第2章 第16讲 实际问题中的函数模型(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

该高中数学高考复习讲义聚焦实际问题中的函数模型，涵盖指数、对数、幂函数等模型的性质比较及应用，按“课程标准—教材梳理—考点探究”逻辑架构知识体系。通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建从模型识别到实际应用的解题框架，突破函数建模难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以“三会”核心素养为导向，通过数学眼光观察实际情境（如碳14衰减、声强级问题），用数学思维构建分段函数、指数函数等模型，以数学语言表达数量关系。设计“建模四步法”（审题—建模—解模—还原）教学活动，结合分层练习（自测诊断、对点练）和真题案例（2021全国甲卷），高效提升学生建模能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第16讲　实际问题中的函数模型 【课程标准】　1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具，在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律．　2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义．　3.了解函数模型在社会生活中的广泛应用． 1.指数、对数、幂函数模型性质比较 　　函数 性质　　 y＝ax (a＞1) y＝logax (a＞1) y＝xn (n＞0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax 2.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 与指数函数相关的模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0) 与对数函数相关的模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0) 与幂函数相关的模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0) ［常用结论］ 　　“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小． 【自测诊断】 1.(多选)下列说法中错误的是(　　) A．函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大 B．某商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若九折出售，则每件还能获利 C．在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a＞0)和y＝logax(a＞1)的增长速度 D．在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型 答案：ABD 2.(链接北师必修一P136例2)有一组实验数据如下： t 1.99 3.00 4.00 5.10 6.12 V 1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(　　) A．V＝log2t B．V＝lot C．V＝ D．V＝2t－2 答案：C 解析：根据表中数据，作出数据的散点图，如图所示.结合选项，函数V＝log2t的增长速度越来越缓慢，不符合题意；函数V＝lot随着t的增大，V不断减小，不符合题意；函数V＝的增长速度越来越快，符合题意；函数V＝2t－2增长速度不变，不符合题意；所以最接近的一个函数是V＝.故选C. 3.(链接北师必修一P141练习T1)某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是(　　) A．{x|10≤x＜16} B．{x|12≤x＜18} C．{x|15≤x＜20} D．{x|10≤x＜20} 答案：C 解析：依题意，得［30－2(x－15)］·x＞400，即x2－30x＋200＜0，解得10＜x＜20.又因为x≥15，所以15≤x＜20，这批台灯的销售单价x的取值范围是{x|15≤x＜20}．故选C． 4.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　) A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 答案：C 解析：由L＝5＋lg V，当L＝4.9时，lg V＝－0.1，则V＝10－0.1＝＝≈≈0.8.故选C. 学生用书⬇第60页 考点一　实际问题的函数刻画 自主练透 1.(2026·山东济南模拟)如图所示，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OA→弧AB→BO的路径运动一周，设点P到点O的距离为s，运动时间为t，则下列图象能大致地刻画s与t之间的关系的是(　　) 答案：C 解析：当点P在OA段运动时，s随t的增大而增大，点P在弧AB上运动时，s＝OP＝AB(定值)，点P在BO上运动时，s随着t的增大而减小．故选C． 2.(2026·北京石景山模拟)经研究表明，糖块的溶解过程可以用指数型函数S＝ae－kt(a，k为常数)来描述，其中S(单位：克)代表t分钟末未溶解糖块的质量．现将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克，则k＝(　　) A． B． C．