第2章 第15讲 方程解的存在性及方程的近似解(课件PPT)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

该高中数学高考复习课件聚焦“方程解的存在性及方程的近似解”专题，依据课程标准梳理了函数零点与方程解的关系、零点存在定理、二分法求近似解三大核心考点，对接高考评价体系分析考点权重，其中零点个数判断和参数范围应用占比超60%，归纳出选择、填空、解答等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题演练+方法建模+素养提升”策略，融入2025天津卷等高考真题，通过典例1用定理法与图象法突破零点个数判断，培养学生数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念）。特设规律方法总结和易错警示，助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，实现高效冲刺。

第15讲　方程解的存在性及方程的近似解 高三总复习讲义 北师大版 第二章　函数与基本初等函数 课程标准 1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系． 2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理． 3.探索用二分法求方程近似解的思路，能借助计算工具用二分法 求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性． 03 课时分层测评 02 考点探究　提升能力 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.函数的零点 (1)定义：使得__________的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的______． (2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系： f(x0)＝0 零点 x轴 f(x)＝0 (3)零点存在定理 若函数y＝f(x)在闭区间［a，b］上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即____________，则在开区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)＝0至少有一个解． f(a)·f(b)＜0 微提醒(1)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)＝0的实根．零点一定在定义域内．(2)零点存在定理只能判定零点存在，不能确定零点个数．若函数y＝f(x)在某区间上是单调函数，又满足零点存在定理，则该函数在该区间上有唯一一个零点．(3)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间［a，b］上有零点不一定能推出f(a)f(b)＜0，如图所示． 　 2.二分法 对于一般的函数y＝f(x)，x∈［a，b］，若函数y＝f(x)的图象是一条连续的曲线，_____________，则每次取区间的______，将区间__________，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法． f(a)·f(b)＜0 中点 一分为二 常用结论 1.若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点． 2.连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． 3.f(a)f(b)＜0是y＝f(x)在闭区间［a，b］上有零点的充分不必要条件． 4.(1)周期函数若存在零点，则必有无穷多个零点． (2)奇偶函数若存在非零零点，则成对出现且互为相反数． √ √ √ 自测诊断 1.(多选)若函数y＝f(x)在区间［a，b］上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法中错误的有 A．若f(a)f(b)＞0，则不存在实数c∈［a，b］，使得f(c)＝0 B．若f(a)f(b)＜0，则存在且只存在一个实数c∈［a，b］，使得f(c)＝0 C．若f(a)f(b)＞0，则可能存在实数c∈［a，b］，使得f(c)＝0 D．若f(a)f(b)＜0，则可能不存在实数c∈［a，b］，使得f(c)＝0 取f(x)＝x2－1，区间取为[－2，2]，满足f(－2)f(2)＞0，但是f(x)在[－2，2]内存在两个零点－1，1，故A错误，C正确；取f(x)＝sin x，区间取为［，］，满足f()f()＝×(－)＝－＜0，但是f(x)在［，］内存在三个零点π，2π，3π，故B错误；根据零点存在定理可知，故D错误.故选ABD. 2.