第3章 第18讲 导数与函数的单调性(课件PPT)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“导数与函数的单调性”专题，依据课程标准要求，覆盖导数与单调性关系、单调区间求解、含参函数单调性讨论等核心考点，通过梳理近5年高考真题，明确含参单调性分析（占比45%）、单调性应用求参数（占比30%）等高频考点，构建“基础梳理-考点突破-测评反馈”的备考体系。 课件亮点在于“真题溯源+方法建模+素养提升”，如以2021新高考Ⅱ卷含参函数单调性题为例，提炼“求导-分类-定区间”三步法，培养学生逻辑推理的数学思维，通过“二次求导”“构造函数”等技巧解析单调性应用难题，帮助学生掌握答题规律，教师可依托分层测评精准定位学情，实现高效复习。

第18讲　导数与函数的单调性 高三总复习讲义 北师大版 第三章　一元函数的导数及其应用 课程标准 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系．　 2.能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过 三次的多项式函数的单调区间． 03 课时分层测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.函数的单调性与导数的关系 微提醒　“f′(x)＞0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件． 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)＞0 f(x)在区间(a，b)上__________ f′(x)＜0 f(x)在区间(a，b)上__________ f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是__________ 单调递增 单调递减 常数函数 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第一步，确定函数的________； 第二步，求出导数f′(x)的______； 第三步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 微提醒　讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则． 定义域 零点 1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立． 2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)＞0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)＜0有解． 常用结论 1.(多选)下列说法正确的是 A．函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)＞0 B．如果f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性 C．若函数f(x)在定义域上都有f′(x)＞0，则f(x)在定义域上一定单调递增 D．函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数 √ √ 自测诊断 2.(链接北师选择性必修二P78例1)下列函数在区间上单调递增的是 A．f(x)＝　　 B．f(x)＝ C．f(x)＝xln x　　 D．f(x)＝x－ln x2 √ 对于A，f(x)＝的定义域是∪，f(x)在上单调递增，在上单调递增，不满足在上单调递增，故A错误；对于B，f'(x)＝≤0，f(x)在上单调递减，不满足在上单调递增，故B错误；对于C，f'(x)＝ln x＋1＞0，满足在上单调递增，故C正确；对于D，f'(x)＝1－＝，f(x)在(1，2)上单调递减，在上单调递增，不满足在上单调递增，故D错误.故 选C. 3.(2026·河南焦作模拟)已知函数f(x)＝ax3－2x2－3x＋1在R上单调递减，则实数a的取值范围是 A．　　 B． C．　　 D． √ 依题意，知f′(x)＝3ax2－4x－3≤0在R上恒成立，所以 ．故选D． 4.(链接北师选择性必修二P84T1)函数f(x)＝x3＋2x2－4x的单调递增区间是 ______________________． (－∞，－2)， 由f'(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)＞0，得x＜－2或x＞，故f(x)的单调递增区间是(－，－2)，. 返回 考点探究　提升能力 返回 1.(2026·江苏南通模拟)函数y＝的单调递增区间是 A． B． C． D． 考点一　不含参数的函数的单调性 自主练透 √ 函数的定义域是，因为y＝，所以y'＝＝＝.令y'＞0，即＞0，所以－ln x＞0，解得0＜x＜1，所以函数y＝的单调递增区间是.故选B. 2.(2026·安徽亳州模拟)下列函数在区间(0，π)上单调递减的是 A．y＝x－sin x B．y＝x＋cos x C．y＝xsin x＋cos x D．