第2章 第15讲 方程解的存在性及方程的近似解(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

**基本信息** 聚焦方程解存在性及近似解，以数形结合、零点定理、等价转化为核心方法，构建从基础判定到综合应用的知识逻辑链，培养数学思维与直观想象。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固练|10|零点存在定理、二分法、数形结合|函数零点概念→判定方法→近似计算| |综合运用练|4|等价转化、分段函数分析|基础方法→多零点关系→参数范围| |创新拓展练|2|新定义理解、反函数性质|知识迁移→跨情境应用→数学表达|

课时分层测评18　方程解的存在性及方程的近似解 (时间：60分钟　满分：80分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (每小题5分，共50分) 1.(2026·北京西城模拟)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则方程f(x)＝－的解的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案：B 解析：由给定的图象知，直线y＝－与函数y＝f(x)的图象有且只有1个交点，所以方程f(x)＝－的解的个数为1.故选B． 2.(2026·湖北十堰模拟)函数f(x)＝x＋ln x－4的零点所在的区间是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 答案：C 解析：函数f(x)＝x＋ln x－4的定义域是(0，＋∞)．因为f(x)在(0，＋∞)上连续且为增函数．且f(2)＝－2＋ln 2＜0，f(3)＝－1＋ln 3＞0，则f(2)·f(3)＜0.由零点存在定理可知，函数f(x)＝x＋ln x－4的零点所在的区间是(2，3)．故选C． 3.(2026·广西桂林模拟)下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是(　　) 答案：B 解析：依题意，知二分法求零点要求函数图象连续不断且满足零点存在定理，即f(a)f(b)＜0成立，对比选项可知：A、C、D均符合，但选项B，f(a)f(b)≥0恒成立，不满足零点存在定理，故选B． 4.(2026·广东汕头模拟)用二分法求函数f(x)＝ln x＋2x－6在内的零点近似值，若精确度要求为0.1，则需重复相同步骤的次数至少为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案：B 解析：原始区间长度为3－2＝1，第一次，区间长度减半，为0.5＞0.1，第二次，区间长度减半，为0.25＞0.1，第三次，区间长度减半，为0.125＞0.1，第四次，区间长度减半，为0.062 5＜0.1，故至少需要重复四次．故选B． 5.(2026·浙江宁波模拟)已知曲线y＝＋ax与直线y＝x无交点，则a＝(　　) A．－1 B.0 C.1 D.2 答案：C 解析：因为曲线y＝＋ax与直线y＝x无交点，所以＋ax＝x无解，所以x＝－无解，所以a－1＝－无解，当a＝1时，方程0＝－无解，当a≠1时，方程为x3＝－，解得x＝，故a＝1时，曲线y＝＋ax与直线y＝x无交点．故选C． 6.(2026·湖南衡阳模拟)若函数f(x)＝与直线y＝a恰有三个交点，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：画出f(x)的图象，如图．由图象可知a的范围是．故选D． 7.(多选)(2026·福建福州模拟)已知函数f(x)＝则(　　) A．直线y＝与f(x)的图象有四个交点 B．f(x)有两个零点 C．直线y＝kx与f(x)的图象至多有两个交点 D．存在两点，同时在f(x)的图象上 答案：BD 解析：画出f(x)的图象，如图所示． 对于A，在同一坐标系内画出f(x)与直线y＝的图象， 可知直线y＝与f(x)的图象有2个交点，故A错误；对于B，f(x)有两个零点，即－2和0，故B正确；对于C，由图象可得，可能有三个交点，故C错误；对于D，点，是关于x＝－1对称的两点.