第2章 培优进阶1 函数性质的综合应用(高考超重点)(课件PPT)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数性质的综合应用”核心考点，覆盖奇偶性、单调性、周期性、对称性等高考超重点内容，对接高考评价体系，分析选填高频题型，归纳比较大小、解不等式、求值等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题典例+规律方法+分层测评”的实战策略，如典例1结合奇函数单调性解抽象不等式，培养学生逻辑推理与数学思维素养。规律方法总结性质转化技巧，帮助学生掌握解题思路，教师可据此系统组织复习，提升高考冲刺效率。

培优进阶1 函数性质的综合应用(高考超重点) 高三总复习讲义 北师大版 第二章　函数与基本初等函数 　　函数性质综合应用为高考热点，多以选填形式呈现，借抽象推导、性质迁移并结合图象分析，考查逻辑推理、转化与数形结合能力． 题型一　函数的奇偶性与单调性 √ (1)(2026·河南驻马店模拟)已知f(x)为定义在上的奇函数，若f(x)在上单调递减，则满足不等式f＋f＞0的实数a的取值范围是 A． B． C．⋃ D．⋃ 典例1 因为f(x)是奇函数，则f＋f＞0可化为f＞－f＝f.又f(x)在上单调递减且f(x)是定义在上的奇函数，所以f(x)在上单调递减.则解得－＜a＜－1或2＜a＜.故选C. √ (2)(2025·山东日照一模)定义在R上的函数y＝f(x)满足以下条件：①f(－x)－f(x)＝0；②对任意x1，x2∈，当x1≠x2时都有＞0.则 f，f，f的大小关系是 A．f＞f＞f B．f＞f＞f C．f＜f＜f D．f＜f＜f 因为定义在R上的函数y＝f(x)满足条件f(－x)－f(x)＝0，所以函数f(x)是偶函数.对任意x1，x2∈，当x1≠x2时都有＞0，所以不妨设x1＞x2，则有f(x1)－f(x2)＞0⇒f(x1)＞f(x2)，因此x∈时，函数f(x)是增函数.因为函数f(x)是偶函数，所以f＝f，f＝f.因为x∈时，函数f(x)是增函数，所以f＞f＞f，即f＞f＞f.故选A. √ (3)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x1，x2∈且x1≠x2时，都有＞0成立，f＝2 026，则不等式f(x)－x＞0的解集为 A．⋃ B．⋃ C． D． 由＞0可得＞0.设函数g(x)＝，x∈，则g(x)在上单调递增.又因为f(x)为定义在R上的奇函数，g(－x)＝＝g(x)，所以g(x)为偶函数，g(x)在上单调递减.而不等式f(x)－x＞0⇔又因为f＝2 026，所以g＝g＝1，所以不等式的解集为∪.故选B. 综合应用函数奇偶性与单调性解题的技巧 1.比较函数值的大小问题：可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小． 2.抽象函数不等式的求解：首先利用奇偶性变形为f(x1)＞f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式求解． 注意　熟练掌握偶函数性质f(x)＝f(|x|)的应用． 规律方法 √ 对点练1.已知函数f(x)＝＋3x＋3，且f(a2)＋f(3a－4)＞6，则实数a的取值范围是 A．(－4，1) B．(－3，2) C．(0，5) D．(－∞，－4)⋃(1，＋∞) 令g(x)＝＋3x，则有g(x)＝f(x)－3.因为x∈R，g(x)＋g(－x)＝＋3x＋－3x＝＋＝0，所以g(x)为奇函数.又因为g(x)＝1－＋3x，由复合函数的单调性知g(x)为R上的增函数.因为f(a2)＋f(3a－4)＞6，则f(a2)－3＋f(3a－4)－3＞0，所以g(a2)＋g(3a－4)＞0，g(a2)＞－g(3a－4)＝g(4－3a)，所以a2＞4－3a，解得a＜－4或a＞1.故选D. √ 对点练2.(多选)(2026·浙江杭州模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在上单调递增，则 A．f＜f B．f＜f C．g＜g D．g＜g √ √ 因为f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在上单调递增，所以f(1)＜f(2)，g(2)＞g(1)＞g(0)＝0，f(x)在上单调递减，g(x)在R上单调递增.对于A，因为f，f的正负无法确定，若f(1)＜f(2)＜0，则f＞f，故A错误；对于B，由g(2)＞g(1)＞g(0)＝0，f(x)在上单调递增，则f＜f，故B正确；对于C，由f(1)＜f(2)，g(x)在R上单调递增，则g＜g，故C正确；对于D，由g(1)＜g(2)，g(x)在R上单调递增，则g＜g，故D正确.故选BCD. √ 教师备选 若定义在R上的偶函数f(x)在上单调递增，则f，f，f(e－2)的大小关系为 A．f＞f＞f B．f＞f＞f C．f＞f＞f D．f＞f＞f 因为f(x)是定义在R上偶函数，所以f＝f＝f.因为＜＝，所以0＜e－2＜＜ln.因为f(x)在上单调递增，所以f＞f＞f.故选A. 题型二　函数的奇偶性与周期性 √ (1)(2026·山东威海模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)＝ －f，若f＝2，则f＝ A．