y＝xcos x－sin x √ 对于A，y′＝1－cos x，x∈(0，π)时，cos x＜1，所以y′＞0恒成立，则y＝x－sin x在区间(0，π)上单调递增，故A错误；对于B，y′＝1－sin x，x∈(0，π)时，sin x≤1，所以y′≥0恒成立，则y＝x＋cos x在区间(0，π)上单调递增，故B错误；对于C，y′＝x′sin x＋x 时，cos x＞0，所以y′＞0，y＝xsin x＋cos x是单调递增函数，故C错误；对于D，y′＝cos x－xsin x－ cos x＝－xsin x，x∈(0，π)时，sin x＞0，则y′＜0恒成立，所以y＝xcos x－sin x在区间(0，π)上单调递减，故D正确．故选D． 3.已知函数f(x)与f′(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝的单调递增区间是 A．(0，4) B．， C． D．(－∞，0)，(1，4) √ 易知f′(x)过点(0，0)与 的单调递增区间是(－∞，0)，(1，4)．故选D． 4.(知识纵向延伸，可作为典例) 判断函数f(x)＝(x＞1)的单调性． 解：f′(x)＝． 令g(x)＝x2－2xln x－1，则g′(x)＝2x－2ln x－2. 令h(x)＝g′(x)，则h′(x)＝． 当x＞1时，h′(x)＞0，故h(x)单调递增． 又h(1)＝0，故x＞1时，h(x)＞0，则g(x)单调递增． 又g(1)＝0，故x＞1时，g(x)＞0，从而f′(x)＞0，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增． 1.确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是优先考虑函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开． 规律方法 2.“二次求导”中的理性思维：求导后，仍不能解决问题时，常考虑二次(多次)求导(需利用函数思想先构造函数)，尤其是对于解析式含ex，ln x，xn，sin x，cos x等混合结构时．应用二次求导时，一是要注意结合端点或特殊点函数值符号，二是要注意一般令g(x)＝f′(x)，而不直接写成f″(x)．二阶导数反映了函数图象的凹凸性．当一个函数f(x)的二阶导数f″(x)＞0时，函数图象是凹的；当f″(x)＜0时，函数图象是凸的．因此，通过观察函数的二阶导数图象，我们可以大致判断出原函数的图象，进而解决相关问题． 规律方法 (1)(2021·新高考Ⅱ卷节选)已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b，讨论f(x)的单调性． 考点二　含参数函数的单调性 师生共研 典例1 解：根据题意，得f′(x)＝x(ex－2a)． 当a≤0时，若x∈(－∞，0)，则f′(x)＜0，f(x)单调递减．若x∈(0，＋∞)，则f′(x)＞0，f(x)单调递增． 当0＜a＜时，若x∈(－∞，ln (2a))，则f′(x)＞0，f(x)单调递增．若x∈(ln (2a)，0)，则f′(x)＜0，f(x)单调递减．若x∈(0，＋∞)，则f′(x)＞0，f(x)单调递增． 当a＝时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增． 当a＞时，若x∈(－∞，0)，则f′(x)＞0，f(x)单调递增．若x∈(0，ln (2a))，则f′(x)＜0，f(x)单调递减．若x∈(ln (2a)，＋∞)，则f′(x)＞0，f(x)单调递增． 综上，当a≤0时，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增； 当0＜a＜时，f(x)在(－∞，ln (2a))和(0，＋∞)上单调递增，在(ln (2a)，0)上单调递减； 当a＝时，f(x)在R上单调递增； 当a＞时，f(x)在(－∞，0)和(ln (2a)，＋∞)上单调递增，在(0，ln (2a))上单调递减． (2)(2026·江苏南京模拟节选)已知函数f(x)＝－aln ，讨论f(x)的单调性． 解：函数f(x)的定义域是［0，＋∞)． f′(x)＝ ＝，x＞0. ①当a≤1时，因为x＞0，所以f′(x)≥0， 所以函数f(x)在［0，＋∞)上单调递增． ②当a＞1时，令f′(x)＝0，则x＝2. 当x＞2时，f′(x)＞0. 当2时，f′(x)＜0.所以函数f(x)在)2)上单调递减． 综上，当a≤1时，函数f(x)在［0，＋∞)上单调递增； 当a＞1时，函数f(x)在和((a＋)2，＋∞)上单调递增，在((a－)2，(a＋)2)上单调递减． 讨论含参函数单调性的方法 1.研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． 2.划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点． 规律方法 对点练1.(2026·江西新余模拟)已知函数f(x)＝xln x＋ax2. (1)若a＝1，求f(x)在x＝1处的切线方程； 解：当a＝1时，f(x)＝xln x＋x2， 则f′(x)＝ln x＋1＋2x，所以f＝3， 所以切线方程为y－1＝3，即y＝3x－2. (2)设函数g(x)＝f′(x)，讨论g(x)在区间上的单调性． 解：由g(x)＝ln x＋1＋2ax， g′(x)＝． 当a≥0时，g′(x)＞0，g(x)在上单调递增； 当a＜0时，令g′(x)＝0⇒x＝－． 当0＜x＜－上单调递增； 当x＞－上单调递减． 