(链接北师必修一P132练习T1)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是 √ 根据二分法的概念可知二分法只能求变号零点，观察选项A中的函数图象可知该函数没有变号零点，观察选项B、C、D中的函数图象可知对应的函数都存在变号零点，所以选项A中函数不能用二分法求零点．故 选A． 3.(链接北师必修一P132练习T3)函数f(x)＝2x＋ln x－1的零点所在的区间为 A． B． C． D． √ 因为y＝2x与y＝ln x－1均在定义域上单调递增，所以f(x)＝2x＋ln x－1在上单调递增.又f＝＋ln －1＝－1－ln 2，因为－1＜，ln 2＞ln＝，所以f＝－1－ln 2＜0.又因为f＝2＋ln 1－1＝1＞0，所以函数f(x)的零点所在区间是.故选B. 4.函数f(x)＝lg x＋lg－1的零点为___． 5 令f(x)＝0，得lg＝lg 10，所以x＝10，解得x＝5或x＝ －2(舍去)． 返回 考点探究　提升能力 返回 考点一　函数零点所在区间的判断 自主练透 √ 1.根据表格中的数据可以判定方程ln x－x＋2＝0的一个根所在的区间为 A．(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(4，5) x 1 2 3 4 5 ln x 0 0.693 1.099 1.386 1.609 x－2 －1 0 1 2 3 设f(x)＝ln x－x＋2＝ln x－(x－2)，易知函数f(x)在(1，＋∞)上的图象连续．由表格数据得f(1)＞0，f(2)＞0，f(3)＝ln 3－(3－2)＝1.099－1＝0.099＞0，f(4)＝ln 4－2＝1.386－2＜0，f(5)＜0，则f(3)·f(4)＜0，即在区间(3，4)上，函数f(x)存在一个零点，即方程ln x－x＋2＝0的一个根所在的区间为(3，4)．故选C． x 1 2 3 4 5 ln x 0 0.693 1.099 1.386 1.609 x－2 －1 0 1 2 3 √ 2.(2025·天津卷)函数f(x)＝0.3x－的零点所在区间是 A．(0，0.3) B．(0.3，0.5) C．(0.5，1) D．(1，2) 易知f(x)单调递减.又f(0)＝1＞0，f(0.3)＝0.30.3－＝0.30.3－0.30.5＞0，f＝0.30.5－＝－＜0，所以f(x)的零点所在区间是.故选B. √ 3.已知函数f(x)＝x3－3x＋1在区间(0，1)内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过3次二分法后确定的零点所在区间是 A．(，) B．(，) C．(，) D．(，) 由＝，且f(0)＝1，f()＝－，f(0)·f()＜0，得f(x)在(0，)内有零点；由＝，且f()＝，f()·f()＜0，得f(x)在(，)内有零点；由＝，f()＝－，f()·f()＜0，得f(x)在(，)内有零点；所以经过3次二分法后确定的零点所在区间是(，).故选B. √ 4.已知函数f(x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(m，m＋1)(m∈Z)上，则m 等于 A．－2 B．－1 C．0 D．1 因为函数f(x)＝e－x－2x－5是连续减函数，f(－2)＝e2－1＞0，f(－1)＝e－3＜0，所以f(－2)·f(－1)＜0.所以函数f(x)＝e－x－2x－5的零点位于区间(－2，－1)，即(m，m＋1)上．又m∈Z，所以m＝－2．故选A． 判断函数零点所在区间的两种常用方法 1.函数零点存在定理法：若函数f(x)在区间［a，b］上连续，且f(a)·f(b)＜0，则y＝f(x)在区间［a，b］内必有零点． 2.数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 规律方法 考点二　函数零点个数的判断 师生共研 典例1 √ (1)(一题多解)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 法一(定理法)：因为f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1＜0，且函数在定义域上单调递增且连续，所以函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点．故选B． 法二(图象法)：设y1＝2x，y2＝2－x3，在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，在区间(0，1)内，两图象的交点个数即为f(x)的零点个数．故函数f(x)在区间(0，1)内有且只有1个零点．故选B． √ (2)(2026·湖南长沙模拟)已知函数f(x)＝则方程f(x)＝－x＋的根的个数为 A．2 B．3 C．4 D．5 当x≥0时，f(x)＝f，故2是f(x)的一个周期，又0≤x＜2时，－2≤x－2＜0，则f(x)＝f＝ex－2，作出函数f(x)和g(x)＝－x＋的函数图象，如图所示.