第3章 第17讲 导数的概念及其意义、导数的运算(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

**基本信息** 聚焦导数概念、运算及应用，以题载法构建从基础到创新的方法体系，逻辑链清晰，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|1-3、8|定义法求导、公式法（幂/指/三角）、复合函数求导|从概念（极限定义）到运算规则，夯实基础| |几何应用|4、7、10、12|切线斜率与方程、导数几何意义|概念→几何意义→切线问题，形成应用链| |物理与创新|2、5、9、14-15|变化率模型、新定义转化（曲率/巧值点）|实际问题→数学建模→创新应用，提升数学眼光|

课时分层测评20　导数的概念及其意义、导数的运算 (时间：60分钟　满分：85分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (每小题5分，共50分) 1.已知函数f(x)＝ax2－4x，若＝2，则实数a的值为(　　) A.3 B.1 C.－1 D.－3 答案：A 解析：＝f'(1)＝2，而f'(x)＝2ax－4，所以f'(1)＝2a－4＝2，解得a＝3.故选A. 2.(2026·山东青岛模拟)某海湾拥有世界上最大的海潮，假设该海湾某一固定点处，大海水深d(单位：m)与午夜后的时间t(单位：h)之间的关系为d＝10＋4cos ，则下午5∶00时刻此固定点的水位变化速度为(　　) A. m/h B. m/h C.－ m/h D.－ m/h 答案：C 解析：由d＝10＋4cos ，得d'＝－sin (t)，下午5∶00时刻，则t＝17，所以d'＝－sin ＝－×＝－.故选C. 3.下列求导运算错误的是(　　) A.(x2 027＋2 026e)'＝2 027x2 026 B.(3x)'＝3xln 3 C.(sin x)'＝cos x D.(tan x)'＝ 答案：D 解析：(tan x)'＝()'＝＝，所以D错误.故选D. 4.(2026·天津和平模拟)曲线f(x)＝与曲线g(x)＝ex在点处的切线互相垂直，则实数a＝(　　) A.－ B.－ C.0 D.2 答案：A 解析：f'(x)＝，则f'＝＝3.由g(x)＝ex可得g'(x)＝(ax＋a＋1)ex，故g'＝a＋1.由于两切线互相垂直，因此g'f'＝－1，所以a＝－.故选A. 5.(2026·河南新乡模拟)曲率是用于描述曲线在某一点处弯曲程度的量，对于平面曲线y＝f(x)，其曲率K＝(y'是y的导数，y″是y'的导数)，曲率半径ρ是曲率K的倒数，其表示与曲线在某点处具有相同弯曲程度圆的半径.已知质点以恒定速率v沿曲率半径为ρ的曲线作曲线运动时，向心加速度的大小为.若该质点以恒定速率v0沿形状满足y＝x3－x2的光滑轨道运动，则其在点处的向心加速度的大小为(　　) A. B.2 C. D. 答案：B 解析：设f(x)＝x3－x2，则f'(x)＝3x2－2x，f″(x)＝6x－2，所以f'＝0，f″＝－2，则曲线在点处的曲率K＝＝2，曲率半径ρ＝，故质点在点处的向心加速度的大小为＝2.故选B. 6.(2026·江苏南通模拟)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R，记g(x)＝f'(x).若f(x)是奇函数，且f(x)＋2g(x)＝eax，则a＝(　　) A. B.－ C.2 D.－2 答案：A 解析：因为f(x)为奇函数，故f＝－f(x)，故－f'＝－f'(x)，所以f'＝f'(x)，即g(x)为偶函数，故f＋2g＝e－ax，故－f(x)＋2g(x)＝e－ax，故f(x)＝，g(x)＝，而f'(x)＝(eax＋e－ax)＝g(x)，故a＝.故选A. 7.(多选)(2026·江西南昌模拟)已知函数f(x)的部分图象如图所示，f'(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是(　　) A.f'＜0 B.f'＞0 C.f－f'＞0 D.f－3f'＞0 答案：AC 解析：由f(x)的图象在点B处的切线斜率小于0，即f'＜0，故A正确；f'表示f(x)的图象在点A处的切线斜率，故f'＜0，故B错误；由图可知f＞0，f'＜0，故f－f'＞0，故C正确；直线OB的斜率小于f(x)的图象在点B处的切线斜率，即＜f'，所以f－3f'＜0，故D错误.故选AC. 8.