第2章 第15讲 方程解的存在性及方程的近似解(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

第15讲　方程解的存在性及方程的近似解

【课程标准】　1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系．　2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理．　3.探索用二分法求方程近似解的思路，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性．

1.函数的零点

(1)定义：使得f(x0)＝0的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的零点．

(2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系：

(3)零点存在定理

若函数y＝f(x)在闭区间［a，b］上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)·f(b)＜0，则在开区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)＝0至少有一个解．

［微提醒］　(1)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)＝0的实根．零点一定在定义域内．(2)零点存在定理只能判定零点存在，

不能确定零点个数．若函数y＝f(x)在某区间上是单调函数，又满足零点存在定理，则该函数在该区间上有唯一一个零点．(3)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间［a，b］上有零点不一定能推出f(a)f(b)＜0，如图所示．

2.二分法

对于一般的函数y＝f(x)，x∈［a，b］，若函数y＝f(x)的图象是一条连续的曲线，f(a)·f(b)＜0，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法．

［常用结论］

1.若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．

2.连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

3.f(a)f(b)＜0是y＝f(x)在闭区间［a，b］上有零点的充分不必要条件．

4.(1)周期函数若存在零点，则必有无穷多个零点．

(2)奇偶函数若存在非零零点，则成对出现且互为相反数．

【自测诊断】

1.(多选)若函数y＝f(x)在区间［a，b］上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法中错误的有(　　)

A．若f(a)f(b)＞0，则不存在实数c∈［a，b］，使得f(c)＝0

B．若f(a)f(b)＜0，则存在且只存在一个实数c∈［a，b］，使得f(c)＝0

C．若f(a)f(b)＞0，则可能存在实数c∈［a，b］，使得f(c)＝0

D．若f(a)f(b)＜0，则可能不存在实数c∈［a，b］，使得f(c)＝0

答案：ABD

解析：取f(x)＝x2－1，区间取为[－2，2]，满足f(－2)f(2)＞0，但是f(x)在[－2，2]内存在两个零点－1，1，故A错误，C正确；取f(x)＝sin x，区间取为［，］，满足f()f()＝×(－)＝－＜0，但是f(x)在［，］内存在三个零点π，2π，3π，故B错误；根据零点存在定理可知，故D错误.故选ABD.

2.(链接北师必修一P132练习T1)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　)

答案：A

解析：根据二分法的概念可知二分法只能求变号零点，观察选项A中的函数图象可知该函数没有变号零点，观察选项B、C、D中的函数图象可知对应的函数都存在变号零点，所以选项A中函数不能用二分法求零点．故选A．

3.(链接北师必修一P132练习T3)函数f(x)＝2x＋ln x－1的零点所在的区间为(　　)

A． B．

C． D．

答案：B

解析：因为y＝2x与y＝ln x－1均在定义域上单调递增，所以f(x)＝2x＋ln x－1在上单调递增.又f＝＋ln －1＝－1－ln 2，因为－1＜，ln 2＞ln＝，所以f＝－1－ln 2＜0.又因为f＝2＋ln 1－1＝1＞0，所以函数f(x)的零点所在区间是.故选B.

4.函数f(x)＝lg x＋lg－1的零点为　　．

答案：5

解析：令f(x)＝0，得lg＝lg 10，所以x＝10，解得x＝5或x＝－2(舍去)．

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