因为f＝f(0)＝f＝e－2＜g＝，f＝f＝e－2＞g＝0，结合图象可知，f(x)和g(x)的函数图象交点个数为3.故选B. √ (3)已知函数f(x)在R上满足f(2＋x)＝f(2－x)，f(7＋x)＝f(7－x)，且在区间［0，7］上只有x＝1和x＝3两个零点，则f(x)＝0在区间［0，2 025］上根的个数为 A．404 B．405 C．406 D．203 因为f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)关于直线x＝2对称，且f(7＋x)＝f(－3－x)，又f(7＋x)＝f(7－x)，故可得f(－3－x)＝f(7－x)，则f(x)＝f(x＋10)，故f(x)是以10为周期的函数．又f(x)在区间［0，7］上只有x＝1和x＝3两个零点，根据函数对称性可知，f(x)在一个周期［0，10］内也只有两个零点，又区间［0，2 020］内包含202个周期，故f(x)在［0，2 020］上的零点个数为202×2＝404，又f(x)在(2 020，2 025］上的零点个数与在(0，5］上的零点个数相同，有2个，故f(x)在［0，2 025］上有406个零点，即f(x)＝0在区间［0，2 025］上有406个根．故选C． 函数零点个数的判断方法 1.直接法：令f(x)＝0，有几个解就有几个零点． 2.定理法：首先确定函数f(x)在区间［a，b］上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)＜0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数． 3.图象法：将原函数分成两个函数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数． 规律方法 √ 对点练1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，当x∈［0，1］时，f(x)＝2x－1，则方程f(x)＝|log9x|的实根的个数为 A．3 B．4 C．5 D．6 由奇函数可知f(2－x)＝f(x)＝－f(－x)，即f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则f(x)是周期为4的周期函数．又由f(2－x)＝f(x)，得f(x)的图象关于直线x＝1对称，作出函数y＝|log9x|与函数y＝f(x)的大致图象，如图所示．结合图象可知，共有5个交点，即方程实根的个数为5. 对点练2.函数f(x)＝·cos x的零点个数为___． 6 令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，所以f(x)的定义域是［－6，6］．令f(x)＝0得36－x2＝0或cos x＝0.由36－x2＝0得x＝±6.由cos x＝0得x＝＋kπ，k∈Z．又x∈［－6，6］，所以x的取值为－．故f(x)共有6个零点． 教师备选 已知函数f(x)满足f＝f，且f(x)＝则方程2f(x)＝x的实数解的个数为___． 4 由函数f(x)满足f＝f＝f(x)，所以f(x)的周期为4.由f(x)＝ f＝f(0)＝2sin 0＝0， 可得函数f(x)的图象，如图所示．方程2f(x)＝x的解，即为f(x)与y＝x的交点横坐标．当x＞4时，y＝x＞2，此时f(x)与y＝x无交点，当x＜－4时，y＝x＜－2，此时f(x)与y＝x无交点，由图可知两图象交点个数为4，即方程2f(x)＝x的实数解的个数为4. 考点三　函数零点的应用 多维探究 典例2 √ 角度1　根据函数的零点个数求参数的取值范围 (1)(2025·广西柳州模拟)已知函数f(x)＝若方程f(x)＝k的实数解恰有两个，则实数k的取值范围是 A．k≤－4 B．－4＜k＜－3 C．k＝－4或k＞－3 D．k＝－4或k≥－3 当x≤0时，函数f(x)＝x2＋2x－3在(－∞，－1］上单 调递减，函数值集合为［－4，＋∞)，在［－1，0］ 上单调递增，函数值集合为［－4，－3］；当x＞0 时，f(x)＝－2＋ln x在(0，＋∞)上单调递增，函数值 集合为R，在直角坐标系内作出函数y＝f(x)的图象与 直线y＝k，由图象知，当k＝－4或k＞－3时，直线y＝k与函数y＝f(x)的图象有两个交点，即方程f(x)＝k有两个实数解．故选C． √ (2)(2025·湖南衡阳模拟)已知a∈R，函数f(x)＝在R上没有零点，则实数a的取值范围是 A． B．⋃ C．⋃ D．⋃ 当x≤0时，0＜ex≤1，若ex＝－a无解，则a≥0或a＜－1；当x＞0时，ln＞0，若ln＝a无解，则a≤0.综上，实数a的取值范围是(－∞，－1)⋃．故选B． √ 角度2　根据函数零点的范围求参数 (1)(2026·河北秦皇岛模拟)设函数f(x)＝ax2－1，g(x)＝cos x－a，若F(x)＝g(x)－f(x)在区间上有且仅有一个零点，则a＝ A．－1 B． C．1 D．