第2章 第15讲 方程解的存在性及方程的近似解(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

该高中数学高考复习讲义聚焦方程解的存在性及近似解核心考点，涵盖函数零点概念、零点存在定理、二分法等内容，按“概念梳理-定理理解-应用拓展”逻辑架构知识体系。通过教材梳理夯实基础，自测诊断查漏补缺，考点探究（区间判断、个数确定、参数应用）分层突破，配合规律方法总结与真题训练，帮助学生系统构建解题思路。 讲义采用数形结合与逻辑推理融合的教学策略，如零点个数判断中结合周期函数性质与图象分析，培养学生数学思维与几何直观。设置基础自测、对点精练、教师备选分层练习，确保高效突破难点，助力教师精准把控复习节奏，提升学生用数学语言表达和解决问题的应考能力。

第15讲　方程解的存在性及方程的近似解 【课程标准】　1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系．　2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理．　3.探索用二分法求方程近似解的思路，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性． 1.函数的零点 (1)定义：使得f(x0)＝0的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的零点． (2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系： (3)零点存在定理 若函数y＝f(x)在闭区间［a，b］上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)·f(b)＜0，则在开区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)＝0至少有一个解． ［微提醒］　(1)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)＝0的实根．零点一定在定义域内．(2)零点存在定理只能判定零点存在， 不能确定零点个数．若函数y＝f(x)在某区间上是单调函数，又满足零点存在定理，则该函数在该区间上有唯一一个零点．(3)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间［a，b］上有零点不一定能推出f(a)f(b)＜0，如图所示． 2.二分法 对于一般的函数y＝f(x)，x∈［a，b］，若函数y＝f(x)的图象是一条连续的曲线，f(a)·f(b)＜0，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法． ［常用结论］ 1.若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点． 2.连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． 3.f(a)f(b)＜0是y＝f(x)在闭区间［a，b］上有零点的充分不必要条件． 4.(1)周期函数若存在零点，则必有无穷多个零点． (2)奇偶函数若存在非零零点，则成对出现且互为相反数． 【自测诊断】 1.(多选)若函数y＝f(x)在区间［a，b］上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法中错误的有(　　) A．若f(a)f(b)＞0，则不存在实数c∈［a，b］，使得f(c)＝0 B．若f(a)f(b)＜0，则存在且只存在一个实数c∈［a，b］，使得f(c)＝0 C．若f(a)f(b)＞0，则可能存在实数c∈［a，b］，使得f(c)＝0 D．若f(a)f(b)＜0，则可能不存在实数c∈［a，b］，使得f(c)＝0 答案：ABD 解析：取f(x)＝x2－1，区间取为[－2，2]，满足f(－2)f(2)＞0，但是f(x)在[－2，2]内存在两个零点－1，1，故A错误，C正确；取f(x)＝sin x，区间取为［，］，满足f()f()＝×(－)＝－＜0，但是f(x)在［，］内存在三个零点π，2π，3π，故B错误；根据零点存在定理可知，故D错误.故选ABD. 2.(链接北师必修一P132练习T1)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　) 答案：A 解析：根据二分法的概念可知二分法只能求变号零点，观察选项A中的函数图象可知该函数没有变号零点，观察选项B、C、D中的函数图象可知对应的函数都存在变号零点，所以选项A中函数不能用二分法求零点．故选A． 3.(链接北师必修一P132练习T3)函数f(x)＝2x＋ln x－1的零点所在的区间为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：因为y＝2x与y＝ln x－1均在定义域上单调递增，所以f(x)＝2x＋ln x－1在上单调递增.