0 B．2 C．8 D．10 典例2 因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x).因为f(x)＝－f，所以f＝－f，f＝－f，则f＋f＋f＋f＝0.令x＝－1得，f＝－f，即f＝－f，所以f＝0，f＝－f＝－[－f(x)]＝f(x)，所以4为函数f(x)的一个周期.所以f(i)＝f＋f＋4[f＋f＋f＋f(4)]＝2.故选B. (2)(2026·黑龙江齐齐哈尔模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f＝－f(x)且在区间上是增函数，则f，f，f的大小关系为______________________．(用符号“＜”连接) f＜f＜f 因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，又f(x)在区间上单调递增，故f(x)在区间上单调递增.又f＝－f(x)，故函数f(x)的周期T＝8，故f＝f＝f，f＝f＝f＝－f＝f，f＝f＝f(0).根据函数的单调性可得f＜f(0)＜f，即f＜f＜f. 奇偶性与周期性综合问题的解题策略 　　求值问题常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． 规律方法 √ 对点练3.(2026·重庆模拟)已知函数f(x)的定义域为R，若f为偶函数，f为奇函数，则下列式子中一定是定值的为 A．f B．f C．f D．f 因为f(x－1)为偶函数，可得f(－x－1)＝f(x－1)，也就是f(－x)＝f(x－2)．因为f(x＋1)为奇函数，可得f(－x＋1)＝－f(x＋1)，也就是f(－x)＝ －f(x＋2)．令x＝0，代入f(－x＋1)＝－f(x＋1)，可得f(1)＝－f(1)，所以f(1)＝0.由f(－x)＝f(x－2)和f(－x)＝－f(x＋2)，可得f(x－2)＝－f(x＋2)．则f((x＋2)－2)＝－f((x＋2)＋2)，即f(x)＝－f(x＋4)．则f(x＋4)＝－f(x＋4＋4)＝－f(x＋8)．又因为f(x)＝－f(x＋4)，所以f(x)＝f(x＋8)，所以函数f(x)的一个周期是8.因为2 025＝253×8＋1，可得f(2 025)＝f(253×8＋1)＝f(1)，又因为前面已求得f(1)＝0，所以f(2 025)＝0.故选C． 题型三　函数的奇偶性与对称性 √ (多选)已知定义域是R的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，且f(1－x)＝f(1＋x)，则下列结论一定正确的是 A．f(x＋2)＝f(x) B．函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称 C．函数y＝f(x＋1)是偶函数 D．f(2－x)＝f(x－1) 典例3 √ 对于A，因为f(－x)＋f(x)＝0，且f(1－x)＝f(1＋x)，则f(1－(1＋x))＝f(1＋(1＋x))，即f(－x)＝f(x＋2)，则f(x＋2)＝－f(x)，故A错误；对于B，因为f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．因为f(－x)＋f(x)＝0，则f(－(2＋x))＋f(2＋x)＝0，即f(2＋x)＝－f(－2－x)＝－f(2－x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0，故函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称，故B正确；对于C，因为f(1－x)＝f(1＋x)，故函数y＝f(x＋1)是偶函数，故C正确；对于D，因为f(1－x)＝f(1＋x)，则f(1－(x－1))＝f(1＋(x－1))，即f(2－x)＝f(x)，没有条件能说明f(x)＝f(x－1)，故D错误．故选BC． 函数的奇偶性与对称性综合问题的解题策略 1.由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等． 2.注意如下表达式的区别： (1)若函数y＝f(x)为奇函数(或偶函数)，则函数y＝f(x＋a)的图象关于点(－a，0)对称(或关于x＝－a对称)． (2)若f为偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x＝b对称；若f为奇函数，则函数f(x)的图象关于点(b，0)对称. 规律方法 √ 对点练4.已知f(x)是定义在R上的偶函数，则下列函数的图象一定关于点(－1，0)成中心对称的是 A．y＝(x－1)f(x－1) B．y＝(x＋1)f(x＋1) C．y＝xf(x)＋1 D．y＝xf(x)－1 构造函数g(x)＝xf(x)，该函数的定义域是R，所以g(－x)＝－xf(－x)＝ －xf(x)＝－g(x)，函数g(x)为奇函数，故函数g(x)图象的对称中心为坐标原点．