2 典例3 由函数f(x)＝ax2－1，g(x)＝cos x－a，可得F(x)＝g(x)－f(x)＝cos x－a－ax2＋1，则F(－x)＝cos (－x)－a－a(－x)2＋1＝cos x－a－ax2＋1＝F(x)，所以函数F(x)是上有且仅有一个零点，所以F(0)＝0，即F(0)＝2－a＝0，解得a＝2.故选D． √ (2)(多选)(2025·福建厦门期末)函数f(x)＝－ln x＋a在区间(1，e)内存在零点的充分条件可以是 A．a＝0 B．－1＜a＜0 C．－1＜a＜1 D．a＜1 √ 因为y＝在区间(1，e)上单调递减，y＝ln x在区间(1，e)上单调递增，所以f(x)＝－ln x＋a在区间(1，e)上单调递减，若函数f(x)在区间内存在零点，则解得－1＜a＜1－，故A、B符合题意，C、D不符合题意.故选AB. √ 角度3　探究函数多个零点(方程根)问题 (多选)已知函数f(x)＝若f(x)＝a有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4，且满足x1＜x2＜x3＜x4，则下列结论正确的是 A．0＜a＜1 B．x1＋2x2∈ C．x1＋x2＋x3＋x4∈ D．2x1＋x2∈ 典例3 √ √ 在同一平面直角坐标系中作出函数y＝f(x)，y＝a的图象，如图所示． 由图象知，若f(x)＝a有四个不同的实数 解，则0＜a＜1，故A正确；因为｜log2x1｜ ＝｜log2x2｜，即－log2x1＝log2x2，则＝ x2，所以x1＋2x2＝＋2x2，1＜x2＜2，因 为y＝＋2x2在(1，2)上单调递增，所以＋2x2∈，故B错误； 因为x1＋x2＝＋x2，1＜x2＜2，y＝＋ x2在(1，2)上单调递增，所以＋x2∈ ，而x3＋x4＝8，所以x1＋x2＋x3＋ x4∈，故C正确；因为2x1＋x2＝ ＋x2，1＜x2＜2，y＝＋x2在(1，)上单调递减，在(，2)上单调递增，则＋x2∈，故D正确.故选ACD. 1.已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围． (2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 规律方法 2.等高线问题 求函数的多个零点(或方程的根以及直线y＝m与函数图象的多个交点横坐标)的和(积)时，实质上是等高线问题，处理策略为： (1)重在“减元”，结合函数图象要充分利用“函数值相等”，树立目标意识，预设“消谁留谁”，利用“函数值相等”的逆向使用，探究出自变量间的等量关系． (2)合理运用函数的对称性是减元的重要途径． 规律方法 √ 对点练3.(2026·陕西西安模拟)若函数f(x)＝lg x＋t在上有零点，则实数t的取值范围是 A． B． C． D． 因为f(x)在上单调递增，所以ff(10)＜0，即t＜0，解得－1＜t＜0.故选D． √ 对点练4.(2026·广东广州模拟)已知函数f(x)＝(a≠0)，若函数g(x)＝f(x)－a恰有2个零点，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 易知当x≤0时，函数y＝ex单调递增，且y＝ex∈；当x＞0时，函数y＝x－，易知y'＝1＋＝，显然当a＞0时，y'＞0恒成立，即y＝x－上单调递增；当x→0时，y→－∞；当x→＋∞时，y→＋∞，此时函数f(x)的图象大致如图①所示. 若函数g(x)＝f(x)－a恰有2个零点，即函数f(x)的图象与 y＝a有两个交点，由上图可知a∈；当a＜0时， 根据对勾函数性质可知y＝x－＝x＋≥2，当且 仅当x＝时，等号成立；此时其图象大致如图② 所示.显然函数f(x)的图象与y＝a没有交点，不合题意； 综上可知，实数a的取值范围是.故选B. 对点练5.已知函数f(x)＝若实数a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是____________． (2，2 027) 画出函数f(x)＝的图象，如图所示， 不妨令a＜b＜c，可知a＋b＝1，而1＜c＜2 026，所以2＜a＋b＋c＜ 2 027. √ 教师备选 (多选)已知函数f(x)＝若x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论正确是 A．x1＋x2＝－4 B．x3x4＝1 C．1＜x4＜4 D．0＜x1x2x3x4≤2 √ 函数f(x)＝的图象，如图所示． 设f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝t，则0＜t＜4，则直线y＝t与函数y＝f(x)图象的4个交点横坐标分别为x1，x2，x3，x4.对于A，函数y＝－x2－4x的图象关于直线x＝－2对称，则x1＋x2＝－4，故A正确；对于B，由图象可知|log2x3|＝|log2x4|，且0＜x3＜1＜x4，所以－log2x3＝log2x4，即log2(x3x4)＝0，所以x3x4＝1，故B正确； 对于C，由图象可知log2x4∈(0，4)，则1＜x4＜16，故C错误；对于D，由图象可知－4＜x1＜－2，当x≤0时，f(x)＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4，所以x1x2x3x4＝x1(－4－x1)＝－－4x1＝－(x1＋2)2＋4＝f(x1)∈(0，4)，故D错误．