第2章 第12讲 指数函数(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

**基本信息** 以指数函数单调性为核心，通过分层训练构建"性质应用-复合转化-创新拓展"的方法体系，强化数学思维中的逻辑推理与数学语言表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|8题|单调性比较大小、充要条件判断、复合函数单调区间求法|从指数函数定义到单调性、值域，形成"概念-性质-应用"链条| |综合运用|3题|函数对称性证明、存在性问题转化、新定义"真指数"应用|结合奇偶性、不等式，实现性质综合与方法迁移| |创新拓展|2题|双曲函数性质推导、纳皮尔对数模型应用|关联跨学科情境，发展数学眼光与创新意识|

课时分层测评14　指数函数 (时间：60分钟　满分：85分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (1－8题，每小题5分，共40分) 1.(2026·湖北荆州模拟)2a＞2b是＞的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：由指数函数的单调性可得2a＞2b⇔a＞b，由＞可得a＞b＞0，而由a＞b不能推出＞，如2＞－1，但没有意义，所以2a＞2b是＞的必要不充分条件.故选B. 2.已知函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与函数y＝(b＞0，且b≠1)的图象如图所示，则(　　) A．a＞b＞1 B．a＞1＞b＞0 C．b＞1＞a＞0 D．b＞a＞1 答案：A 解析：由图得a＞1，0＜＜1，所以b＞1.因为函数y＝(b＞0，且b≠1)的图象与函数y＝bx(b＞0，且b≠1)的图象关于y轴对称，如图所示.由图可知a1＞b1，则a＞b＞1.故选A. 3.(2026·福建福州模拟)已知a＝1.50.6，b＝1.50.7，c＝0.70.6，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a 答案：C 解析：因为y＝1.5x是增函数，又0＜0.6＜0.7，所以b＞a＞1.又y＝0.7x是减函数，所以c＝0.70.60＜0.70＝1，则b＞a＞c．故选C． 4.(2026·广东广州模拟)若函数f(x)＝在区间单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：令t＝x(x＋a)，又y＝在R上单调递减，所以要使f(x)＝在区间单调递增，则t＝x(x＋a)在区间单调递减，所以由t＝x(x＋a)＝(x＋)2－的开口向上且对称轴为x＝－得－≥2，解得a≤－4.故选D. 5.(多选)(2026·吉林长春模拟)已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)单调递增 B．函数f(x)值域为(0，2) C．函数f(x)的图象关于(0，1)对称 D．函数f(x)的图象关于(1，1)对称 答案：ABD 解析：f(x)＝＝＝2－，设函数y＝2－，t＝2x－1＋1，则t＞1.又内层函数t＝2x－1＋1在R上单调递增，外层函数y＝2－在(1，＋∞)上单调递增，所以根据复合函数单调性的法则可知，函数f(x)单调递增，故A正确；因为2x－1＋1＞1，所以0＜＜2，则0＜2－＜2，所以函数f(x)的值域为(0，2)，故B正确；f(2－x)＝＝＝，f(2－x)＋f(x)＝2，所以函数f(x)关于点(1，1)对称，易知f(－x)＋f(x)≠2，故C错误，D正确.故选ABD. 【教师备选】　(多选)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的定义域是R B．函数f(x)的值域为(－1，1) C．函数f(x)是奇函数 D．