第4章 第23讲 第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(课件PPT)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“三角恒等变换”专题，依据课程标准和高考评价体系，覆盖两角和差公式、辅助角公式、积化和差与和差化积公式等核心考点，明确公式推导、灵活应用的考查要求。通过梳理教材基础公式、归纳常用结论，结合近五年高考真题分析，突出两角和差公式逆用、角的变换、辅助角公式应用等高频题型，构建系统复习框架。 课件亮点在于“真题溯源+技巧提炼+素养落地”，以2024全国甲卷、新课标Ⅰ卷等真题为载体，深入剖析拆角配角（如2α=(α+β)+(α-β)）、辅助角公式转化等突破方法，培养学生的数学思维与模型意识。特设“规律方法”总结和“课时分层测评”，助力学生掌握公式逆用、角度变换等答题技巧，教师可据此实施精准教学，提升复习效率。

高三总复习讲义 北师大版 第四章 三角函数 第23讲　三角恒等变换 第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 课程标准 1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的 意义．　 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切 公式，了解它们的内在联系．　 3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用． 03 课时分层测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 sin αcos β － cos αsin β cos αcos β＋ sin αsin β tan α － tan β 1＋tan α tan β sin αcos β＋ cos αsin β cos αcos β－ sin αsin β tan α＋tan β 1－tan α tan β 2.三角函数的叠加(辅助角公式) asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(a，b不同时为0)，其中sin φ＝，cos φ＝． 3.积化和差公式 cos αcos β＝［cos(α＋β)＋cos(α－β)］； sin αsin β＝－［cos(α＋β)－cos(α－β)］； sin αcos β＝［sin(α＋β)＋sin(α－β)］； cos αsin β＝［sin(α＋β)－sin(α－β)］． 4.和差化积公式 sin α＋sin β＝2sincos； sin α－sin β＝2cossin； cos α＋cos β＝2coscos； cos α－cos β＝－2sinsin． 两角和与差的公式的常用变形 (1)sin αsin β＋cos (α＋β)＝cos αcos β． (2)cos αsin β＋sin (α－β)＝sin αcos β． (3)tan α±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β)； tan αtan β＝1－－1. 常用结论 1.(多选)下列说法中正确的是 A．存在α，β，使等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立 B．cos x＋化为积的形式为2cos(＋)cos C．公式asin x＋bcos x＝sin (x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关 D．公式tan (α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－ tan αtan β)，且对任意角α，β都成立 √ √ 自测诊断 2.(链接北师必修二P156T2)sin 10°cos 50°＋cos 10°sin 50°的值为 A．　　 B．　　 C．　　 D． √ sin 10°cos 50°＋cos 10°sin 50°＝sin(10°＋50°)＝sin 60°＝．故选D． 3.(链接北师必修二P154T2)已知α∈，β∈，sin α＝，cos＝－，则cos β的值为 A．或－　　 B． C．　　 D． √ 因为α∈，sin α＝，所以cos α＝－．因为α∈，β∈，所以α－β∈，所以cos β＝cos＝cos αcos＋sin αsin(α－β)＝－ ，所以cos β的值为．故选B． 4.(链接北师必修二P156例4)已知α，β∈(0，)，tan α＋tan β＋＝tan αtan β，则α＋β＝______． 由已知可得，tan α＋tan β＝－(1－tan αtan β)，所以tan＝－．又α，β∈(0，)，则α＋β∈，故α＋β＝． 返回 考点探究　提升能力 返回 1.(2024·全国甲卷)已知＝，则tan(α＋)＝ A．2＋1　　 B．2－1 C．　　 D．1－ 考点一　两角和与差的三角函数公式 高考超重点，自主练透 √ 依题意，有，即1－tan α＝，所以tan α＝1－，所以tan(α＋－1.故选B． 2.(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos(α－β)＝ A．－3m　　 B．－　　 C．　　 D．3m √ 由cos(α＋β)＝m得cos αcos β－sin αsin β＝m　①．由tan αtan β＝2得所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－3m．