综上，当a≥0时，g(x)在上单调递增； 当a＜0时，g(x)在上单调递增，在(－，＋∞)上单调递减． 角度1　比较大小或解不等式 (1)(2026·北京通州模拟)已知函数f(x)＝x2＋cos x，则f，f，f的大小关系是 A．f＜f＜f B．f＜f＜f C．f＜f＜f D．f＜f＜f 考点三　函数单调性的应用 多维探究 典例2 √ 因为f＝x2＋cos x＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，f'(x)＝x－sin x.令g(x)＝x－sin x，x∈，则g'(x)＝1－cos x≥0，x∈，所以函数g(x)＞g＝0，即当x∈时，f'(x)＞0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f＝f＜f＜f.故选A. (2)(2026·江西新余模拟)已知函数f(x)＝(x－1)ln ，则不等式f(x)－f＜0的解集为 A． B． C． D． √ 由＞0得函数f(x)的定义域是，由于f＝ln ＝ln ＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，f'(x)＝ln ＋，当x∈时，y＝ln ＝ln (－1)单调递增，所以ln (－1)＞0.又y＝＞0，所以f'(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)＜ f⇔解得1＜x＜.故选D. 角度2　根据函数的单调性求参数(高考超重点) (1)已知函数f(x)＝ln x＋x2＋bx的单调递减区间是(，1)，则实数b的值为 A.3 B．－6 C.6 D．－3 √ 典例3 f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝＋2x＋b．因为f(x)的单调递减区间是 (，1)，所以，1)，即2x2＋bx＋1＜0的解集 为(，1)．所以－＋1＝，解得b＝－3.经检验，符合题意．故 选D． (2)(一题多变)(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1，2)单调递增，则a的最小值为 A．e2 B．e C．e－1 D．e－2 √ 依题意，知f'(x)＝aex－≥0在(1，2)上恒成立，显然a＞0，所以xex≥，设g(x)＝xex，x∈(1，2)，所以g'(x)＝(x＋1)ex＞0，所以g(x)在(1，2)上单调递增，g(x)＞g(1)＝e，故e≥，即a≥＝e－1，即a的最小值为e－1.故选C. 1.(变条件、变问法)在本例(2)中，若函数f(x)在区间(1，2)上存在单调递增区间，求实数a的取值范围． 解：因为f(x)在(1，2)上存在单调递增区间， 所以∃x∈(1，2)，使f′(x)＞0有解， 即x∈(1，2)时，不等式aex－＞0有解． 即a＞，x∈(1，2)有解， 由例3(2)解析可知，， 即实数a的取值范围为(，＋∞)． 变式探究 数智赋能辅助 2.(变条件、变问法)在本例(2)中，若函数f(x)在区间(1，2)上不单调，求实数a的取值范围． 解：因为f(x)在(1，2)上不单调， 所以当x∈(1，2)时，f′(x)有变号零点， 即方程aex－＝0有解． 即a＝在x∈(1，2)上有解， 由例3(2)解析可知，)， 所以实数a的取值范围为()． (2026·江苏南京模拟)若函数f(x)＝cos x－ax在定义域内单调递减，则实数a的取值范围是__________． 教师备选 ［1，＋∞) 函数f(x)＝cos x－ax的定义域是R，求导得f′(x)＝－sin x－a．依题意，∀x∈R，f′(x)≤0，即a≥－sin x恒成立，而－sin x≤1，则a≥1. 1.利用导数比较大小(解不等式)方法 (1)比较大小：需先将自变量转化到同一单调区间，再用单调性比较． (2)解不等式：需将常数转化为对应函数值，再依单调性去掉函数符号“f”． 2.由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)函数在区间(a，b)上单调，等价于f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在区间(a，b)上恒成立． (2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，等价于f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在区间(a，b)存在解集． 规律方法 对点练2.(2026·广东清远模拟)已知函数f(x)＝ex＋e－x－cos x，则不等式f(1)＜f(ln x)的解集为 A． B．(e，＋∞) C．⋃(e，＋∞) D．⋃(e，＋∞) √ 由函数f(x)＝ex＋e－x－cos x，所以f(－x)＝e－x＋ex－cos ＝ex＋e－x－cos x＝f(x)，则f(x)为偶函数.当x≥0时，又因为y＝f'(x)＝ex－e－x＋ sin x，且y'＝ex＋e－x＋cos x≥2＋cos x＝2＋cos x＞0恒成立，则f'(x)≥f'＝0，所以f(x)在上单调递增，综上可得f(1)＜f(ln x)等价于1＜，即ln x＞1或ln x＜－1，解得x∈∪.故选C. 对点练3.(多选)(2024·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝(x－1)2(x－4)，则 A．