对于A，函数y＝(x－1)f(x－1)的图象由函数g(x)的图象向右平移1个单位长度得到，故函数y＝(x－1)f(x－1)图象的对称中心为(1，0)；对于B，函数y＝(x＋1)f(x＋1)的图象由函数g(x)的图象向左平移1个单位长度得到，故函数y＝(x＋1)f(x＋1)图象的对称中心为(－1，0)；对于C，函数y＝xf(x)＋1的图象由函数g(x)的图象向上平移1个单位长度得到，故函数y＝xf(x)＋1图象的对称中心为(0，1)；对于D，函数y＝xf(x)－1的图象由函数g(x)的图象向下平移1个单位长度得到，故函数y＝xf(x)－1图象的对称中心为(0，－1)．故选B． √ 对点练5.(多选)已知y＝f是定义在R上的奇函数，且f＝f，当x∈时，f(x)＝2x＋x2，则 A．f(x)图象的一个对称中心为点 B．f＝ C．f(x)的一个周期为12 D．f＝1 √ 对于A、B，因为f是定义在R上的奇函数，所以f＝ －f，所以f(－1＋x)＋f＝0，所以f(x)的图象关于点(－1，0)对称，且f＝0，故A正确，B不正确；对于C，因为f＝f，所以f＝f(－1－x)＝－f，所以f＝－f(x)，所以f(x＋12)＝f(x)，故C正确；对于D，因为当x∈(－1，2]时，f(x)＝2x＋x2，所以f＝f(12×168＋10)＝f＝f＝－f＝－1，故D不正确.故选AC. (多选)已知f(x)的定义域是R，其函数图象关于直线x＝－3对称，且f(x＋3)＝f(x－3)，若当x∈［0，3］时，f(x)＝4x＋2x－11，则下列结论正确的是 A．f(x)为偶函数 B．f(x)在［－6，－3］上单调递减 C．f(x)关于x＝3对称 D．f(100)＝9 题型四　函数的周期性与对称性 典例4 √ √ √ f(x)的图象关于x＝－3对称，则f(－x)＝f(x－6)．又f(x＋3)＝f(x－3)，则f(x)的一个周期T＝6，所以f(－x)＝f(x－6)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故A正确；当x∈［0，3］时，f(x)＝4x＋2x－11单调递增，因为T＝6，故f(x)在［－6，－3］上也单调递增，故B不正确；f(x)关于x＝－3对称且T＝6，所以f(x)关于x＝3对称，故C正确；f(100)＝f(16×6＋4)＝f(4)＝f(2)＝9，故D正确．故选ACD． 综合应用函数对称性与周期性解题的技巧 　　函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆． 规律方法 √ 对点练6.已知定义在实数集上的函数f(x)满足以下条件：①f(1＋x)＝f(1－x)；②f(3＋x)＋f(3－x)＝0；③f(5)＝1.则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 025)＝ A．－1 B．0 C．1 D．2 由①f(1＋x)＝f(1－x)可得f(x)＝f，由②f(3＋x)＋f(3－x)＝0可得f(x)＝－f，因此f(x)＝f＝－f＝f，所以f(x)的一个周期为8，f(1)＋f(2)＋f＋f(4)＋f＋f＋f＋f＝f(1)＋f(2)＋f＋f(4)＋f＋f＋f＋f(0)＝＋＋[f(6)＋f(0)]＋f＋f＝f＋f＝2f，由于f＝0，f＋f＋…＋f＝f＋253[f＋f＋f＋f＋f＋f＋f＋f]＝－f＝－1.故选A. 课 时 分 层 测 评 1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，周期为4，且f(1)＝1，则f(2 024)＋f(2 025)＋f(2 026)＝ A．1 B．2 C．0 D．－1 √ 因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，f(－x)＝－f(x)，由函数f(x)的周期为4，得f(x＋4)＝f(x)，所以f(－2)＝f(2)＝－f(－2)，则f(－2)＝f(2)＝0.又f(1)＝1，所以f(2 024)＋f(2 025)＋f(2 026)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝0＋1＋0＝1.故选A． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 2.定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)，若f(x)在区间［1，2］上单调递减，则函数f(x) A．在区间［0，1］上单调递增，在区间［－2，－1］上单调递减 B．在区间［0，1］上单调递增，在区间［－2，－1］上单调递增 C．在区间［0，1］上单调递减，在区间［－2，－1］上单调递减 D．在区间［0，1］上单调递减，在区间［－2，－1］上单调递增 √ 因为f(x)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称．因为f(x)在区间［1，2］上单调递减，所以f(x)在区间［0，1］上单调递增，又因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)，所以f(2－x)＝f(－x)，所以f(x)是周期为2的函数，所以f(x)在区间［－2，－1］上也单调递增．故选B． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 √ 3.