(多选)(2026·福建福州模拟)已知函数f(x)＝sin 2x，则(　　) A.f'(x)＝cos 2x B.f'＝－2 C.f(x)在上的平均变化率为 D.f(x)在x＝0处的瞬时变化率为1 答案：BC 解析：对于A，利用复合函数的求导法则，由f'(x)＝'＝cos 2x·'＝2cos 2x，故A错误；对于B，因为f'(x)＝2cos 2x，当x＝时，f'＝2cos ＝2cos π＝－2，故B正确；对于C，由f(x)在上的平均变化率为＝＝＝，故C正确；对于D，因为f'(x)＝2cos 2x，当x＝0时，f'(0)＝2cos (2×0)＝2cos 0＝2，故D错误.故选BC. 9.(开放题)(2021·新高考Ⅱ卷)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)＝　　　. ①f＝ff；②当x∈(0，＋∞)时，f'(x)＞0；③f'(x)是奇函数. 答案：x4(答案不唯一，f(x)＝x2n均满足) 解析：取f(x)＝x4，则f＝＝＝ff，满足①，f'(x)＝4x3，x＞0时有f'(x)＞0，满足②，f'(x)＝4x3的定义域是R.又f'＝－4x3＝－f'(x)，故f'(x)是奇函数，满足③.故答案为f(x)＝x4(答案不唯一，f(x)＝x2n均满足) 10.(多题同解)(1)(2026·陕西安康模拟)已知函数f(x)＝excos x的图象在x＝x0(0＜x0＜)处的切线平行于x轴，则该切线的方程为　　　　　　　. (2)(2026·山东淄博模拟)函数f(x)＝3f'x＋x2＋ex＋1，则曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为　　　　　　. 答案：(1)y＝　(2)x＋2y－4＝0 解析：(1)函数f(x)＝excos x，求导得f'(x)＝ex(cos x－sin x).依题意，f'(x0)＝0，即(cos x0－sin x0)＝0，则tan x0＝1.而0＜x0＜，则x0＝，f()＝cos ＝，所以该切线的方程为y＝. (2)因为f(x)＝3f'x＋x2＋ex＋1，所以f'(x)＝3f'＋2x＋ex，则f'＝3f'＋1，解得f'＝－.所以曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率为－，所以f(x)＝－x＋x2＋ex＋1，f＝2，所以曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y－2＝－＝－x，化简可得x＋2y－4＝0. (11、12题，每小题5分，共10分) 11.(2026·山东济宁模拟)曲线y＝(a＞0)与y＝ln x和y＝ex分别交于A，B两点，设曲线y＝ln x在A处的切线斜率为k1，y＝ex在B处的切线斜率为k2，若k1＋k2＝，则a＝(　　) A.2ln 2 B.2ln 3 C.3ln 2 D.3ln 3 答案：A 解析：因为y＝ln x和y＝ex互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，且反比例函数y＝(a＞0)的图象也关于直线y＝x对称，可知点A，B关于直线y＝x对称.设A，x0＞1，则B(ln x0，x0)，设f(x)＝ln x，g(x)＝ex，则f'(x)＝，g'(x)＝ex.依题意，得k1＋k2＝＋＝＋x0＝，解得x0＝2或x0＝(舍去)，可得A(2，ln 2)，则＝ln 2，所以a＝2ln 2.故选A. 12.(双空题)已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R). (1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，则a，b的值分别为　　　　　　　； (2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是　　　　　　　. 答案：(1)a＝－3或1，b＝0　(2)(－∞，－)∪(－，＋∞) 解析：f'(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2). (1)依题意，得解得b＝0，a＝－3或1. (2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f'(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，即4a2＋4a＋1＞0，所以a≠－.所以实数a的取值范围是(－∞，－)∪(－，＋∞). 13.(15分)设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式. (2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值. 