第2章 第13讲 对数函数(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

**基本信息** 聚焦对数函数定义域、单调性等核心考点，通过分层训练系统提炼换元法、数形结合等解题方法，构建概念-性质-应用的逻辑链条，培养数学抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固练|8题|定义域求解（不等式组）、复合函数单调性（同增异减）、对数比较大小（换底公式）|从概念（定义域）到性质（单调性），逐步应用于简单函数关系| |综合运用练|3题|分段函数值域分析、含参不等式求解（分类讨论）|结合函数值域与不等式，深化对数函数与二次函数的综合应用| |创新拓展练|2题|函数对称性（图象变换）、新定义问题（方程思想）|从函数性质迁移到创新情境，培养数学建模与逻辑推理能力|

课时分层测评15　对数函数 (时间：60分钟　满分：85分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (1－8题，每小题5分，共40分) 1.(2026·广东江门模拟)函数g(x)＝的定义域是(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：依题意， 得⇒因为y＝ln x在上单调递增，则ln(x＋)≥ln 1⇒x＋≥1⇒x≥.故选B. 2.(2026·江苏南通模拟)已知函数f(x)＝ln(x2－ax)在内单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A．a≥2 B．a≥1 C．a≤2 D．a≤1 答案：D 解析：设t＝x2－ax，因为y＝ln t为上的增函数，而f(x)＝ln内单调递增，故t＝x2－ax为内的增函数，且t＞0在内恒成立，故故a≤1.故选D. 3.(2026·山东德州模拟)设2 024a＝2 025，b＝log2 0232 026，2 022c＝2 026，则(　　) A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a 答案：D 解析：根据题意，c＝log2 0222 026，b＝＜＝log2 0222 026＝c，a＝log2 0242 025＝＜＝log2 0232 025＜log2 0232 026＝b，所以c＞b＞a.故选D. 4.(2026·安徽合肥模拟)已知f(x)＝，其中a＞0，若f(x1)＝f(x2)，x1≠x2，a＜x1x2，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：定义域是，因为f(x)＝＝根据y＝ln x的函数图象以及图象变换可画出f(x)的函数图象，则f(x)在上单调递增，在上单调递减.不妨设0＜a＜x1＜x2，又f(x1)＝f(x2)，则f(x1)＝－ln，f(x2)＝ln，则－ln＝ln，即(x2－a)(x1－a)＝1，则x1x2－a＋a2＝1.因为a＜x1x2，则1－a2＞0，得－1＜a＜1，则0＜a＜1.故选D. 【教师备选】　已知函数f(x)＝|log2x|，设a＝f()，b＝f()，c＝f(5)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a 答案：B 解析：当x＞1时，函数f(x)＝|log2x|＝log2x在(1，＋∞)上单调递增，而a＝f()＝log23∈(1，2)，c＝f(5)＝log25＞2，所以b＜a＜c．故选B． 5.(多选)(2026·安徽合肥模拟)已知m＞0且m≠1，则函数f(x)＝lo＋3的图象一定经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：AB 解析：由f(x)＝lo＋3＝2logm(x＋)＋3，m＞0且m≠1，则f(0)＝2logm＋3＝－2＋3＝1，即函数f(x)过点(0，1)，当m＞1时，函数f(x)单调递增，过第一、二、三象限；当0＜m＜1时，函数f(x)单调递减，过第一、二、四象限.故选AB. 6.(多选)(2026·河北保定模拟)若函数f(x)＝lg＋lg，则(　　) A．