第2章 第16讲 实际问题中的函数模型(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

**基本信息** 聚焦函数模型在实际问题中的应用，通过分层训练构建从模型识别到参数求解再到实际应用的完整逻辑链，培养用数学眼光观察、思维分析、语言表达现实问题的核心素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固练|5题|单一函数模型辨识与应用（指数、对数、分段函数）|从具体实例（荷花开放、满意度评分）抽象函数模型，理解概念生成| |综合运用练|3题|复杂情境下模型参数求解（声强级、甲醛浓度）|通过实际数据推导模型参数，建立原理与应用的逻辑联系| |创新拓展练|2题|跨学科综合应用与模型迁移（喊泉、碳14衰减）|深化函数性质与实际问题的关联，培养模型意识与应用能力|

课时分层测评19　实际问题中的函数模型 (时间：60分钟　满分：60分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (1－5题，每小题5分，共25分) 1.(2026·安徽芜湖模拟)荷花定律是一个非常著名的定律．据研究者收集的信息，池塘里荷花开放的程度，有如下规律，第一天开放的只是一小部分，第二天，它们会以前一天的两倍速度开放．到第29天时荷花恰好开满了一半，到第30天才会开满整个池塘．下列函数能较好反映池塘里荷花开放的程度y与时间x(1－30天)之间的变化规律的是(　　) A．y＝2x B．y＝2x C．y＝x2 D．y＝log2x 答案：B 解析：依题意“到第29天时荷花恰好开满了一半，到第30天才会开满整个池塘”得，当x＝30时的y值是x＝29时的y值的二倍，所以只有指数函数y＝2x符合．故选B． 2.(2026·广西北海模拟)Deep Seek是一款人工智能助手，其用户满意度评分S随时间t(单位：月)的变化满足对数型函数模型：S＝aln＋50，其中a是常数．若Deep Seek在经过3个月后评分增长到70，则满意度评分S为(　　) A.60 B.61 C.62 D.63 答案：A 解析：依题意，得70＝a·ln＋50，a＝，则S＝a·ln＋50＝60.故选A. 3.如图，梯形OABC是上底为，下底为3，高为的等腰梯形，记梯形OABC位于直线x＝t(t＞0)左侧的阴影部分的面积为f，则y＝f的大致图象是(　　) 答案：A 解析：依题意，知在梯形OABC中，∠AOC＝∠OCB＝45°；当0＜t≤时，阴影部分为等腰直角三角形，其面积为f＝t2；当＜t＜2时，阴影部分为等腰直角三角形加上一个矩形，其面积为f＝×＋＝t－1；当2≤t≤3，阴影部分面积为整个梯形面积减去右侧空白部分面积，即f＝×－＝－t2＋3t－5，所以可得f＝根据函数类型对比图象可得A正确.故选A. 4.(多选)(2026·辽宁沈阳模拟)震级是以地震仪测定的每次地震活动释放的能量多少来确定的，我国目前使用的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，共分9个等级，其中能量E(单位：焦耳)与里氏震级M的对应关系为lg E＝4.8＋1.5M，则(　　) A．若某次地震的震级不超过2级，则产生的能量低于108焦耳 B．若某次地震的震级超过4级，则产生的能量高于1010焦耳 C.5级地震的能量是4级地震的能量的100倍 D.3级地震的能量是7级地震的能量的 答案：ABD 解析：记Ei表示震级为i级地震的能量，对于A，若M≤2，则lg E＝4.8＋1.5M≤7.8，所以E≤107.8＜108，故A正确；对于B，若M＞4，则lg E＝4.8＋1.5M＞10.8，所以E＞1010.8＞1010，故B正确；对于C，lg E5－lg E4＝4.8＋1.5×5－4.8－1.5×4＝1.5，则＝101.5≠100，故C错误；对于D，lg E3－lg E7＝4.8＋1.5×3－4.8－1.5×7＝－6，则，故D正确．故选ABD． 5.(2026·湖北武汉模拟)为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x年底光伏太阳能板的保有量y(单位：万块)满足模型y＝，其中N为饱和度，y0为初始值，p为年增长率．若该地区2024年底的光伏太阳能板保有量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为10%，饱和度为1 020万块，那么2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约　　万块． (结果四舍五入保留到整数，参考数据：e－0.5≈0.61，e－0.6≈0.55，e－0.7≈0.49) 答案：36 解析：依题意，所给模型中y0＝20，N＝1 020，p＝10％＝0.1，x＝6，则2030年底该地区光伏太阳能板的保有量为y＝＝.因为e－0.6≈0.55，所以y＝≈≈36，所以2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约36万块. 6.(10分)随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产x台，需另投入成本G(x)万元，且G(x)＝由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润W(x)万元关于年产量x台的函数解析式(利润＝销售收入－成本)； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)当0＜x≤40时，W(x)＝200x－(2x2＋80x)－300＝－2x2＋120x－300； 当40＜x≤100时，W(x)＝200x－(201x＋－2100)－300＝－(x＋)＋1 800， W(x)＝ (2)若0＜x≤40，W(x)＝－2(x－30)2＋1 500，当x＝30时，W(x)max＝1 500万元； 若40＜x≤100， W(x)＝－＋1 800≤－2＋1 800＝－120＋1 800＝1 680， 当且仅当x＝时，即x＝60时，W(x)max＝1 680万元， 由于1 680＞1 500，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润为1 680万元． (每小题5分，共15分) 7.