故选A． 溯源教材10 溯源 (北师必修二P163B组T3)已知sin (α＋β)＝，sin (α－β)＝，求． 透视 这两道题在核心知识点与结构方法上高度相似，主要体现为：知识背景相同、解题思路相似、代数变形能力要求一致；这种相似性体现了高考题对课本习题的深化与迁移——课本题提供基础模型，高考题通过参数或形式的变换，考查学生对公式本质的理解与灵活运用能力，这就意味着在复习中，应注重对教材的关注、延伸、挖掘与应用．“2025·湖北武汉二调”又对这三者关系进行了这样考查：已知tan αtan β＝2，cos (α－β)＝，则cos (α＋β)＝__________． － 依题意，tan αtan β＝＝2，则sin αsin β＝2cos αcos β，由cos (α－β)＝，得cos αcos β＋sin αsin β＝，解得cos αcos β＝， 所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－cos αcos β＝－． 预测 (1)已知cos＝3cos，则tan xtan y＝__________． － 因为cos＝3cos，则cos xcos y－sin xsin y＝3(cos xcos y＋sin xsin y)， 2cos xcos y＝－4sin xsin y，则tan xtan y＝＝－. 预测 (2)已知sin (α－β)＝，tan α＝2tan β，则sin (α＋β)＝____． 1 由sin (α－β)＝得sin αcos β－cos αsin β＝①.由tan α＝2tan β得＝2，即sin αcos β＝2cos αsin β　②，由①②得所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝1. 3.(2026·江苏盐城模拟)若2sin＝cos αcos β≠0，2cos＝cos，则tan＝ A．　　 B．　　 C．　　 D． √ 因为2sin＝2sin αcos β－2cos αsin β＝cos αcos β，所以＝2tan α－2tan β＝1，即tan α－tan β＝.因为2cos＝2cos αcos β＋2sin αsin β＝cos＝cos αcos β－sin αsin β，所以sin αsin β＝－cos αcos β⇒＝tan αtan β＝－，所以tan＝＝＝.故选A. 利用三角函数公式解题的基本策略 1.要熟记公式的结构特征和符号变化规律，例如两角差的余弦公式可简记为“同名相乘，符号相反”． 2.注意同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用． 3.注意配方法、因式分解和整体换元思想的运用． 规律方法 角度1　公式的逆用 (多选)下列式子运算正确的有 A．cos 43.5°cos 16.5°－sin 43.5°sin 163.5°＝ B．sin 105°cos 15°＋cos 75°sin 195°＝ C．＝ D．tan 22°＋tan 23°＋tan 22°tan 23°＝1 考点二　两角和与差的三角函数公式的逆用与辅助角公式 多维探究 典例1 √ √ √ 对于A，cos 43.5°cos 16.5°－sin 43.5°sin 163.5°＝cos 43.5°cos 16.5°－sin 43.5°sin 16.5°＝cos(43.5°＋16.5°)＝cos 60°＝，故A正确；对于B，sin 105°cos 15°＋cos 75°sin 195°＝sin 75°cos 15°－cos 75° sin 15°＝sin＝sin 60°＝，故B错误；对于C，＝＝tan(45°＋15°)＝，故C正确；对于D，因为tan 45°＝tan(22°＋23°)＝＝1，所以tan 22°＋tan 23°＋tan 22°tan 23°＝1，故D正确.故选ACD. 角度2　角的变换 (1)(2026·江苏南京模拟)若sin＝，cos 2α＝－，且α，β都为锐角，则sin＝ A．－　　 B．　　 C．　　 D．1 √ 典例2 因为α，β都为锐角，所以0＜α，β＜，所以0＜2α＜π，－＜－β＜0，所以－＜α－β＜.因为cos 2α＝－，0＜2α＜π，所以sin 2α＝＝＝.因为sin＝，－＜α－β＜，所以cos＝＝＝.所以sin＝sin＝sin 2αcos－cos 2αsin＝×－×＝1.故选D. (2)已知＜α＜，－＜β＜，cos＝，cos＝－，则sin＝ A．－　　 B．　　 C．－　　 D． √ 依题意，得－＜－α＜0，0＜＋β＜π，则sin(－α)＝－＝－，sin(＋β)＝＝，所以sin(α＋β)＝－cos＝－cos＝－［coscos(－α)＋sin(＋β)sin(－α)］＝－［×＋×］＝.故选B. 角度3　辅助角公式的应用 (1)已知sin＋cos α＝，则sin的值为 A．　　 B．　　 C．　　 D． √ 由sin＋cos α＝，得sin α＋cos α＝，即sin α＋cos α＝，所以sin＝.故选A. (2)(2026·陕西咸阳模拟)已知角α，β的终边不重合，且sin α＋3cos β＝3cos α ＋sin β，则sin＝______． － 依题意，知sin α－3cos α＝sin β－3cos β，则sin＝sin，即sin＝sin(β－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.因为角α，β的终边不重合，所以α－φ＋β－φ＝π，k∈Z，则α＋β＝π＋2φ，k∈Z，所以sin＝sin＝sin＝－sin2φ＝－2sin φcos φ＝－2××＝－. 三角函数公式灵活应用的技巧 1.逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式． 