f(x)为减函数 B．f(x)＝1⇔x＝5 C．f(x)的值域为R D．f(x)＜2⇔x＜50 答案：BC 解析：因为f(x)＝lg＝lg 2＋lg x，x＞0，所以f(x)为增函数，f(x)的值域为R，故A错误，C正确；f(x)＝1⇔lg (2x)＝1⇔2x＝10⇔x＝5，故B正确；f(x)＜2⇔lg (2x)＜2⇔0＜2x＜100⇔0＜x＜50，故D错误．故选BC． 7.(2026·山东烟台模拟)已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f＜2，则实数t的取值范围是　　　　． 答案： 解析：已知f(x)＝ln x＋2x，其中y＝ln x和y＝2x均为单调递增函数，且y＝ln x定义域是(0，＋∞)，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 1＋21＝2，可得f＜f，可得0＜2t＜1，解得0＜t＜. 8.(2026·河北秦皇岛模拟)已知函数f(x)＝log2＋log4的值域为(－∞，1］，则实数a的值为　　　　． 答案：1 解析：因为f(x)＝log2＋log4(4－ax)＝log4x＋log4(4－ax)＝log4的值域为(－∞，1]，即log4≤1.又y＝log4x在定义域内为增函数，故y＝4x－ax2的最大值为4，则a＞0.由y＝4x－ax2＝－a(x－)2＋，可得x＝时，＝4，解得a＝1，此时f(x)＝log2＋log4(4－x)的定义域是(0，4)，f(x)＝log4(－x2＋4x)＝log4[－(x－2)2＋4]在(0，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，则得f(x)≤f(2)＝1，符合题意. 9.(10分)(2026·上海青浦模拟)对于函数y＝f(x)，其中f(x)＝logax(a＞0，a≠1)． (1)若函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，求f(2x－2)＜f(x)的解集； (2)求证：当a＝时，存在x使得f(x＋1)，f(ax)，f(x＋2)成等差数列． 解：(1)已知函数y＝f(x)＝logax的图象过点(4，2)， 所以loga4＝2，即a2＝4，因为a＞0，a≠1，所以a＝2，则f(x)＝log2x． 函数f(x)＝log2x的定义域是(0，＋∞)，且在定义域上单调递增． 由f(2x－2)＜f(x)可得解得1＜x＜2，所以不等式的解集为(1，2)． (2)证明：当a＝时，f(x)＝lox，f(x＋1)＝lo(x＋1)， f(ax)＝lox)＝lo＋lox＝1＋lox，f(x＋2)＝lo(x＋2). 若f(x＋1)，f(ax)，f(x＋2)成等差数列，则2f(ax)＝f(x＋1)＋f(x＋2)， 即2＝lo(x＋1)＋lo(x＋2).所以2＋2lox＝lo[(x＋1)(x＋2)]， 即lo)2＋lox2＝lo，即lo＝lo， 则2x2＝x2＋3x＋2，移项可得x2－3x－2＝0. 对于一元二次方程x2－3x－2＝0，Δ＝(－3)2－4×(－2)＝9＋8＝17＞0， 方程有正实数解，即存在x使得f(x＋1)，f(ax)，f(x＋2)成等差数列. (10、11题，每小题5分，共10分) 10.(多选)(2026·广西北海模拟)若实数a，b，c满足2a＋5＝3b＋2＝5c＋3，则a，b，c的大小关系可能是(　　) A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．b＞c＞a 答案：ABD 解析：设2a＋5＝3b＋2＝5c＋3＝t，t＞0，则a＝log2，b＝log3(t－2)，c＝log5.如图，作出函数y＝log2，y＝log3，y＝log5的图象，a，b，c的值分别是函数y＝log2，y＝log3，y＝log5的图象与直线x＝t的交点的纵坐标.由图可知，随着t的变化，可能出现a＞b＞c，b＞c＞a，b＞a＞c.故选ABD. 11.(双空题)(2026·北京海淀模拟)已知函数f(x)＝(a＞0且a≠1)．若f(x)的值域为，则a的一个取值为　　　　；若f(x)的值域为R，则实数a的取值范围是　　． 