x＝3是f(x)的极小值点 B．当0＜x＜1时，f(x)＜f(x2) C．当1＜x＜2时，－4＜f(2x－1)＜0 D．当－1＜x＜0时，f(2－x)＞f(x) √ √ √ 对于A，因为函数f(x)的定义域是R，而f'(x)＝2(x－1)＋(x－1)2＝3(x－1)，易知当x∈时，f'(x)＜0，当x∈或x∈时，f'(x)＞0；函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故x＝3是函数f(x)的极小值点，故A正确；对于B，当0＜x＜1时，x－x2＝x＞0，所以1＞x＞x2＞0.而由A可知，函数f(x)在(0，1)上单调递增，所以f(x)＞f(x2)，故B错误；对于C，当1＜x＜2时，1＜2x－1＜3，而由上可知，函数f(x)在上单调递减，所以f(1)＞f＞f(3)，即－4＜f＜0，故C正确；对于D，当－1＜x＜0时，f(2－x)－f(x)＝－(x－1)2＝(x －1)2＞0，所以f(2－x)＞f(x)，故D正确.故选ACD. 返回 课 时 分 层 测 评 返回 1.(2026·山东烟台模拟)已知函数f(x)＝，则f(x)的单调递增区间是 A． B． C． D． √ 易知函数定义域是，因为f(x)＝，所以f'(x)＝＝.令f'(x)＞0，得ln ＜，所以0＜2x＜，即0＜x＜.故 选A. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 2.(2026·广东东莞模拟)已知函数f(x)＝2x＋cos 2x，则 A．f＜f＜f B．f＜f＜f C．f＜f＜f D．f＜f＜f √ 由f(x)＝2x＋cos 2x求导得f′(x)＝2－2sin 2x＝2(1－sin 2x)．因为对于x∈R，都有sin 2x≤1成立，故f′(x)≥0，即函数f(x)＝2x＋cos 2x在R上单调递增．又e＜3＜π，故f．故选B． 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 1 9 3.(2026·浙江金华模拟)已知函数f(x)＝a－ln x在区间上单调递增，则a的最小值为 A．1 B．2 C．3 D．4 √ 求导得f'(x)＝a·－＝，要满足函数f(x)＝a－ln x在区间上单调递增，则f'(x)＝≥0，即a≥.因为x∈，所以∈，即a≥2，则a的最小值为2.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 1 9 对于任意的0＜x1＜x2，都有 f(x1)＜f(x2)成立，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f'(x)＝a＋≥0恒成立，即a≥－，由于－∈，故只需a≥0即可. (开放题)设函数f(x)＝ax＋ln x，能说明“对于任意的0＜x1＜x2，都有 f(x1)＜f(x2)成立”为真命题的一个实数a的值可以是________________________ _____________． 教师备选 1(答案不唯一，只要满足 a≥0即可) 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 1 9 4.已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图，则不等式xf′(x)＜0的解集为 A．∪ B．∪ C．∪ D．∪ √ 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 1 9 由f(x)的图象可知，f(x)在(－∞，)和(2，＋∞)上单调递增，在(，2)上单调递减，则当x∈(－∞，)时，f'(x)＞0，x∈(2，＋∞)时，f'(x)＞0，x∈(，2)时，f'(x)＜0，所以不等式xf'(x)＜0的解集为(－∞，0)∪(，2).故选C. 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 1 9 5.(多选)(2026·湖南常德模拟)下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是 A．y＝x2 B．y＝x2ln C．y＝xsin x D．y＝x2e √ √ 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 1 9 对于A，f(x)＝x2，定义域是R，f＝＝x2＝f(x)，所以f(x)＝x2是偶函数，且f(x)＝x2在上单调递增，故A正确；对于B，g(x)＝x2ln ，定义域是∪(0，＋∞)，g＝ln ＝x2ln ｜x｜＝g(x)，所以g(x)＝x2ln 是偶函数，当x∈(0，＋∞)时，g(x)＝x2ln x，g'(x)＝x，令g'(x)＜0，得0＜x＜，即g(x)＝x2ln 上单调递减，故B不正确； 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 1 9 对于C，h(x)＝xsin x，定义域是R，h＝－xsin ＝xsin x＝h(x)，所以h(x)＝xsin x是偶函数，h＝＞－＝h，所以h(x)＝xsin x在上不单调递增，故C不正确；对于D，μ(x)＝x2，定义域是R，μ＝＝x2＝μ(x)，所以μ(x)＝x2是偶函数，当x∈时，μ(x)＝x2ex，μ'(x)＝xex＞0恒成立，所以μ(x)＝x2上单调递增，故D正确.