解：(1)切线方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.当x＝2时，y＝. 又f'(x)＝a＋，所以解得 故f(x)＝x－(x≠0). (2)证明：设P(x0，y0)(x0≠0)为曲线上任一点. 由y'＝1＋，知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋)(x－x0)，即 y－(x0－)＝(1＋)(x－x0). 令x＝0，得y＝－. 所以切线与直线x＝0的交点坐标为(0，－). 令y＝x，得y＝x＝2x0. 所以切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0). 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝｜－｜｜2x0｜＝6. 所以曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6. (每小题5分，共10分) 14.(新定义)(多选)已知函数f(x)及其导函数f'(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f'(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”.下列选项中有“巧值点”的函数是(　　) A.f(x)＝x2 B.f(x)＝ C.f(x)＝ln x D.f(x)＝tan x 答案：AC 解析：若f(x)＝x2，则f'(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解，故A符合要求；若f(x)＝，则f'(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；若f(x)＝ln x，则f'(x)＝，令ln x＝，在同一直角坐标系内作出函数y＝ln x与y＝的图象(图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f(x)＝f'(x)有解，故C符合要求；若f(x)＝tan x，则f'(x)＝'＝.令tan x＝，化简得sin xcos x＝1，变形可得sin 2x＝2，无解，故D不符合要求.故选AC. 15.(新定义)(多选)(2026·辽宁本溪模拟)若函数f(x)在其图象上两个不同点A，B处的切线完全重合，则称直线AB为曲线y＝f(x)的“自公切线”，f(x)为“自公切线函数”，则(　　) A.函数f(x)＝x2＋ex是“自公切线函数” B.函数f(x)＝x－cos x是“自公切线函数” C.曲线f(x)＝－x2＋2｜x｜的“自公切线”方程为y＝1 D.曲线f(x)＝x3＋的“自公切线”方程为y＝8x 答案：BCD 解析：对于A，若f(x)为“自公切线函数”，则f'(x)在某区间内不单调，由f(x)＝x2＋ex，得f'(x)＝2x＋ex.因为f'(x)在R上单调递增，故f(x)＝x2＋ex不是“自公切线函数”，故A错误；对于B，因为f(x)＝x－cos x，所以f'(x)＝1＋sin x，当x＝2kπ时，f'＝1，f＝2kπ－1，则f(x)在点处的切线方程为y－2kπ＋1＝x－2kπ，即y＝x－1，所以f(x)＝x－cos x是“自公切线函数”，故B正确；对于C，当x≥0时，f(x)＝－x2＋2x，则f'(x)＝－2x＋2，当x＜0时，f(x)＝－x2－2x，则f'(x)＝－2x－2，所以f'＝f'＝0，f＝f＝1，所以曲线y＝f(x)在点和点处的切线方程均为y＝1，即曲线f(x)＝－x2＋2的“自公切线”方程为y＝1，故C正确；对于D，因为f(x)＝x3＋，x≠0，所以f'(x)＝3x2－，x≠0，则f'＝f'(x)，所以f'(x)为偶函数.令h(x)＝3x2－，x≠0，则h'(x)＝6x＋，当x＞0时，h'(x)＞0，当x＜0时，h'(x)＜0，所以h(x)即f'(x)在上单调递减，在上单调递增，所以必存在x1，x2，且x1≠x2≠0，使得f'＝f'，且x1＋x2＝0，不妨设两切点分别为A(x1，＋)，B(x2，＋).因为f(x)＝x3＋，x≠0，则f＝－f(x)，所以f(x)为奇函数.又x1＋x2＝0，所以切点A，B关于原点对称，且切线的斜率k＝f'＝kAO＝kBO.又f'＝3－，kAO＝＝＋，所以3－＝＋，整理得＝16，解得x1＝2或x1＝－2，取A，B，则k＝8，故曲线f(x)＝x3＋的“自公切线”方程为y＝8x，故D正确.故选BCD. 学科网（北京）股份有限公司 $