(2026·广东广州模拟)声强级LI(单位：dB)由公式LI＝10lg给出，其中I为声强(单位：W/m2)．轻柔音乐的声强一般在10－8~10－6W/m2之间，则轻柔音乐的声强级范围是(　　) A.0~20 dB B.20~40 dB C.40~60 dB D.60~80 dB 答案：C 解析：依题意，得10－8≤I≤10－6，所以104≤≤106，所以4≤lg≤6，所以40≤10lg≤60，即轻柔音乐的声强级范围是40～60 dB.故选C. 8.(多选)中华人民共和国国家标准《居室空气中甲醛的卫生标准》规定：居室空气中甲醛的最高容许浓度为：一类建筑0.08 mg/m3，二类建筑0.1 mg/m3，二类建筑室内甲醛浓度小于等于0.1 mg/m3为安全范围．已知某学校教学楼(二类建筑)施工过程中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工2周后室内甲醛浓度为2.25 mg/m3，4周后室内甲醛浓度为0.36 mg/m3，且室内甲醛浓度ρ(t)(单位：mg/m3)与竣工后保持良好通风的时间t(单位：周)近似满足函数关系式ρ(t)＝eat＋b，则(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6)(　　) A．a＝ln B．eb＞15 C.3周后室内甲醛浓度为0.9 mg/m3 D．该教学楼竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为6周 答案：ACD 解析：依题意，得解得ea＝⇒a＝ln，eb＝＜＝15，故A正确，B错误；所以ρ(t)＝eat＋b＝·eb＝×，ρ(3)＝×＝0.9，故C正确；令×≤，得≤×，两边取对数得t(ln 2－ln 5)≤3ln 2－(2ln 3＋3ln 5)，即t≥≈≈5.4，所以该教学楼竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为6周，故D正确.故选ACD. 9.(2026·山东临沂期末)某市准备举行大型公益活动，筹备组将提前对其使用场所进行消毒，在药物喷洒过程中，该场所空气中的含药量y(毫克/每立方米)与时间x(小时)成正比，药物喷洒完毕后(此时含药量y＝)，y与x满足关系y＝3b－x(b为常数，x≥)．据测定，空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，该场所才能进入使用，则筹备组进行消毒工作至少应该提前　　　　分钟． 答案：75 解析：设y＝kx(0＜x＜)，依题意，x＝，y＝，可得k＝，即有y＝x(0＜x＜).当x≥时，y＝3b－x的图象经过，如图所示.可得＝＝3－1，解得b＝－，则y＝，由0＜x＜，y随着x的增大而增大，当x≥，y随着x的增大而减小，则≤＝3－2，即－－x≤－2，解得x≥，小时即为75分钟，所以筹备组至少应提前75分钟进行消毒工作. (每小题5分，共10分) 10.(2026·陕西咸阳模拟)“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉．声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强m与标准声强m0(m0约为10－12，单位：W/m2)之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(贝尔)，即L＝lg，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声音响度y(分贝)与喷出的泉水高度x(米)满足关系式y＝40x，现知A同学用喇叭大喊一声激起的涌泉最高高度为2米，若A同学用喇叭大喊一声的声强大约为不用喇叭大喊一声的声强的10倍，则A同学大喊一声激起的涌泉最高高度约为(　　) A.1.75米 B.1.5米 C.1.25米 D.1米 答案：A 解析：设A同学不用喇叭时的声强为m，喷出泉水高度为x，则A同学用喇叭时的声强为10m，喷出泉水高度为2米.依题意，知10×lg＝40x，即lg m－lg m0＝4x①.又10×lg＝40×2＝80，即lg＝lg 10＋lg m－lg m0＝1＋lg m－lg m0＝8，即lg m－lg m0＝7②.由①②可得4x＝7，解得x＝＝1.75.故选A. 11.现有两个函数模型如下，模型一：如果C0是碳14的初始质量，那么经过t年后，碳14的质量为C＝C0；模型二：马尔萨斯自然状态下人口增长模型y＝y0ert，其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r是常数(e是自然对数的底数).则下列说法错误的是(　　) A．经过5 730年，碳14的质量变为初始质量的一半 B．碳14的年衰减率与初始质量有关 C．设n∈N*，碳14的第n年，第n＋1年，第n＋2年的衰减量分别为Δ1，Δ2，Δ3，则＝ D．以上两个模型都可以归结为模型“y＝ekx＋b”(其中x为自变量，k，b为常数，e是自然对数的底数) 答案：B 解析：对于A，模型一中，当t＝5 730时，C(5 730)＝C0＝C0，即碳14的质量变为初始质量的一半，故A正确；对于B，年衰减率由模型决定，与初始质量无关.模型一可改写为C＝C0，1年后，C＝C0，年衰减率为＝1－，是常数，故B错误；对于C，第n年衰减量Δ1＝C(n)－C＝C0［1－］，同理Δ2＝C－C＝C0，Δ3＝C－C＝C0，所以＝＝，故C正确；对于D，模型一可转化为C＝，模型二为y＝，均符合y＝ekx＋b形式，故D正确.故选B. 学生用书⬇第62页 学科网（北京）股份有限公司 $