故选AD. 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 1 9 6.(多选)(2026·安徽合肥模拟)已知a，b∈R，且2a＞2b＞1，则 A．ea－ln b＞eb－ln a B．＜ea－b C．＞1 D．aa＞ba √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 1 9 因为a，b∈R，且2a＞2b＞1，所以a＞b＞0.对于A，易知函数f(x)＝ex＋ln x是增函数，所以f(a)＞f(b)，即ea＋ln a＞eb＋ln b，所以ea－ln b＞eb－ln a，故A正确；对于B，设g(x)＝xex，则g′(x)＝(1＋x)ex，在x＞－1时，g′(x)＝(1＋x)ex＞0，因此x＞－1时，g(x)是增函数，从而g(a)＞g(b)，即aea＞beb，所以＜ea－b，故B正确；对于C，若a＝b＋2π，则满足a＞b，但＞1不成立，故C错误；对于D，由函数y＝xa是增函数知aa＞ba，故D正确．故选ABD． 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 1 9 7.(2026·广东深圳模拟)∀x1，x2∈，且x1≠x2，不等式＞m恒成立，则实数m的取值范围是__________． 不妨设1≤x1＜x2≤e，则x2－x1＞0.由＞m可得－＞m，所以－mx2＞－mx1.令f(x)＝ex－mx，则f＞f.因为1≤x1＜x2≤e，所以f(x)＝ex－mx在上单调递增，所以f'(x)＝ex－m≥0对于x∈恒成立，可得m≤ex对于x∈恒成立，所以m≤e. 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 1 9 8.(多题同解)(1)(一题多解)若函数f(x)＝ln (ax＋1)＋(x≥0，a＞0)的单调递增区间是［1，＋∞)，则a的取值集合是__________． {a|a＝1} 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 1 9 法一：f(x)的单调递增区间是［1，＋∞)，即f(x)仅在区间［1，＋∞)上单 调递增．f′(x)＝．令f′(x)≥0，即ax2＋a－2≥0，所以x2≥≤0，即a≥2，则x2≥恒成立，f(x)的单调递增区间是［0，＋∞)，不符合题意．若＞0，即0＜a＜2，则f(x)的单调递增区间是［＝1，解得a＝1.符合题意． 法二：f′(x)＝．由题意，得x＝1是f′(x)＝0的 根，即a×12＋a－2＝0，解得a＝1.经检验，符合题意． 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 1 9 (2)若函数f(x)＝ln (ax＋1)＋(x≥0，a＞0)在区间［1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是__________． ［1，＋∞) f′(x)＝．由f(x)在［1，＋∞)上单调递增，可得对任意x≥1，f′(x)≥0，即a(x2＋1)≥2.所以a≥()max＝1.所以a≥1. 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 1 9 9.(10分)(2026·江西南昌模拟)已知函数f(x)＝2ax＋ln x＋． (1)已知f(x)在x＝1取得极值，求a的值； 解：因为f(x)＝2ax＋ln x＋， 所以f'(x)＝2a＋－＝. 因为f(x)在x＝1取得极值，所以f'＝a＋1＝0⇒a＝－1，经检验符合题意. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 (2)当a＜0时，讨论f(x)的单调性． 解：由题意可知f(x)的定义域是， f'(x)＝2a＋－＝. 由f'(x)＝0可得x＝或x＝－. 当a＝－2时，f'(x)≤0， 故f(x)在(0，＋∞)上单调递减. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 当a＜－2时，＞－，故令f'(x)＞0，解集为(－，)，令f'(x)＜0，解集为(0，－)∪(，＋∞)， 因此f(x)的递增区间是，递减区间是，. 当－2＜a＜0时，＜－，令f'(x)＞0，解集为(，－)，令f'(x)＜0，解集为(0，)∪(－，＋∞)， 因此f(x)的递增区间是，递减区间是，. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 综上所述，当a＝－2时，f(x)在上单调递减； 当a＜－2时，f(x)的递增区间是，递减区间是，； 当－2＜a＜0时，f(x)的递增区间是，递减区间是，. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 10.(2026·山东济南模拟)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为 A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a √ 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 1 9 因为b＝，c＝，构造函数f(x)＝，x＞1，则f'(x)＝.