ln 2 D．ln 3 答案：A 解析：依题意，当t＝0时，S＝a＝7，当t＝5时，S＝7e－5k＝3.5，则e－5k＝．故选A． 3.某班研究小组的同学为了研究活性碳对污水中某种污染物的吸附能力，设计了一种活性碳污水净化装置．现污水中该种污染物含量为W0(单位：mg/L)，测得污水通过长度为l(单位：m)的净化装置后污染物的含量W如下表： l 0 1 2 3 W W0 0.5W0 0.25W0 0.125W0 研究小组的同学根据表格数据建立了W关于l的函数模型．则与表格中数据吻合的函数模型是(　　) A．W＝W0＋0.5l B．W＝W0·log0.5 C．W＝0.5W0l D．W＝W0·(0.5)l 答案：D 解析：由图表中数据可知函数模型满足：第一，定义域是；第二，在定义域内单调递减且单位减少率变慢；第三，函数图象过.函数W＝0.5W0l和W＝W0·log0.5图象不过(0，W0)，不符合条件，故B、C错误；函数W＝W0＋0.5l单调递增，故A错误；对于D，W＝W0·(0.5)l满足上述条件，故D正确.故选D. 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法 1.构建函数模型法：依题意构建函数模型，对照模型匹配图象． 2.验证法：结合实际中变量的变化特征(如变化快慢)，依据图象趋势验证，排除不符、筛选吻合选项． 考点二　已知函数模型解决实际问题 师生共研 (1)(2026·山东青岛模拟)近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，臭氧含量Q与时间t(单位：年)的关系为Q＝Q0，其中Q0是臭氧的初始含量.臭氧消失一半所需要的时间约为(ln 2≈0.693，精确到1年)(　　) A.265年 B.266年 C.276年 D.277年 (2)(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg，其中常数p0(p0＞0)是听觉下限阈值， p 是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A．p1≥p2 B．p2＞10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2 答案：(1)D　(2)ACD 解析：(1)令Q＝Q0＝Q0可得＝，可得－＝ln＝－ln 2，所以t＝400ln 2≈277，故臭氧消失一半所需要的时间约为277年.故选D. (2)依题意，知∈[60，90]，∈[50，60]，＝40，对于A，可得－＝20×lg－20×lg＝20×lg，因为≥，则－＝20×lg≥0，即lg≥0，所以≥1且p1，p2＞0，可得p1≥p2，故A正确；对于B，可得－＝20×lg－20×lg＝20×lg，因为－＝－40≥10，则20×lg≥10，即lg≥，所以≥且p2，p3＞0，可得p2≥p3，当且仅当＝50时，等号成立，故B错误；对于C，因为＝20×lg＝40，即lg＝2，可得＝100，即p3＝100p0，故C正确；对于D，由A可知：－＝20×lg，且－≤90－50＝40，则20×lg≤40，即lg≤2，可得≤100，且p1，p2＞0，所以p1≤100p2，故D正确.故选ACD. 已知函数模型解决实际问题的步骤 对点练1.(2026·四川成都模拟)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．以织女星的亮度I0为标准，天体的星等m与亮度I满足m＝－lg，已知北极星的星等为2，牛郎星的星等为0.8，则北极星与牛郎星的亮度之比为(　　) A．1 B．1 C．1 D．1 答案：D 解析：令北极星与牛郎星的亮度分别为I1，I2，根据题意，两式相减得－lg＝，解得＝1.故选D. 对点练2.(2026·北京平谷模拟)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P＝P0e－kt，其中P0，k是正的常数，如果前10 h消除了50%的污染物，那么从消除60%的污染物到消除80%的污染物大约需要经历(　　) A.10 h B.4 h C.40 h D.8 h 答案：A 解析：依题意，知0.5P0＝P0e－10k，即0.5＝e－10k，即k＝．设消除60%的污染物对应时间为t1，即0.4P0＝P0e－kt1．设消除80%的污染物对应时间为t2，即0.2P0＝P0e－kt2，两式相除可得2＝e－k，即ln 2＝－k，所以t2－t1＝10，即从消除60%的污染物到消除80%的污染物大约需要经历10 h．故选A． 学生用书⬇第61页 考点三　构建函数模型解决实际问题 多维探究 角度1　构建二次函数、分段函数、“对勾”函数模型 (2025·江苏南通模拟)某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为1 000万元，每生产x台，需另投入生产成本R(x)万元．当年产量不足25台时，R(x)＝3x2＋kx；当年产量不小于25台时，R(x)＝202x＋－1 330，且当年产量为10台时需另投入成本1 100万元；若每台设备售价200万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完． (1)求k的值； (2)求该企业投资生产这批新型机器的年利润W(x)(万元)关于年产量x(台)的函数关系式(利润＝销售额－成本)； (3)这批新型机器年产量为多少台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润． 