答案：　 解析：第一空：当x≤1时，易知y＝2－x2的值域为，若f(x)的值域为，则当x＞1时，y＝loga的最大值需满足小于或等于2.因为y＝ax＋3在上单调递增，故需满足解得0＜a＜1，故a的一个取值为. 第二空：当x≤1时，易知y＝2－x2的值域为，若f(x)的值域为R，则需满足当x＞1时，y＝loga的最小值需满足小于或等于2.又y＝ax＋3在上单调递增，则需满足解得a≥2. 12.(15分)已知f(x)＝log3(x＋a)＋log3(6－x)． (1)是否存在实数a，使得函数y＝f(x)是偶函数？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由； (2)若a＞－3且a≠0，解关于x的不等式f(x)≤f(6－x)． 解：(1)存在实数a＝6，使得函数y＝f(x)是偶函数． 要使函数f(x)＝log3(x＋a)＋log3(6－x)有意义，需满足 显然－a＜6，即a＞－6，函数y＝f(x)的定义域是D＝(－a，6)． 当a≠6时，函数定义域不关于原点对称，此时必然存在x∈D且－x∉D，此时函数y＝f(x)不是偶函数． 当a＝6时，f(x)＝log3(x＋6)＋log3(6－x)，函数y＝f(x)的定义域是(－6，6)，对于任意的x∈(－6，6)，都有－x∈(－6，6)，并且f(－x)＝log3(－x＋6)＋log3(6＋x)＝f(x)， 因此函数y＝f(x)是一个偶函数． 综上所述，存在实数a＝6，使得函数y＝f(x)是偶函数． (2)由f(x)≤f(6－x)，得log3(x＋a)＋log3(6－x)≤log3(6－x＋a)＋log3x， 所以 且(x＋a)(6－x)≤(6－x＋a)x①． 由①得，ax≥3a．因为a＞－3且a≠0， 所以当－3＜a＜0时，－a＜x≤3， 当a＞0时，3≤x＜6. 综上可得：当－3＜a＜0时，不等式f(x)≤f(6－x)的解集为； 当a＞0时，不等式f(x)≤f(6－x)的解集为． (每小题5分，共10分) 13.(2026·重庆模拟)已知函数y＝f(x＋1)是R上的偶函数，对任意x1，x2∈，且x1≠x2都有＞0，若a＝f，b＝f(ln)，c＝f()，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a 答案：A 解析：因为函数y＝f(x＋1)是R上的偶函数，则y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称.因为对任意x1，x2∈，且x1≠x2都有＞0，即函数y＝f(x)在(1，＋∞)上单调递增.因为1＜log36＝log32＋1＜2，1＜2－ln＝ln (e)＝ln 2＋1＜2，＝eln 2＝2.由log32－ln 2＝－ln 2＝ln 2(－)＞0，可得1＜2－ln＜log36＜＝2.又由对称性可得f(2－ln)＝f(ln)，故再由单调性，可得f(2－ln)＝f(ln)＜f(log36)＜f()，即b＜a＜c.故选A. 14.(新定义)函数f(x)的定义域为D，若满足①f(x)在D内是单调函数；②存在［a，b］⊆D使f(x)在［a，b］上的值域为，那么就称y＝f(x)为“半保值函数”，若函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a＞0，且a≠1)是“半保值函数”，则实数t的取值范围是　　　　　　． 答案：⋃ 解析：f(x)的定义域是R，当a＞1时，z＝ax＋t2在R上单调递增，y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，可得f(x)为R上的增函数；当0＜a＜1时，f(x)仍为R上的增函数，所以f(x)在定义域R上为增函数．因为函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a＞0，且a≠1)是“半保值函数”，所以方程loga(ax＋t2)＝x有两个不同的根，所以ax＋t2＝ax，即ax－ax＋t2＝0，令u＝ax，u＞0，则u2－u＋t2＝0有两个不同的正数根，可得1－4t2＞0，且t2＞0，解得t∈． 学生用书⬇第49页 学科网（北京）股份有限公司 $