又f＝＋ln －1＝－1－ln 2，因为－1＜，ln 2＞ln＝，所以f＝－1－ln 2＜0.又因为f＝2＋ln 1－1＝1＞0，所以函数f(x)的零点所在区间是.故选B. 4.函数f(x)＝lg x＋lg－1的零点为　　． 答案：5 解析：令f(x)＝0，得lg＝lg 10，所以x＝10，解得x＝5或x＝－2(舍去)． 学生用书⬇第55页 考点一　函数零点所在区间的判断 自主练透 1.根据表格中的数据可以判定方程ln x－x＋2＝0的一个根所在的区间为(　　) x 1 2 3 4 5 ln x 0 0.693 1.099 1.386 1.609 x－2 －1 0 1 2 3 A．(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(4，5) 答案：C 解析：设f(x)＝ln x－x＋2＝ln x－(x－2)，易知函数f(x)在(1，＋∞)上的图象连续．由表格数据得f(1)＞0，f(2)＞0，f(3)＝ln 3－(3－2)＝1.099－1＝0.099＞0，f(4)＝ln 4－2＝1.386－2＜0，f(5)＜0，则f(3)·f(4)＜0，即在区间(3，4)上，函数f(x)存在一个零点，即方程ln x－x＋2＝0的一个根所在的区间为(3，4)．故选C． 2.(2025·天津卷)函数f(x)＝0.3x－的零点所在区间是(　　) A．(0，0.3) B．(0.3，0.5) C．(0.5，1) D．(1，2) 答案：B 解析：易知f(x)单调递减.又f(0)＝1＞0，f(0.3)＝0.30.3－＝0.30.3－0.30.5＞0，f＝0.30.5－＝－＜0，所以f(x)的零点所在区间是.故选B. 3.已知函数f(x)＝x3－3x＋1在区间(0，1)内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过3次二分法后确定的零点所在区间是(　　) A．(，) B．(，) C．(，) D．(，) 答案：B 解析：由＝，且f(0)＝1，f()＝－，f(0)·f()＜0，得f(x)在(0，)内有零点；由＝，且f()＝，f()·f()＜0，得f(x)在(，)内有零点；由＝，f()＝－，f()·f()＜0，得f(x)在(，)内有零点；所以经过3次二分法后确定的零点所在区间是(，).故选B. 4.已知函数f(x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(m，m＋1)(m∈Z)上，则m等于(　　) A．－2 B．－1 C.0 D.1 答案：A 解析：因为函数f(x)＝e－x－2x－5是连续减函数，f(－2)＝e2－1＞0，f(－1)＝e－3＜0，所以f(－2)·f(－1)＜0.所以函数f(x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(－2，－1)，即(m，m＋1)上．又m∈Z，所以m＝－2．故选A． 判断函数零点所在区间的两种常用方法 1.函数零点存在定理法：若函数f(x)在区间［a，b］上连续，且f(a)·f(b)＜0，则y＝f(x)在区间［a，b］内必有零点． 2.数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 考点二　函数零点个数的判断 师生共研 (1)(一题多解)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)(2026·湖南长沙模拟)已知函数f(x)＝则方程f(x)＝－x＋的根的个数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 (3)已知函数f(x)在R上满足f(2＋x)＝f(2－x)，f(7＋x)＝f(7－x)，且在区间［0，7］上只有x＝1和x＝3两个零点，则f(x)＝0在区间［0，2 025］上根的个数为(　　) A.404 B.405 C.406 D.203 答案：(1)B　(2)B　(3)C 解析：(1)法一(定理法)：因为f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1＜0，且函数在定义域上单调递增且连续，所以函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点．故选B． 法二(图象法)：设y1＝2x，y2＝2－x3，在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，在区间(0，1)内，两图象的交点个数即为f(x)的零点个数．故函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点．故选B． (2)当x≥0时，f(x)＝f，故2是f(x)的一个周期，又0≤x＜2时，－2≤x－2＜0，则f(x)＝f＝ex－2，作出函数f(x)和g(x)＝－x＋的函数图象，如图所示.因为f＝f(0)＝f＝e－2＜g＝，f＝f＝e－2＞g＝0，结合图象可知，f(x)和g(x)的函数图象交点个数为3.