故选AB． 返回 课 时 分 层 测 评 返回 1.(2026·北京西城模拟)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则方程f(x)＝－的解的个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 √ 由给定的图象知，直线y＝－与函数y＝f(x)的图象有且只有1个交点，所以方程f(x)＝－的解的个数为1.故选B． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 2.(2026·湖北十堰模拟)函数f(x)＝x＋ln x－4的零点所在的区间是 A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) √ 函数f(x)＝x＋ln x－4的定义域是(0，＋∞)．因为f(x)在(0，＋∞)上连续且为增函数．且f(2)＝－2＋ln 2＜0，f(3)＝－1＋ln 3＞0，则f(2)·f(3)＜0.由零点存在定理可知，函数f(x)＝x＋ln x－4的零点所在的区间是(2，3)．故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 √ 3.(2026·广西桂林模拟)下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 依题意，知二分法求零点要求函数图象连续不断且满足零点存在定理，即f(a)f(b)＜0成立，对比选项可知：A、C、D均符合，但选项B，f(a)f(b) ≥0恒成立，不满足零点存在定理，故选B． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 √ 4.(2026·广东汕头模拟)用二分法求函数f(x)＝ln x＋2x－6在内的零点近似值，若精确度要求为0.1，则需重复相同步骤的次数至少为 A．3 B．4 C．5 D．6 原始区间长度为3－2＝1，第一次，区间长度减半，为0.5＞0.1，第二次，区间长度减半，为0.25＞0.1，第三次，区间长度减半，为0.125＞0.1，第四次，区间长度减半，为0.062 5＜0.1，故至少需要重复四次．故选B． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 √ 5.(2026·浙江宁波模拟)已知曲线y＝＋ax与直线y＝x无交点，则a＝ A．－1 B．0 C．1 D．2 因为曲线y＝＋ax与直线y＝x无交点，所以＋ax＝x无解，所以x＝－无解，所以a－1＝－无解，当a＝1时，方程0＝－无解，当a≠1时，方程为x3＝－，解得x＝，故a＝1时，曲线y＝＋ax与直线y＝x无交点．故选C． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 √ 6.(2026·湖南衡阳模拟)若函数f(x)＝与直线y＝a恰有三个交点，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 画出f(x)的图象，如图．由图象可知a的范围是．故选D． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 7.(多选)(2026·福建福州模拟)已知函数f(x)＝则 A．直线y＝与f(x)的图象有四个交点 B．f(x)有两个零点 C．直线y＝kx与f(x)的图象至多有两个交点 D．存在两点，同时在f(x)的图象上 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 画出f(x)的图象，如图所示． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 对于A，在同一坐标系内画出f(x)与直线y＝的图象，可知直线y＝与f(x)的图象有2个交点，故A错误；对于B，f(x)有两个零点，即－2和0，故B正确；对于C，由图象可得，可能有三个交点，故C错误； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 对于D，点，是关于 x＝－1对称的两点.因为a＞0，b＞0，故(a，b)是位于 第一象限的点，(－2－a，b)位于第二象限，(－2－a， b)在f(x)＝x2＋2x，x＜－2上，要想满足(a，b)， (－2－a，b)同时在f(x)的图象上，只需g(x)＝x2＋2x， x＞0与h(x)＝ex－1，x＞0在第一象限内有交点.因为g(1)＝3，h(1)＝e－1，故g(1)＞h(1)，又g＝15，h＝e3－1，故g(3)＜h(3)，两函数均在(0，＋∞)单调递增，故一定存在x0∈，使得g＝h，故D正确.故选BD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 8.