当1＜x＜e时，f'(x)＞0；当x＞e时，f'(x)＜0，故函数f(x)在上单调递增，在上单调递减.由于b＝＝＝＝f，c＝＝f，且e＜3＜4，则f＞f，即c＞b.又b＝＞＝a，所以a＜b＜c.故选A. 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 1 9 11.已知函数f(x)＝xcos x－ax＋a，x∈［0，］．当a≥1时，f(x)的单调递 减区间是__________． ［0，］ f'(x)＝cos x－xsin x－a.令g(x)＝cos x－xsin x－a，x∈［0，］，则g'(x)＝－2sin x－xcos x≤0，所以g(x)在区间［0，］上单调递减.当a≥1时，g(0)＝1－a≤0，所以g(x)≤0，即f'(x)≤0.所以f(x)的单调递减区间是［0，］. 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 1 9 12.(15分)(2026·江西萍乡模拟)已知函数f(x)＝e2x－ex＋2ax＋1，其中a∈R． (1)若f(x)的图象在处的切线经过点(，0)，求a的值； 解：f'(x)＝e2x－ex＋2a. 因为f＝－a－，f'＝a－1， 所以f(x)的图象在处的切线方程为y＋a＋＝x. 将代入得a＋＝，解得a＝－2. 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 1 9 (2)讨论f(x)的单调性． 解：f'(x)＝e2x－ex＋2a＝(ex－2)， 当a≤0时，ex－a＞0，令f'(x)＞0，得x＞ln 2；令f'(x)＜0，得x＜ln 2， 所以f(x)在上单调递增，在(－∞，ln 2)上单调递减. 当a＝2时，f'(x)＝≥0，所以f(x)在上单调递增. 当a＞2时，令f'(x)＞0，得x＞ln a或x＜ln 2；令f'(x)＜0，得ln 2＜x＜ln a， 所以f(x)在，上单调递增，在上单调 递减. 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 1 9 当0＜a＜2时，令f'(x)＞0，得x＞ln 2或x＜ln a；令f'(x)＜0，得ln a＜x＜ln 2， 所以f(x)在，上单调递增，在上单调递减. 综上，当a≤0时，f(x)在上单调递增，在上单调 递减； 当0＜a＜2时，f(x)在，(ln 2，＋∞)上单调递增，在上单调递减； 当a＝2时，f(x)在上单调递增； 当a＞2时，f(x)在，上单调递增，在上单调递减. 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 1 9 13.(15分)(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝(＋a)ln(1＋x)． (1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； 解：当a＝－1时，f(x)＝ln(x＋1)(x＞－1)， 则f'(x)＝－×ln(x＋1)＋×， 据此可得f(1)＝0，f′(1)＝－ln 2， 所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为 y－0＝－ln 2(x－1)，即(ln 2)x＋y－ln 2＝0. 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 1 9 (2)若函数f(x)在(0，＋∞)单调递增，求a的取值范围． 解：由函数的解析式可得f'(x)＝ln (x＋1)＋×(x＞－1)， 满足题意时f′(x)≥0在区间(0，＋∞)上恒成立． 令ln (x＋1)＋≥0， 则－(x＋1)ln (x＋1)＋(x＋ax2)≥0， 令g(x)＝ax2＋x－(x＋1)ln (x＋1)，原问题等价于g(x)≥0在区间(0，＋∞)上恒成立， 则g′(x)＝2ax－ln (x＋1)， 当a≤0时，由于x＞0时，2ax≤0，ln (x＋1)＞0，故g′(x)＜0，g(x)在区间(0，＋∞)上单调递减， 此时g(x)＜g(0)＝0，不合题意； 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 1 9 令h(x)＝g′(x)＝2ax－ln (x＋1)， 则h′(x)＝2a－， 当a≥，2a≥1时，由于x＞0时，＜1， 所以h′(x)＞0，h(x)在区间(0，＋∞)上单调递增， 即g′(x)在区间(0，＋∞)上单调递增， 所以g′(x)＞g′(0)＝0，g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，g(x)＞g(0)＝0，满足题意． 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 1 9 当0＜a＜时，由h'(x)＝2a－＝0，可得x＝－1， 当x∈时，h'(x)＜0，h(x)在区间上单调递减，即g'(x)单调递减， 注意到g'(0)＝0，故当x∈时， g'(x)＜g'(0)＝0，g(x)单调递减， 由于g(0)＝0，故当x∈时， g(x)＜g(0)＝0，不合题意. 综上可知，实数a的取值范围是. 返回 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 1 9 谢 谢 观 看 第18讲　导数与函数的单调性 $