因为a＞0，b＞0，故(a，b)是位于第一象限的点，(－2－a，b)位于第二象限，(－2－a，b)在f(x)＝x2＋2x，x＜－2上，要想满足(a，b)，(－2－a，b)同时在f(x)的图象上，只需g(x)＝x2＋2x，x＞0与h(x)＝ex－1，x＞0在第一象限内有交点.因为g(1)＝3，h(1)＝e－1，故g(1)＞h(1)，又g＝15，h＝e3－1，故g(3)＜h(3)，两函数均在(0，＋∞)单调递增，故一定存在x0∈，使得g＝h，故D正确.故选BD. 8.(多选)(2025·湖南怀化模拟)已知函数y＝x＋ex的零点为x1，y＝x＋ln x的零点为x2，则(　　) A．x1＋x2＞0 B．x1x2＜0 C．ex1＋ln x2＝0 D．x1x2－x1＋x2＞1 答案：BC 解析：依题意，x1＋ex1＝0⇔ex1＝－x1，x2＋ln x2＝0⇔ln x2＝－x2，则x1，x2分别是直线y＝－x与函数y＝ex，y＝ln x图象交点的横坐标，而函数y＝ex与y＝ln x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．又直线y＝－x垂直于直线y＝x，则点(x1，ex1)与点(x2，ln x2)关于直线y＝x对称，则x2＝ex1＝－x1＞0，于是x1∈(－1，0)，x2∈(0，1)，x1＋x2＝0，x1x2＜0，ex1＋ln x2＝0，故B、C正确，A错误；x1x2－x1＋x2－1＝(x1＋1)(x2－1)＜0，即x1x2－x1＋x2＜1，故D错误．故选BC． 9.(2026·江西鹰潭模拟)已知函数f(x)＝ex＋1＋x－2和g(x)＝ln x＋x－3的零点分别为a，b，则a＋b＝　　　　　． 答案：2 解析：令u(x)＝ex＋1，φ(x)＝ln x－1，q(x)＝x，h(x)＝2－x，则函数u(x)＝ex＋1和φ(x)＝ln x－1的图象与函数h(x)＝2－x交点的横坐标分别为a，b．又易得u(x)＝ex＋1和φ(x)＝ln x－1的图象关于q(x)＝x对称．设u(x)＝ex＋1和φ(x)＝ln x－1与h(x)＝2－x的交点坐标分别为，(b，2－b)，可知交点坐标也关于直线q(x)＝x对称，所以a＝2－b，即a＋b＝2. 10.(2026·北京海淀模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－mx有三个零点，则实数m的取值范围是　　　　． 答案：⋃ 解析：易知x＝0为g(x)＝f(x)－mx的零点，当x≠0时，令g(x)＝f(x)－mx＝0，得＝m.令h(x)＝，可得到h(x)＝作出h(x)的图象，如图.根据题意，只需y＝m与y＝h(x)有两个交点即可.由图可得m∈(0，1)∪(2，＋∞). (每小题5分，共20分) 11.(2026·福建南平模拟)设［x］表示不超过实数x的最大整数，如＝2，＝2，＝－3，则方程x－＝［x］解的个数为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 答案：B 解析：方程x－＝[x]解的个数等价于函数y＝x－[x]和y＝｜log6x｜的图象交点个数，作函数y＝x－[x]和y＝的图象如图所示.由图可知函数y＝x－[x]和y＝的图象的交点个数为5.方程x－＝[x]解的个数为5.故选B. 12.(2026·海南模拟)对于函数f(x)，若存在两点A(x1，f(x1))，B，其中x1＋x2＝0，f(x1)＝f(x2)，则称A，B两点为函数f(x)的一对“隐对称点”，若函数f(x)＝则f(x)的“隐对称点”的对数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C 解析：等价转化为函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)(x＞0)的图象的交点个数，作出函数f(x)的大致图象，如图所示.再作出曲线y＝2x(x＜0)关于y轴对称的曲线C：y＝f(－x)(x＞0)的图象，数形结合可知曲线y＝x｜2－x｜与曲线C有3个交点，所以f(x)图象上“隐对称点”有3对.故选C. 13.(多选)已知函数f(x)＝则(　　) A．∀x∈R，f(x)≥－2 B．函数g(x)＝f(x)－sin x只有2个零点 C．直线y＝与f(x)的图象有3个交点 D．∃x∈R，f(x)＝f(－x) 答案：ABD 解析：对于A，当x≥0时，x2－4x＋2＝(x－2)2－2≥－2，当x＜0时，1＜2x＋1＜2，所以f(x)≥－2成立，故A正确；作出f(x)的图象，如图所示．