(多选)(2025·湖南怀化模拟)已知函数y＝x＋ex的零点为x1，y＝x＋ln x的零点为x2，则 A．x1＋x2＞0 B．x1x2＜0 C．ex1＋ln x2＝0 D．x1x2－x1＋x2＞1 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 依题意，x1＋ex1＝0⇔ex1＝－x1，x2＋ln x2＝0⇔ ln x2＝－x2，则x1，x2分别是直线y＝－x与函数y＝ ex，y＝ln x图象交点的横坐标，而函数y＝ex与y＝ ln x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 又直线y＝－x垂直于直线y＝x，则点(x1，ex1)与点 (x2，ln x2)关于直线y＝x对称，则x2＝ex1＝－x1＞0，于是x1∈(－1，0)，x2∈(0，1)，x1＋x2＝0，x1x2＜0，ex1＋ln x2＝0，故B、C正确，A错误；x1x2－x1＋x2－1＝(x1＋1)(x2－1)＜0，即x1x2－x1＋x2＜1，故D错误．故选BC． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 9.(2026·江西鹰潭模拟)已知函数f(x)＝ex＋1＋x－2和g(x)＝ln x＋x－3的零点分别为a，b，则a＋b＝___． 2 令u(x)＝ex＋1，φ(x)＝ln x－1，q(x)＝x，h(x)＝2－x，则函数u(x)＝ex＋1和φ(x)＝ln x－1的图象与函数h(x)＝2－x交点的横坐标分别为a，b．又易得u(x)＝ex＋1和φ(x)＝ln x－1的图象关于q(x)＝x对称．设u(x)＝ex＋1和φ(x)＝ln x－1与h(x)＝2－x的交点坐标分别为，(b，2－b)，可知交点坐标也关于直线q(x)＝x对称，所以a＝2－b，即a＋b＝2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 10.(2026·北京海淀模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－mx有三个零点，则实数m的取值范围是__________________． ⋃ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 易知x＝0为g(x)＝f(x)－mx的零点，当x≠0时，令 g(x)＝f(x)－mx＝0，得＝m.令h(x)＝，可得 到h(x)＝作出h(x)的图象， 如图.根据题意，只需y＝m与y＝h(x)有两个交点即可.由图可得m∈(0，1)∪(2，＋∞). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 11.(2026·福建南平模拟)设［x］表示不超过实数x的最大整数，如＝2，＝2，＝－3，则方程x－＝［x］解的个数为 A．4 B．5 C．6 D．7 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 方程x－＝[x]解的个数等价于函数y＝x－[x]和y＝｜log6x｜的图象交点个数，作函数y＝x－[x]和y＝的图象如图所示.由图可知函数y＝x－[x]和y＝的图象的交点个数为5.方程x－＝[x]解的个数为5.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 12.(2026·海南模拟)对于函数f(x)，若存在两点A(x1，f(x1))，B，其中x1＋x2＝0，f(x1)＝f(x2)，则称A，B两点为函数f(x)的一对“隐对称点”，若函数f(x)＝则f(x)的“隐对称点”的对数为 A．1 B．2 C．3 D．4 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 等价转化为函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)(x＞0)的图象的交点个数，作出函数f(x)的大致图象，如图所示.再作出曲线y＝2x(x＜0)关于y轴对称的曲线C：y＝f(－x)(x＞0)的图象，数形结合可知曲线y＝x｜2－x｜与曲线C有3个交点，所以f(x)图象上“隐对称点”有3对.故选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 13.(多选)已知函数f(x)＝则 A．∀x∈R，f(x)≥－2 B．函数g(x)＝f(x)－sin x只有2个零点 C．直线y＝与f(x)的图象有3个交点 D．∃x∈R，f(x)＝f(－x) √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 对于A，当x≥0时，x2－4x＋2＝(x－2)2－2≥－2， 当x＜0时，1＜2x＋1＜2，所以f(x)≥－2成立，故 A正确；作出f(x)的图象，如图所示．