2.常用的拆角、配角技巧 2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；＋α＝ －α)等． 3.利用辅助角公式将所求关系式转化为一角一函数的形式，然后再解决 问题． 规律方法 对点练1.(2026·福建泉州模拟)sin·cos(x－20°)＋cos cos的值为 A．　　 B．　　 C．　　 D． √ 根据诱导公式cos (90°＋α)＝－sin α，原式sin (65°－x)cos (x－20°)＋cos (65°－x)cos (110°－x)，可化为sin (65°－x)cos (x－20°)－cos (65°－x)sin (20°－x)，进一步得sincos(20°－x)－cossin＝sin[(65°－x)－(20°－x)]，则sin [(65°－x)－(20°－x)]＝sin (65°－x－20°＋x)＝sin 45°＝.故选C. 对点练2.(2026·江苏徐州模拟)已知sin α＝，sin (α＋2β)＝，则sin (α＋β)cos β＝ A．　　 B．－　　 C．　　 D．－ √ sin α＝sin＝sin (α＋β)cos β－cos (α＋β)sin β＝，sin (α＋2β)＝sin (α＋β＋β)＝sin (α＋β)cos β＋cos (α＋β)sin β＝，两式联立可得sin (α＋β)cos β＝．故选A． 对点练3.(一题多解)(2020·全国Ⅲ卷)已知sin θ＋sin(θ＋)＝1，则 sin(θ＋)＝ A．　　 B．　　 C．　　 D． √ 法一(辅助角公式)：因为sin θ＋sin(θ＋sin θ＋cos θ＝sin(θ＋)＝1，所以sin(θ＋．故选B． 法二(角的配凑)：因为sin θ＋sin＋sin (θ＋)＝sin (θ＋－cos (θ＋＋sin (θ＋＋cos (θ＋＝2sin (θ＋sin (θ＋)＝1，所以sin (θ＋．故选B． (2026·河北保定模拟)已知3cos α－3sin α＝4，则cos 2α－sin 2α＝ A．－　　 B．－　　 C．－　　 D． √ 教师备选 由3cos α－3sin α＝4，得cos α－sin α＝，所以cos，所以cos 2α－sin 2α＝2cos＝2×(2×－1)＝－．故选B． (1)(2025·浙江嘉兴模拟)已知α，β∈且满足sin α＋sin β＝，则 A．tan (α＋β)＝　　 B．tan (α＋β)＝－ C．cos (α＋β)＝　　 D．cos (α＋β)＝－ 考点三　积化和差、和差化积公式的应用 师生共研 典例4 √ 因为sin α＋sin β＝sin＋sin＝2sincos，cos α＋cos β＝cos＋cos＝2coscos，所以2sincos＝×2coscos.又因为α，β∈(0，π)，所以－＜＜，0＜＜π，所以cos＞0，所以sin＝cos，所以tan＝.又因为0＜＜π，所以＝，所以α＋β＝，所以tan (α＋β)＝tan＝－，cos (α＋β)＝cos＝－.故选B. (2)已知cos θ＝，那么4cos θcoscos(－θ)＝________． － 4cos θcoscos＝4cos θ×＝2cos θ＝2cos θ＝2××＝×＝－. 利用积化和差与和差化积公式求值时，尽量变形出现特殊角，同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系．　　 规律方法 对点练4.若cos xcos y＋sin xsin y＝，sin 2x＋sin 2y＝，则sin＝ A．－　　 B．　　 C．　　 D． √ 依题意，知cos＝cos xcos y＋sin xsin y＝.因为sin 2x＋sin 2y＝，所以sin 2x＋sin 2y＝sin[(x＋y)＋(x－y)]＋sin[(x＋y)－(x－y)]＝2sin(x＋y)cos(x－y)＝，即sincos(x－y)＝，所以sin＝＝.故选C. 对点练5.已知sinsin＝2m(m≠0)，则cos 2α－cos 2β＝__________． －2m 由sin］＝cos 2β－cos 2α＝4m，则cos 2α－cos 2β＝＝－2m． 返回 课 时 分 层 测 评 返回 1.化简sin cos －cos sin (70°＋α)＝ A．1　　 B．　　 C．－　　 D．－ √ Sin cos －cos sin(70°＋α)＝sincos－cos (10°＋α)sin＝sin cos －cos(10°＋α)sin＝sin＝sin(－60°)＝－sin 60°＝－.故选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 2.(2026·广东潮州模拟)已知sin α＝－，α是第四象限角，则sin＝ A．　　 B．　　 C．－　　 D．－ √ 由sin α ＝－， α是第四象限角，可得cos α ＝－ α)＝ sin cos α － cos sin α ＝．故选A． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 16 3.(2026·四川广安模拟)已知tan α，tan β是方程x2＋2mx－3＝0的两个根，且α＋β＝60°，则m＝ A．－2　　 B．2　　 C．－4　　 D．4 √ 由韦达定理可得，tan α＋tan β＝－2m，tan αtan β＝－3.又tan 60°＝tan．故选A． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 16 4.(2025·浙江温州一模)已知sin (α＋β)＝，sin (α－β)＝，则＝ A．　　 B．－　　 C．