由图象，得y＝2－x＋1(x＞0)与y＝2x＋1(x＜0)的图象关于y轴对称，且与y＝x2－4x＋2(x＞0)有交点，即∃x∈R，f(x)＝f(－x)，故D正确；对于C，由图象，得直线y＝与f(x)的图象只有2个交点，故C错误；对于B，g(x)＝f(x)－sin x的零点个数等于f(x)的图象与y＝sin x的图象的交点个数，由图可知，f(x)的图象与y＝sin x的图象的交点个数为2，故B正确．故选ABD． 14.(开放题)(2026·北京昌平模拟)已知p：设函数f(x)在区间(0，＋∞)上的图象是一条连续不断的曲线，若f(1)·f(2)＞0，则f(x)在区间(1，2)内无零点．能说明p为假命题的一个函数的解析式为　　　　　　　　　． 答案：f(x)＝(答案不唯一) 解析：函数f(x)＝的定义域是R，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上的图象是一条连续不断的曲线.因为f(1)＝，f(2)＝，所以f(1)·f(2)＞0.又f＝0，f(x)在区间(1，2)内有零点，所以p为假命题.故答案为f(x)＝(答案不唯一). (每小题5分，共10分) 15.(多选)(2026·广西桂林模拟)已知函数f(x)＝若f(x1)＝f(x2)＝f＝f(0＜x1＜x2＜x3＜x4)，则(　　) A．x1x2＝1 B．x1＋x2＋x3＋x4的值可能为25 C．x3x4＝22 D．x1＋x2＋x3＋x4的值可能为32 答案：ABD 解析：由解析式，f(x)在(0，1)，(10，11)上单调递减，在(1，10)，(11，＋∞)上单调递增，f()＝f(10)＝f(12)＝1，f(1)＝f(11)＝0，可得函数大致图象，如图所示.由0＜x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)＝f(x2)＝f＝f，则＜x1＜1＜x2＜10＜x3＜11＜x4＜12，所以lg x1＝－lg x2，易知x1x2＝1，且x3＋x4＝22，所以x1＋x2＝x1＋∈(2，)，x3x4＝x3(22－x3)∈(120，121)，综上，x1＋x2＋x3＋x4∈(24，32).故选ABD. 【教师备选】　(2025·山东淄博一模)已知函数f(x)＝若存在实数x1，x2，x3且x1＜x2＜x3，使得f(x1)＝f(x2)＝f，则x1f(x1)＋x2f(x2)＋x3f的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：如图所示：令x＝＋kπ，解得x＝2k＋1，故当x∈时，对称轴为直线x＝1，则x2＋x3＝2.因为f(x1)＝f(x2)＝f，所以x1f(x1)＋x2f(x2)＋x3f＝f(x1).又因为f(x1)＝－x1＋1，x1f(x1)＋x2f(x2)＋x3f＝f(x1)＝＝－－x1＋2＝－(x1＋)2＋.由f(x1)＝－x1＋1∈可得x1∈，则－≤x1＋＜，则0≤≤，所以x1f(x1)＋x2f(x2)＋x3f＝－(x1＋)2＋∈.故选D. 16.(新定义)(多选)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L．E．J．Brouwer)，简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是(　　) A．f(x)＝2x＋x B．f(x)＝x2－x－3 C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝|log2x|－1 答案：BCD 解析：对于A，若f(x0)＝x0，则＝0，该方程无解，故该函数不是“不动点”函数；对于B，若f(x0)＝x0，则－2x0－3＝0，解得x0＝3或x0＝－1，故该函数是“不动点”函数；对于C，若f(x0)＝x0，则＋1＝x0，可得－3x0＋1＝0，且x0≥1，解得x0＝，故该函数是“不动点”函数；对于D，若f(x0)＝x0，则｜log2x0｜－1＝x0，即｜log2x0｜＝x0＋1，作出y＝｜log2x｜与y＝x＋1的函数图象，如图.由图可知，方程｜log2x｜＝x＋1有实数根x0，即存在x0，使得｜log2x0｜－1＝x0成立，故该函数是“不动点”函数.故选BCD. 学生用书⬇第57页 学科网（北京）股份有限公司 $