故选B. (3)因为f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)关于直线x＝2对称，且f(7＋x)＝f(－3－x)，又f(7＋x)＝f(7－x)，故可得f(－3－x)＝f(7－x)，则f(x)＝f(x＋10)，故f(x)是以10为周期的函数．又f(x)在区间［0，7］上只有x＝1和x＝3两个零点，根据函数对称性可知，f(x)在一个周期［0，10］内也只有两个零点，又区间［0，2 020］内包含202个周期，故f(x)在［0，2 020］上的零点个数为202×2＝404，又f(x)在(2 020，2 025］上的零点个数与在(0，5］上的零点个数相同，有2个，故f(x)在［0，2 025］上有406个零点，即f(x)＝0在区间［0，2 025］上有406个根．故选C． 函数零点个数的判断方法 1.直接法：令f(x)＝0，有几个解就有几个零点． 2.定理法：首先确定函数f(x)在区间［a，b］上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)＜0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数． 3.图象法：将原函数分成两个函数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数． 对点练1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，当x∈［0，1］时，f(x)＝2x－1，则方程f(x)＝|log9x|的实根的个数为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案：C 解析：由奇函数可知f(2－x)＝f(x)＝－f(－x)，即f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则f(x)是周期为4的周期函数．又由f(2－x)＝f(x)，得f(x)的图象关于直线x＝1对称，作出函数y＝|log9x|与函数y＝f(x)的大致图象，如图所示．结合图象可知，共有5个交点，即方程实根的个数为5. 对点练2.函数f(x)＝·cos x的零点个数为　　　　． 答案：6 解析：令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，所以f(x)的定义域是［－6，6］．令f(x)＝0得36－x2＝0或cos x＝0.由36－x2＝0得x＝±6.由cos x＝0得x＝＋kπ，k∈Z．又x∈［－6，6］，所以x的取值为－．故f(x)共有6个零点． 【教师备选】　已知函数f(x)满足f＝f，且f(x)＝则方程2f(x)＝x的实数解的个数为　　　　． 答案：4 解析：由函数f(x)满足f＝f＝f(x)，所以f(x)的周期为4.由f(x)＝ f＝f(0)＝2sin 0＝0， 可得函数f(x)的图象，如图所示．方程2f(x)＝x的解，即为f(x)与y＝x的交点横坐标．当x＞4时，y＝x＞2，此时f(x)与y＝x无交点，当x＜－4时，y＝x＜－2，此时f(x)与y＝x无交点，由图可知两图象交点个数为4，即方程2f(x)＝x的实数解的个数为4. 考点三　函数零点的应用 多维探究 角度1　根据函数的零点个数求参数的取值范围 (1)(2025·广西柳州模拟)已知函数f(x)＝若方程f(x)＝k的实数解恰有两个，则实数k的取值范围是(　　) A．k≤－4 B．－4＜k＜－3 C．k＝－4或k＞－3 D．k＝－4或k≥－3 (2)(2025·湖南衡阳模拟)已知a∈R，函数f(x)＝在R上没有零点，则实数a的取值范围是(　　) A． B．⋃ C．⋃ D．⋃ 答案：(1)C　(2)B 解析：(1)当x≤0时，函数f(x)＝x2＋2x－3在(－∞，－1］上单调递减，函数值集合为［－4，＋∞)，在［－1，0］上单调递增，函数值集合为［－4，－3］；当x＞0时，f(x)＝－2＋ln x在(0，＋∞)上单调递增，函数值集合为R，在直角坐标系内作出函数y＝f(x)的图象与直线y＝k，由图象知，当k＝－4或k＞－3时，直线y＝k与函数y＝f(x)的图象有两个交点，即方程f(x)＝k有两个实数解．故选C． (2)当x≤0时，0＜ex≤1，若ex＝－a无解，则a≥0或a＜－1；当x＞0时，ln＞0，若ln＝a无解，则a≤0.综上，实数a的取值范围是(－∞，－1)⋃．故选B． 学生用书⬇第56页 角度2　根据函数零点的范围求参数 (1)(2026·河北秦皇岛模拟)设函数f(x)＝ax2－1，g(x)＝cos x－a，若F(x)＝g(x)－f(x)在区间上有且仅有一个零点，则a＝(　　) A．－1 B． C.1 D.2 (2)(多选)(2025·福建厦门期末)函数f(x)＝－ln x＋a在区间(1，e)内存在零点的充分条件可以是(　　) A．a＝0 B．－1＜a＜0 C．－1＜a＜1 D．a＜1 答案：(1)D　(2)AB 解析：(1)由函数f(x)＝ax2－1，g(x)＝cos x－a，可得F(x)＝g(x)－f(x)＝cos x－a－ax2＋1，则F(－x)＝cos (－x)－a－a(－x)2＋1＝cos x－a－ax2＋1＝F(x)，所以函数F(x)是上有且仅有一个零点，所以F(0)＝0，即F(0)＝2－a＝0，解得a＝2.