5　　 D．－5 √ sin＝sin αcos β＋cos αsin β＝，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，两式相减得2cos αsin β＝，两式相加得2sin αcos β＝＝5.故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 16 (2026·江苏南京模拟)已知＝，则＝ A．2　　 B．　　 C．－2　　 D．－ 教师备选 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 16 依题意，＝sin αcos β－cos αsin β，即2sin αcos β＝－4cos αsin β，所以＝－2.故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 16 5.若λsin 160°＋tan 20°＝，则实数λ的值为 A．4　　 B．4　　 C．2　　 D． √ 依题意，得λ＝＝4.故选A． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 16 6.(2022·新高考Ⅱ卷)若sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2cos(α＋)sin β，则 A．tan (α－β)＝1　　 B．tan (α＋β)＝1 C．tan (α－β)＝－1　　 D．tan (α＋β)＝－1 √ sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝sin(α＋β＋sin β·cos(α＋)，所以sin(α＋)cos β＋sin βcos(α＋)＝2sin βcos(α＋)，整理得sin(α＋)cos β－sin βcos(α＋)＝0，即sin(α＋－β)＝0，所以α－β＋＝kπ，k∈Z，所以tan (α－β)＝tan(kπ－)＝－1.(也可由已知条件令α＝0，β＝，和α＝－，β＝0排除得解)故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 16 7.(多选)(2026·山东聊城模拟)已知sin＝－，sin αcos β＝，则 A．cos αsin β＝－　　 B．sin＝ C.3tan α＝2tan β　　 D．sin 2αsin 2β＝ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 16 对于A，已知sin＝sin αcos β－cos αsin β＝－，sin αcos β＝，则cos αsin β＝＝sin αcos β＋cos αsin β＝，所以3tan α＝2tan β，故C正确；对于D，sin 2αsin 2β＝2sin αcos α×2cos βsin β＝4sin αcos β·cos αsin β＝4×，故D错误．故选BC． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 16 8.(多选)(2026·福建泉州模拟)已知α，β为锐角，sin α＝，sin＝ －，则 A．sin 2α＝　　 B．sin β＝－ C．tan＝－　　 D．tan β＝ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 16 因为α，β为锐角，所以0＜α＜，0＜β＜，所以－＜α－β＜，所以cos＞0.因为sin α＝，所以cos α＝＝，tan α＝＝2.因为sin＝－，所以cos＝＝.对于A，sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，故A正确；对于B，sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos－cos αsin＝×－× ＝，故B错误， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 16 或直接根据锐角的正弦值大于零，判断B错误；对于C、D，因为sin β＝，所以cos β＝＝，所以tan β＝＝7，tan＝＝＝－，故C正确，D错误.故选AC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 16 9.化简：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝_______． 1 原式＝tan 10°tan 20°＋tan 60°(tan 20°＋tan 10°)＝tan 10°tan 20°＋tan (20°＋10°)(1－tan 20°tan 10°)＝tan 10°tan 20°＋1－ tan 20°tan 10°＝1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 16 10.(开放题)写出一个使得tan α＝sin 12°＋cos 12°成立的α的度数为____________________． 123°(答案不唯一) 易知sin 12°－cos 12°≠0，所以tan α＝＝＝－＝－tan＝－tan 57°＝tan，所以α＝－57°＋180°·k，k∈Z；当k＝1时，α＝123°(答案不唯一). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 16 11.(2026·江苏苏州模拟)已知tan＝3，tan(α－β)＝5，则4tan α＋tan β＝ A．13　　 B．14　　 C．