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(2－x)＝－f(x)，且当1≤x≤2时，f(x)＝x－1，则f＝ A． B． C． D．－ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x).又因为f(2－x)＝－f(x)，所以f(2－x)＝－f(－x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f＝f＝f＝f＝－f＝－f＝－. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 √ 4.(2025·陕西渭南模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)，g(x)在［0，＋∞)上单调递减，则 A．f(f(x))是偶函数 B．f(g(x))是奇函数 C．f＜f D．g＞g 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 由f＝f＝－f(f(x))，且定义域(全体实数)关于原点对称，得f(f(x))是奇函数，由f＝f(g(x))，且定义域(全体实数)关于原点对称，得f(g(x))为偶函数，故A、B均错误；由题易知函数f(x)在R上单调递减，函数g(x)在(－∞，0)上单调递增，由－1＞－2，得f(－1)＜ f(－2)，从而f＞f，即C错误；由0＝f(0)＜f(－1)＜f(－2)，得＜f(－2)，从而g＞g，即D正确.故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 √ 5.已知定义在R上的函数f(x)满足f＋f(x)＝0，且y＝f为偶函数，则下列说法正确的是 A．函数f(x)的周期为2 B．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称 C．函数f(x)为奇函数 D．函数f(x)的图象关于点对称 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 对于A，由f(x＋2)＋f(x)＝0，得f(x＋4)＋f(x＋2)＝0，则f(x＋4)＝f(x)，函数f(x)的周期为4，取f(x)＝cos，则f＋f(x)＝cos(＋π)＋cos＝0，y＝f＝cos＝－cos为偶函数，而f(x)＝cos最小正周期为4，故A错误；对于B，由y＝f(2－x)为偶函数，得f(2－x)＝f，故f(2－x)＋f(x)＝0，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称且关于点(1，0)对称，故B错误；对于C，由选项B知，f(－x)＝f(4＋x)＝f(x)，则函数f(x)为偶函数，故C错误；对于D，由f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＋f(x)＝0，得f(x＋2)＋f(－x)＝0，则f(x＋6)＋f(－x)＝0，函数f(x)的图象关于点(3，0)对称，故D正确.故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 √ 6.(2026·山东滨州模拟)已知定义域为R的函数f(x)为偶函数，f为奇函数，且当x∈时，f(x)＝2x－2，则 A．f＝f(x) B．f＝ C．f＞0 D．f＜0 依题意，知f(x)＝f(－x)，f＝－f(x＋1)，所以f＝－f，即f(－x)＝－f，因此f(x)＝－f，即f＝－f，所以可得f(x)＝f，即f(x)是以4为周期的周期函数. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 对于A，由分析可知f(x)＝－f，故A错误；对于B，由f(x)＝ －f，可知f＝－f＝－f；显然log2∈，所以f(log2)＝－2＝－2＝－，所以f＝ －f(log2)＝，故B正确；对于C，易知f＝f(＋4×253)＝f＝－2＜0，故C错误；对于D，显然f＝f＝21－2＝0，故D错误.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 7.(多选)已知函数f(x)对任意的x∈R都有f＝－f(x)，函数f的图象关于直线x＝－1对称，且对任意的x1，x2∈(0，2)，x1≠x2，都有＞0.则下列结论正确的是 A．f(x)是偶函数 B．f＝0 C．f＞f D．f(x)的图象关于点对称 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 对于A，因为函数f(x)对任意的x∈R都有f＝－f(x)，所以f＝f＝－f＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数.因为函数f的图象关于直线x＝－1对称，所以f(x)的图象关于直线x＝0对称，所以f(x)是偶函数，故A正确；对于B，由f＝－f(x)且f(x)是以4为周期的偶函数，以x－1替换x，得f＝－f＝－f，则f＝－f，所以f＝0，所以f＝f＝f＝f＝f＝0，故B正确； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 对于C，因为对任意的x1，x2∈，x1≠x2，都有＞0，所以f(x)在区间上单调递增.