由图象，得 y＝2－x＋1(x＞0)与y＝2x＋1(x＜0)的图象关于y轴 对称，且与y＝x2－4x＋2(x＞0)有交点，即∃x∈R，f(x)＝f(－x)，故D正确；对于C，由图象，得直线y＝与f(x)的图象只有2个交点，故C错误；对于B，g(x)＝f(x)－sin x的零点个数等于f(x)的图象与y＝sin x的图象的交点个数，由图可知，f(x)的图象与y＝sin x的图象的交点个数为2，故B正确．故选ABD． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 14.(开放题)(2026·北京昌平模拟)已知p：设函数f(x)在区间(0，＋∞)上的图象是一条连续不断的曲线，若f(1)·f(2)＞0，则f(x)在区间(1，2)内无零点． 能说明p为假命题的一个函数的解析式为__________________________． f(x)＝(答案不唯一) 函数f(x)＝的定义域是R，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上的图象是一条连续不断的曲线.因为f(1)＝，f(2)＝，所以f(1)·f(2)＞0.又f＝0，f(x)在区间(1，2)内有零点，所以p为假命题.故答案为f(x)＝ (答案不唯一). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 15.(多选)(2026·广西桂林模拟)已知函数f(x)＝若f(x1)＝f(x2)＝f＝f(0＜x1＜x2＜x3＜x4)，则 A．x1x2＝1 B．x1＋x2＋x3＋x4的值可能为25 C．x3x4＝22 D．x1＋x2＋x3＋x4的值可能为32 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 由解析式，f(x)在(0，1)，(10，11)上单调递减，在 (1，10)，(11，＋∞)上单调递增，f()＝f(10)＝ f(12)＝1，f(1)＝f(11)＝0，可得函数大致图象，如 图所示.由0＜x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)＝f(x2)＝f＝f，则＜x1＜1＜x2＜10＜x3＜11＜x4＜12，所以lg x1＝－lg x2，易知x1x2＝1，且x3＋x4＝22，所以x1＋x2＝x1＋∈(2，)，x3x4＝x3(22－x3)∈(120，121)，综上，x1＋x2＋x3＋x4∈(24，32).故选ABD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 √ 教师备选 (2025·山东淄博一模)已知函数f(x)＝若存在实数x1，x2，x3且x1＜x2＜x3，使得f(x1)＝f(x2)＝f，则x1f(x1)＋x2f(x2)＋x3f的取值范围是 A． B． C． D． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 如图所示：令x＝＋kπ，解得x＝2k＋ 1，故当x∈时，对称轴为直线x＝1， 则x2＋x3＝2.因为f(x1)＝f(x2)＝f，所以x1f(x1) ＋x2f(x2)＋x3f＝f(x1).又因为f(x1)＝ －x1＋1，x1f(x1)＋x2f(x2)＋x3f＝f(x1) ＝＝－－x1＋2＝－(x1＋)2＋.由f(x1)＝－x1＋1∈可得x1∈，则－≤x1＋＜，则0≤≤，所以x1f(x1)＋x2f(x2)＋x3f＝－(x1＋)2＋∈.故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 16.(新定义)(多选)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L．E．J．Brouwer)，简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是 A．f(x)＝2x＋x B．f(x)＝x2－x－3 C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝|log2x|－1 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 对于A，若f(x0)＝x0，则＝0，该方程无解，故该 函数不是“不动点”函数；对于B，若f(x0)＝x0，则 －2x0－3＝0，解得x0＝3或x0＝－1，故该函数是 “不动点”函数；对于C，若f(x0)＝x0，则＋1＝x0，可得－3x0＋1＝0，且x0≥1，解得x0＝，故该函数是“不动点”函数；对于D，若f(x0)＝x0，则｜log2x0｜－1＝x0，即｜log2x0｜＝x0＋1，作出y＝｜log2x｜与y＝x＋1的函数图象，如图.由图可知，方程｜log2x｜＝x＋1有实数根x0，即存在x0，使得｜log2x0｜－1＝x0成立，故该函数是“不动点”函数.故选BCD. 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 1 14 谢 谢 观 看 第15讲　方程解的存在性及方程的近似解 $