	相对平稳
图象的变化	随x的增大逐渐表现为与y轴平行	随x的增大逐渐表现为与x轴平行	随n值变化而各有不同
值的比较	存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax

2.几种常见的函数模型

函数模型	函数解析式
一次函数模型	f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型	f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
与指数函数相关的模型	f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)
与对数函数相关的模型	f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)

与幂函数相关的模型

f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)

［常用结论］

　　“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小．

【自测诊断】

1.(多选)下列说法中错误的是(　　)

A．函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大

B．某商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若九折出售，则每件还能获利

C．在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a＞0)和y＝logax(a＞1)的增长速度

D．在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型

答案：ABD

2.(链接北师必修一P136例2)有一组实验数据如下：

t	1.99	3.00	4.00	5.10	6.12
V	1.5	4.04	7.5	12	18.01

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(　　)

A．V＝log2t B．V＝lot

C．V＝ D．V＝2t－2

答案：C

解析：根据表中数据，作出数据的散点图，如图所示.结合选项，函数V＝log2t的增长速度越来越缓慢，不符合题意；函数V＝lot随着t的增大，V不断减小，不符合题意；函

数V＝的增长速度越来越快，符合题意；函数V＝2t－2增长速度不变，不符合题意；所以最接近的一个函数是V＝.故选C.

3.(链接北师必修一P141练习T1)某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是(　　)

A．{x|10≤x＜16} B．{x|12≤x＜18}

C．{x|15≤x＜20} D．{x|10≤x＜20}

答案：C

解析：依题意，得［30－2(x－15)］·x＞400，即x2－30x＋200＜0，解得10＜x＜20.又因为x≥15，所以15≤x＜20，这批台灯的销售单价x的取值范围是{x|15≤x＜20}．故选C．

4.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　)

A.1.5 B.1.2

C.0.8 D.0.6