函数f(x)为减函数 答案：ABC 解析：对于A，因为ex＞0，所以ex＋1＞0，所以函数f(x)的定义域是R，故A正确；对于B，f(x)＝＝1－，由ex＞0⇒ex＋1＞1⇒0＜＜1⇒－2＜－＜0⇒－1＜1－＜1，所以函数f(x)的值域为(－1，1)，故B正确；对于C，因为f(－x)＝＝＝＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，故C正确；对于D，因为函数y＝ex＋1是增函数，所以y＝ex＋1＞1，所以函数y＝是减函数，所以函数y＝－是增函数，故f(x)＝＝1－是增函数，故D不正确.故选ABC. 6.(多选)设f(x)＝，c＜b＜a，且f＞f(a)＞f，则下列关系式中一定成立的是(　　) A.3c＜3b B.3c＞3b C.3c＋3a＞2 D.3c＋3a＜2 答案：AD 解析：f(x)＝＝则f(x)的图象如图所示.因为c＜b＜a，所以若0＜c＜b＜a，则f＜f＜f(a)，这与已知f＞f(a)＞f矛盾.同理，c＜b＜a＜0也不成立，所以只有c＜0＜b＜a或c＜b＜0＜a这两种情况.所以3c＜3b，故B一定不成立，故A成立；又f－f(a)＞0，即1－3c－＞0，所以3c＋3a＜2，故D一定成立，C一定不成立.故选AD. 7.已知函数f(x)＝若对任意的x1≠x2，均有＜，则实数a的取值范围是　　． 答案： 解析：因为对任意的x1≠x2，均有＜，即＜0，所以f(x)在R上单调递减.由y＝单调递减得0＜a＜1.因为指数函数y＝3x单调递增且恒大于零，则由y＝单调递减可得a＞0，故解得0＜a≤. 8.(开放题)(2026·山东临沂模拟)已知函数f(x)的定义域为D，∀x1，x2∈D，且x1≠x2，写出满足以下两个条件①②的函数f(x)＝　　　　．条件①：＞0，条件②：f＝f(x1)f(x2)． 答案：ex(答案不唯一) 解析：设f(x)＝ex，则f(x)为R上的增函数，此时＞0必成立，而f＝＝×＝f(x1)f(x2)，故f(x)满足性质①②(答案不唯一). 9.(10分)已知函数f(x)＝2x－a·2－x，g(x)＝x＋． (1)当a＝－2时，解关于x的方程f(x)＝3； (2)若对∀x1∈，∃x2∈，使得f(x1)＝g(x2)，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝－2时，2x＋＝3，令t＝2x，则t＋＝3即t2－3t＋2＝0，t＞0， 解得t＝1或t＝2，即2x＝1或2x＝2，解得x＝0或x＝1. (2)设f(x)在上的值域为A，g(x)在(0，＋∞)上的值域为B，则A⊆B． 因为x∈，所以g(x)＝x＋≥2，当且仅当x＝即x＝1时等号成立， 所以B＝． 因为A⊆B，所以f(x)＝2x－a·2－x≥2对∀x∈恒成立， 即a≤－2·2x对∀x∈恒成立. 令u＝2x，则y＝u2－2u＝(u－1)2－1，u∈， 当u＝1时，ymin＝－1，所以a≤－1. 所以实数a的取值范围是(－∞，－1］． (10、11题，每小题5分，共10分) 10.(2026·广东汕头模拟)已知和是函数y＝2x图象上的两点，则(　　) A.y1＋y2≥ B.≤ C.y1y2≥＋＋ D.≥ 答案：D 解析：已知(x1，y1)和(x2，y2)是函数y＝2x图象上的两点，可得y1＝，y2＝，由于＞0，＞0，因此y1＋y2＝＋≥2＝2×，当且仅当＝，即x1＝x2时等号成立.得≥.故选D. 11.(新定义)(多选)定义“真指数”：＝(e为自然对数的底数)，则(　　) A.≤· B.≥ C.≤ D.＋≥2 答案：ABD 解析：设f(x)＝，依题意作出函数f(x)的图象如图所示.则函数f(x)不存在减区间，且对任意的x，y∈R，当x≤y时，f(x)≤f，≤，且f(x)≥1.对于A，当x1≥0，x2≥0时，则x1＋x2≥0，所以＝＝·＝·，符合题意；若x1＜0，x2＜0时，则x1＋x2＜0，所以＝1＝1×1＝·，符合题意；若x1≥0，x2＜0，则x1＋x2＜x1，所以·＝≥，若x2≥0，x1＜0，同理可知≤·，综上所述，≤·，故A正确；对于B，①若x1＜0，x2＜0，则＝1≤，符合题意；②若x1≥0，x2≥0，则＝＝，若x1－x2≥0，则＝，此时＝，若x1－x2＜0，则＝1，此时＝1＞＝，故当x1≥0，x2≥0时，≥，符合题意；③若x1≥0，x2＜0，则x1－x2＞x1≥0，＝＞＝，符合题意；④若x1＜0，x2≥0，则x1－x2≤x1＜0，＝1，＝≤1，则≥，符合题意.