又因为f＝f＝f，f＝f＝f＝f，且0＜＜＜2，所以f＜f，即f＜f，故C错误；对于D，由选项B知f＝－f＝－f，所以f(x)的图象关于点对称，故D正确.故选ABD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 8.(多选)(2026·广东深圳模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f＋f(x)＝0，且y＝f为偶函数，则下列结论正确的是 A．函数f(x)的周期为2 B．函数f(x)的图象关于x＝2对称 C．函数f(x)的图象关于对称 D．函数f(x)为奇函数 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 对于A，f＋f(x)＝0⇒f＝－f(x)⇒f＝－f＝f(x)，即函数f(x)的周期为4，故A错误；对于B，因为y＝f是偶函数，则有f＝f，即函数f(x)的图象关于x＝2对称，故B正确；对于C，因为f＝f＝－f(x)，则f＋f(x)＝0，所以函数f(x)的图象关于对称，故C正确；对于D，因为f＝f，则f(－x)＝f＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故D错误.故选BC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 9.已知函数f(x)＝若f≥8f(a)，则实数a的取值范围是 _____________________． (－∞，］⋃［1，＋∞) 依题意，得函数f(x)为偶函数，且当x＜0时函数单调递减，当x≥0时函数单调递增．原不等式可化为f≥f，所以|3a－1|≥|2a|，两边平方整理得5a2－6a＋1≥0，解得a≤或a≥1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 10.(开放题)(2026·广东茂名模拟)已知函数f(x)在R上单调递增，函数g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＋g(x)＝x，则g(x)可以是______________ ______________．(写出一个满足条件的函数即可) g(x)＝x－x3 (答案不唯一) 依题意只要函数f(x)是R上单调递增的奇函数即可符合题意，所以可令f(x)＝x3，即g(x)可以是g(x)＝x－x3，(答案不唯一)． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 11.(2026·江西南昌模拟)已知函数f(x)＝2 026x－2 026－x，若关于x的不等式f＋f(a)＜0恒成立，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 因为y＝2 026x，y＝－2 026－x在R上单调递增，所以f(x)＝2 026x－2 026－x在R上单调递增.又f(－x)＝2 026－x－2 026x＝－(2 026x－2 026－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数.由f(－x－1)＋f＜0恒成立，即f＜－f(－x－1)＝f恒成立，所以a＜x＋1对于任意x≥0恒成立，当x ＝0时a∈R；当x＞0时a＜＝＋.又＋≥2＝2，当且仅当＝，即x＝1时取等号，所以(＋)min＝2，所以a＜2.故 选A. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 12.(多选)(2026·河北石家庄模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f是定义在R上的奇函数，则 A．f(x)的图象关于点中心对称 B．f(x)是周期为2的函数 C．f＝0 D．f＝0 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 对于A，因为y＝f是R上的奇函数，其图象关于原点对称.又y＝f可看成是函数y＝f(x)向左平移1个单位得到，所以f(x)的图象关于点中心对称，故A正确；对于B，由y＝f是R上的奇函数，可得f＝－f，即f(－x)＝－f.又f(－x)＝f(x)，则f＝ －f(x)，所以f＝－f＝f(x)，故f(x)是周期为4的函数，故B错误；对于C，由f(－x)＝－f，令x＝－1，得f＝－f，则f＝0，所以f(2 027)＝f＝f＝f＝f＝0，故C正确；对于D，由f＋f(x)＝0，则f＋f＝0.又f＝f＝0，f(x)是周期为4的函数，则f＝4[f＋f＋f＋f]＋f＋f＋f＝f，而f的值无法确定，故D错误.故选AC. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 13.(2026·河南南阳模拟)已知定义在R上的函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且f(x)满足f(x)＝f，f(x)在区间上单调递减，f＋f(0)＝0，则关于x的不等式＜0的解集为__________________． ⋃ 由f(x)＝f得f(x)的图象关于直线x＝2对称.