15　　 D．16 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 16 因为tan＝3，tan＝5， 所以 化简得①＋②得tan α＝4＋tan αtan β，①－②得tan β＝－1－4tan αtan β.所以4tan α＋tan β＝16－1＝15.故 选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 16 12.(多选)(2026·湖南长沙模拟)已知α，β均为锐角，且2sin＝3sin，则 A．tan α＝5tan β B．5tan α＝tan β C．若α＋β＝，则tan β＝ D．tan的最大值为 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 16 由2sin (α＋β)＝3sin (α－β)，得2(sin αcos β＋cos αsin β)＝3(sin αcos β－cos αsin β)，即sin αcos β＝5cos αsin β，由α，β为锐角，得cos α≠0，cos β≠0.对于A、B，tan α＝5tan β，故A正确，B错误；对于C，由α＋β＝，得tan (α＋β)＝＝＝1，即5tan 2β＋6tan β－1＝0，而tan β＞0，解得tan β＝，故C正确；对于D，tan＝＝＝≤＝，当且仅当5tan β＝，即tan β＝时取等号，故D正确.故选ACD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 16 13.(多选)(2026·浙江杭州模拟)已知≤α≤π，π≤β≤，sin 2α＝，cos＝－，则下列结论正确的是 A．cos 2α＝　　 B．sin α－cos α＝ C．sin＝　　 D．β－α＝ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 16 对于A，由≤α≤π⇒≤2α≤2π，sin 2α＝，所以≤2α≤π，即cos 2α＝－，故A错误；对于B，由于≤2α≤π，所以≤α≤，则有sin α≥≥cos α，即sin α－cos α＝＝＝＝，故B正确；对于C，因为≤α≤，π≤β≤，所以≤α＋β≤2π.又因为cos＝－，所以sin＝－＝－＝－，故C错误； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 16 对于D，由sin＝sin＝sincos 2α－cossin 2α＝－×＋×＝＝，因为≤α≤，π≤β≤，所以≤β－α≤，则β－α＝，故D正确.故选BD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 16 14.(多题同解)(1)cos θ－cos γ＝－，sin θ－sin γ＝，则cos＝____． 由cos θ－cos γ ＝－2sinsin＝－，所以sinsin＝.由sin θ－sin γ＝2cossin＝，所以cossin＝，所以tan＝，而cos＝＝＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 (2)(2025·湖北黄冈一模)若－＜α－β＜，cos α－2sin β＝1，sin α＋2cos β＝－，则cos＝__________． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 由cos α－2sin β＝1两边平方，可得cos 2α－4cos αsin β＋4sin 2β＝1①.由sin α＋2cos β＝－，两边平方，可得sin 2α＋4sin αcos β＋4cos 2β＝2②.由①＋②得到1＋4＋4＝3，整理得到sin＝－.又－＜α－β＜，解得α－β＝－，即α＝β－，将其代入cos α－2sin β＝1，可得cos－2sin β＝1，即cos β＋sin β－2sin β＝1，即cos β－sin β＝1，所以＝cos＝1，故得cos＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 15.设f(x)＝，则f()＋f()＋f()＋…＋f()＝__________． f(x)＋f(－x)＝＋＝＝.所以f()＝［f()＋f()］＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 1 14 16 16.(新情境)某航天实验中心进行“多斜坡抛体轨迹耦合”实验，在坡度为锐角α的第一斜坡上，以初速度v0沿与水平成30°角方向发射抛体；抛体飞行过程中，与坡度为锐角β的第二斜坡相交．通过运动学建模(含水平/竖直分运动分析)与地形几何解算，得到两个关键条件：①角度约束2α＋β＝；②由速度分量的雷达多普勒数据，经三角变换推导得tan α·tan＝2－，则α＝__________． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 依题意，知2α＋β＝，可得α＋＝，故tan(α＋)＝＝.因为tan α·tan ＝2－，代入解得tan α＋tan ＝－1)，可将tan α，tan 看成方程t2－－1)t＋2－＝0的两根，解得t＝2－或t＝1.因为α，β都是锐角，且2α＋β＝.由0＜α＜，0＜－2α＜，解得＜α＜，而tan＝tan(－)＝＝2－，故tan α＝1，则α＝. 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 谢 谢 观 看 第1课时　 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 $