综上所述，≥，故B正确；对于C，不妨取x1＝1，x2＝－1，则＝＝1，＝e－1＝，此时＞，故C错误；对于D，若x1≥0，x2≥0，则x1＋x2≥0，由基本不等式可得＋＝＋≥2＝2＝2，当且仅当x1＝x2时，等号成立，符合题意；若x1＜0，x2＜0，则x1＋x2＜0，＋＝1＋1＝2＝2，符合题意；若x1≥0，x2＜0，则x1＞x1＋x2，则＋＝＋1≥2＝2＝2≥2，当且仅当x1＝0时等号成立，若x1＜0，x2≥0，同理可知＋≥2，综上所述，＋≥2，故D正确.故选ABD. 12.(15分)已知定义域都为R的函数f(x)与g(x)满足：f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝2·3x． (1)求函数f(x)、g(x)的解析式； (2)直接说明函数g(x)的单调性，并解关于x的不等式：g＋g＞0； (3)设p(x)＝，h(x)＝f－2g(x)＋2m－3，对于∀x1∈R，都∃x2∈，使得p(x1)＝h(x2)，求实数m的取值范围． 解：(1)依题意，知f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝2·3－x，且f(x)＋g(x)＝2·3x， f(x)＝3x＋3－x，两式相减可得g(x)＝3x－3－x． (2)由y＝3x，y＝－3－x在R上均单调递增，故g(x)在R上单调递增. 由g＋g＞0，则g＞－g＝g(6－x)， 所以x2＋4x＞6－x，即x2＋5x－6＝(x＋6)(x－1)＞0，可得x＜－6或x＞1， 所以原不等式的解集为(－∞，－6)∪(1，＋∞). (3)x∈R时，p(x)＝＝1－，又0＜＜2，故p(x)∈(－1，1)， x≥0时，h(x)＝f－2g(x)＋2m－3＝32x＋3－2x－2(3x－3－x)＋2m－3＝(3x－3－x)2－2(3x－3－x)＋2m－1. 令t＝3x－3－x，则t≥0， 则h(x)＝F2＋2m－2≥2m－2， 由∀x1∈R，都∃x2∈，使得p(x1)＝h(x2)，只需2m－2≤－1，即m≤. 所以实数m的取值范围是(－∞，］． (每小题5分，共10分) 13.(多选)(2026·广东广州模拟)双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数sh(x)＝，双曲余弦函数ch(x)＝，双曲正切函数th(x)＝，且当x＞0时有th(x)＜x，则下列选项正确的是(　　) A．2－2＝1 B．th(x)的值域为 C．th(x)＋th＞0，则x＜1 D．f(x)＝，则f＞f 答案：ABD 解析：对于A，－＝－＝＝1，故A正确；对于B，th(x)＝＝＝＝＝1－.因为e2x＞0，则e2x＋1＞1，故0＜＜1，故th(x)＝1－∈，即函数th(x)的值域为，故B正确；对于C，对任意的x∈R，ex＋e－x＞0，故函数th(x)的定义域是R，th(－x)＝＝－th(x)，即函数th(x)为奇函数，任取x1，x2∈R，且x1＞x2，则＞＞0，所以th(x1)－th(x2)＝－＝－＝＞0，即th(x1)＞th(x2)，故函数th(x)为R上的增函数，且为奇函数，由th(x)＋th＞0可得th(x)＞－th＝th，故x＞2－x，解得x＞1，故C错误；对于D，f(x)＝(x－1)[sh(x)＋ch(x)]＝ex，当x＞0时，由th(x)＝＜x整理可得ex＞e－x，即f(x)＞f(－x)，故f＞f，故D正确.故选ABD. 14.纳皮尔精确的对数定义来源于一个运动的几何模型：假设有两个沿两平行直线运动的动点C和F，其中点C从线段AB的端点A向B运动，点F从射线DE的端点D出发向E运动，其中AB的长为a，DE的长无限大.若DF的长度满足在第t秒时DF＝3t，CA的长度满足在第t秒时CA＝a－，记DF＝x，CB＝y，则x是关于y的一个对数函数.根据以上定义，当y＝时，则x＝　　　　　　　. 答案：18 解析：依题意，知第t秒时y＝a－＝.令y＝得，＝，解得t＝6.又因为第t秒时x＝3t，所以当y＝时，x＝3×6＝18. 学科网（北京）股份有限公司 $