解：(1)当x＝10，R(x)＝1 100代入R(x)＝3x2＋kx，得3×100＋10k＝1 100⇒k＝80. (2)依题意得，当0≤x＜25时，W(x)＝200x－3x2－80x－1 000， 当x≥25时，W(x)＝200x－202x－＋1 330－1 000， 所以年利润W(x)(万元)关于年产量x(台)的函数关系式为 W(x)＝ (3)由(2)得0≤x＜25时，W(x)＝－3x2＋120x－1 000＝－32＋200， 所以x＝20(台)时，W(x)max＝200(万元)， 当x≥25时，W(x)＝－2x－＋330 ＝－2＋350 ≤－2×2＋350＝190， 当且仅当x＋10＝，即x＝30时等号成立，W(x)max＝190(万元)， 而200＞190，故x＝20(台)时，利润最大，最大利润是200万元， 综上所述：年产量为20台时，该企业所获利润最大，最大利润是200万元． 角度2　构建指数函数、对数函数模型 (1)(2026·安徽合肥模拟)放射性物质是指那些能自然地向外界辐射能量，发出射线的物质．在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减．一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称为半衰期．考古学中常利用生物标本中的碳14元素稳定持续衰减的现象测定遗址的年代．已知碳14的半衰期为5 730年．现在实验室测定某遗址内动物标本中碳14含量为正常大气中碳14含量的80%．则该遗址大约距今(lg 2≈0.3)(　　) A.1 146年 B.1 375年 C.1 910年 D.2 292年 (2)(多选)声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质(如固体、液体、气体)中进行传播．在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强I．但在实际生活中，常用声音的声强级D来度量，声强级D与声强I的关系近似满足D＝alg I＋b，经过多次测定，得到如下数据： 声强I(W/cm2) 10－11 10－10 m 声强级D(dB) 10 20 30 已知烟花的噪声的声强级一般在，其声强为I1；鞭炮的噪声的声强级一般在，其声强为I2；飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在，其声强为I3，则(　　) A．b－a＝110 B．m＝10－8 C．＜I2＜ D．I1I3＞ 答案：(1)C　(2)ACD 解析：(1)不妨设动物标本中碳14含量初始值是1个单位，则经过t年动物标本中碳14含量为f＝.令f＝＝，则t＝5 730×lo＝5 730×≈5 730×＝1 910年.故选C. (2)依题意，得解得所以b－a＝110，故A正确；因为D＝10lg I＋120，所以30＝10lg m＋120，解得m＝10－9，故B错误；由100＜10lg I2＋120＜110，得＜I2＜，故C正确；设烟花噪声、鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为D1，D2，D3，由题意知90＜D1＜100，100＜D2＜110，135＜D3＜145，所以D1＋D3＞2D2，所以10lg I1＋120＋10lg I3＋120＞2，所以lg I1＋lg I3＞2lg I2，即lg＞lg ，所以I1I3＞，故D正确.故选ACD. 构建函数模型解决实际问题的步骤 第一步(审题)：理清题意与数量关系，初选函数模型； 第二步(建模)：将自然(文字)语言转化为数学符号，建立函数模型； 第三步(解模)：求解函数模型，得出数学结论； 第四步(还原)：将数学结论还原为实际问题答案． 对点练3.某乡村要修建一条100米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为120°的等腰梯形(如图)．水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元，为了提高水渠的过水率，要使过水横断面的面积尽可能大，现有资金3万元，当过水横断面面积最大时，水渠的深度(即梯形的高)约为(参考数据：≈1.732)(　　) A．0.58米 B.0.87米 C.1.17米 D.1.73米 答案：B 解析：如图，设过水横断面为等腰梯形ABCD，BE⊥CD于E，∠BAD＝∠ABC＝120°，要使过水横断面面积最大，则此时资金3万元都用完，则100×(AB＋BC＋AD)×100＝30 000，解得AB＋BC＋AD＝3米.设BC＝x，则AB＝3－2x，BE＝x，CE＝x，故CD＝3－x，且0＜x＜，梯形ABCD的面积S＝＝(－x2＋2x)，当x＝1时，Smax＝，此时BE＝≈0.87，即当过水横断面面积最大时，水渠的深度(即梯形的高)约为0.87米.故选B. 对点练4.(多选)(2025·湖南娄底模拟)我国向国际社会的环保承诺已经超额完成，积极稳妥推进碳达峰、碳中和，我国将继续坚持贯彻落实．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)的关系为P＝P0e－kt，其中P0，k是常数．已知在前5 h消除了10%的污染物．则下列结论正确的是(　　) (参考数据：ln 0.5≈－0.693，ln 0.9≈－0.105) A．k＝ln 0.9 B．过滤10 h后还剩余81%的污染物 C．污染物减少50%需要的时间为31 h D．污染物减少50%所需要的时间为33 h 答案：BD 解析：依题意，当t＝0时，P＝P0，当t＝5时，P＝P0＝0.9P0，于是有0.9P0＝P0e－5k，解得k＝－ln 0.9，故A错误；当t＝10时，P＝P0e－10k＝P0e2ln 0.9＝P00.92＝81%P0，故B正确；当P＝50%P0＝0.5P0时，有0.5P0＝P0e－kt，解得t＝＝33，故C错误，D正确．故选BD． 学科网（北京）股份有限公司 $