故选D． (2)因为y＝在区间(1，e)上单调递减，y＝ln x在区间(1，e)上单调递增，所以f(x)＝－ln x＋a在区间(1，e)上单调递减，若函数f(x)在区间内存在零点，则解得－1＜a＜1－，故A、B符合题意，C、D不符合题意.故选AB. 角度3　探究函数多个零点(方程根)问题 (多选)已知函数f(x)＝若f(x)＝a有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4，且满足x1＜x2＜x3＜x4，则下列结论正确的是(　　) A.0＜a＜1 B．x1＋2x2∈ C．x1＋x2＋x3＋x4∈ D.2x1＋x2∈ 答案：ACD 解析：在同一平面直角坐标系中作出函数y＝f(x)，y＝a的图象，如图所示． 由图象知，若f(x)＝a有四个不同的实数解，则0＜a＜1，故A正确；因为｜log2x1｜＝｜log2x2｜，即－log2x1＝log2x2，则＝x2，所以x1＋2x2＝＋2x2，1＜x2＜2，因为y＝＋2x2在(1，2)上单调递增，所以＋2x2∈，故B错误；因为x1＋x2＝＋x2，1＜x2＜2，y＝＋x2在(1，2)上单调递增，所以＋x2∈，而x3＋x4＝8，所以x1＋x2＋x3＋x4∈，故C正确；因为2x1＋x2＝＋x2，1＜x2＜2，y＝＋x2在(1，)上单调递减，在(，2)上单调递增，则＋x2∈，故D正确.故选ACD. 1.已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围． (2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 2.等高线问题 求函数的多个零点(或方程的根以及直线y＝m与函数图象的多个交点横坐标)的和(积)时，实质上是等高线问题，处理策略为： (1)重在“减元”，结合函数图象要充分利用“函数值相等”，树立目标意识，预设“消谁留谁”，利用“函数值相等”的逆向使用，探究出自变量间的等量关系． (2)合理运用函数的对称性是减元的重要途径． 对点练3.(2026·陕西西安模拟)若函数f(x)＝lg x＋t在上有零点，则实数t的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：因为f(x)在上单调递增，所以ff(10)＜0，即t＜0，解得－1＜t＜0.故选D． 对点练4.(2026·广东广州模拟)已知函数f(x)＝(a≠0)，若函数g(x)＝f(x)－a恰有2个零点，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：易知当x≤0时，函数y＝ex单调递增，且y＝ex∈；当x＞0时，函数y＝x－，易知y'＝1＋＝，显然当a＞0时，y'＞0恒成立，即y＝x－上单调递增；当x→0时，y→－∞；当x→＋∞时，y→＋∞，此时函数f(x)的图象大致如图①所示. 若函数g(x)＝f(x)－a恰有2个零点，即函数f(x)的图象与y＝a有两个交点，由上图可知a∈；当a＜0时，根据对勾函数性质可知y＝x－＝x＋≥2，当且仅当x＝时，等号成立；此时其图象大致如图②所示.显然函数f(x)的图象与y＝a没有交点，不合题意；综上可知，实数a的取值范围是.故选B. 对点练5.已知函数f(x)＝若实数a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是　　　　　　． 答案：(2，2 027) 解析：画出函数f(x)＝的图象，如图所示， 不妨令a＜b＜c，可知a＋b＝1，而1＜c＜2 026，所以2＜a＋b＋c＜2 027. 【教师备选】　(多选)已知函数f(x)＝若x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论正确是(　　) A．x1＋x2＝－4 B．x3x4＝1 C.1＜x4＜4 D.0＜x1x2x3x4≤2 答案：AB 解析：函数f(x)＝的图象，如图所示． 设f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝t，则0＜t＜4，则直线y＝t与函数y＝f(x)图象的4个交点横坐标分别为x1，x2，x3，x4.对于A，函数y＝－x2－4x的图象关于直线x＝－2对称，则x1＋x2＝－4，故A正确；对于B，由图象可知|log2x3|＝|log2x4|，且0＜x3＜1＜x4，所以－log2x3＝log2x4，即log2(x3x4)＝0，所以x3x4＝1，故B正确；对于C，由图象可知log2x4∈(0，4)，则1＜x4＜16，故C错误；对于D，由图象可知－4＜x1＜－2，当x≤0时，f(x)＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4，所以x1x2x3x4＝x1(－4－x1)＝－－4x1＝－(x1＋2)2＋4＝f(x1)∈(0，4)，故D错误．故选AB． 学科网（北京）股份有限公司 $