又f(0)＝f，得f＋f(0)＝2f(4)＝0，解得f＝f(0)＝0.由f(x)在上单调递减，可知f(x)在上单调递增， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 画出f(x)的大致图象如图所示，结合图象及＜0可得 或解得0＜x＜2或x＞4，不等式＜0的解集为(0，2)∪(4，＋∞). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 14.已知函数f(x)满足f(x＋2)是偶函数，若函数y＝|x2－4x－5|与函数y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则横坐标之和x1＋x2＋…＋xn＝_____． 2n 因为f(x＋2)是偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称．因为y＝|x2－4x－5|＝|(x－2)2－9|，所以函数y＝|x2－4x－5|的图象也关于直线x＝2对称，所以x1＋x2＋…＋xn＝·4＝2n． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 15.(多选)已知函数f(x)＝ex－e－x＋sin 2x＋2，则下列结论正确的是 A．f(x)的图象关于点(0，2)对称 B．f(x)在R上单调递减 C．若f(x2)＋f(x)＜4，则实数x的取值范围是(－1，0) D．若实数a，b满足f(a2)＋f(2b2－2)＝4，则2a＋b的取值范围是［－3，3］ √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 对于A，设函数g(x)＝ex－e－x＋sin 2x，其定义域是R，关于原点对称，那么函数g(－x)＝e－x－ex＋sin (－2x)＝－(ex－e－x＋sin 2x)＝－g(x)，因此函数g(x)是奇函数，而函数f(x)＝g(x)＋2，y＝g(x)的图象向上平移2个单位得到y＝f(x)的图象，因此函数f(x)的图象关于点(0，2)对称，故A正确；对于B，对函数f(x)＝ex－e－x＋sin 2x＋2求导可得f′(x)＝ex＋e－x＋2cos 2x，其中ex＋e－x≥2＝2，当且仅当ex＝e－x，即x＝0时等号成立，此时cos 0＝1，因此导函数f′(x)＝ex＋e－x＋2cos 2x＞0恒成立，因此函数f(x)在R上单调递增，故B错误； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 对于C，由于函数f(x)的图象关于点(0，2)对称，因此f(x)＋f(－x)＝4.那么不等式f(x2)＋f(x)＜4可化为f(x2)＜4－f(x)＝f(－x)．又函数f(x)在R上单调递增，因此x2＜－x，解得－1＜x＜0，故C正确；对于D，由于f(x)＋f(－x)＝4，f(a2)＋f(2b2－2)＝4，因此可得a2＋2b2－2＝0，即a2＋2b2＝2.设a＝cos θ，b＝sin θ，则2a＋b＝2cos θ＋sin θ＝3sin (θ＋φ)(其中tan φ＝2)，所以－3≤2a＋b≤3，故D正确．故选ACD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 16.(多选)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)的图象是一条连续不断的曲线，对∀x，y∈R都有：①f＝f(x)，②当0＜x＜y＜1时，＞0，③当xy≠1时，f(x)＋f＝f，则 A．f为偶函数 B．f(x)为奇函数 C．f(x)在上单调递增 D．f＞f √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 由f＝f(x)，可知曲线y＝f(x)关于直线x＝1对称，所以f为偶函数．由已知当xy≠1时，f(x)＋f＝f，令x＝y＝0，可得f(0)＋f(0)＝f(0)，则f(0)＝0，令y＝－x，可得f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，即函数f(x)为奇函数，即函数关于中心对称，故A错误，B正确；设0＜x1＜x2＜1，则＞0，即f(x2)＞f(x1)，所以f(x)在上单调递增，则f(x)在上单调递增．又f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且f(0)＝0，所以f(x)在上单调递增，故C正确； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 由f＝f(x)，f(x)＝－f(－x)，得f＝－f(－x)，则f＝ －f(x)，所以f＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是以4为一个周期的周期函数，所以f＝f＝f＝f，f＝f＝f＝f，易知f(x)在上单调递减，且1＜＜3，所以f()＞f，故D正确．故选BCD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 谢 谢 观 看 培优进阶1 函数性质的综合应用(高考超重点) $