第2章 第8讲 函数的奇偶性、周期性(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

**基本信息** 聚焦函数奇偶性与周期性，以分层训练构建"定义理解-性质应用-综合创新"的方法体系，通过典例提炼可迁移的解题逻辑，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|8题（含多选、开放题）|奇偶性定义判断法、周期递推公式法、多题同解模型|从奇偶性定义（如f(-x)=±f(x)验证）到周期性推导（如f(x+T)=f(x)），形成"概念-性质-简单应用"链条| |综合运用|3题（含解答题）|函数构造法（如构造奇函数g(x)=f(x)-1）、周期数列求和法|结合单调性与奇偶性（如第10题）、周期与分段函数（如第12题），实现性质交叉应用| |创新拓展|2题|抽象函数性质推导（如周期与奇偶性叠加）|通过抽象函数（如第14题）深化性质内在联系，培养逻辑推理与创新意识|

课时分层测评9　函数的奇偶性、周期性 (时间：60分钟　满分：85分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (1－8题，每小题5分，共40分) 1.(2026·重庆北碚区模拟)下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是(　　) A．f(x)＝－ B．f(x)＝ex＋e－x C．f(x)＝tan 2x D．f(x)＝2x 答案：D 解析：对于A，f(x)＝－是奇函数，在其定义域上不单调，故A错误；对于B，因为f(x)＝ex＋e－x，x∈R，所以f(x)＝f(－x)，即f(x)是偶函数，故B错误；对于C，由正切函数性质得f(x)＝tan 2x在其定义域上不单调，故C错误；对于D，f(x)＝2是奇函数，在其定义域上单调递增，故D正确.故选D. 2.(2026·江西南昌模拟)已知函数f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝，则f(1)＝(　　) A．－ B． C．－6 D.6 答案：C 解析：因为函数f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，当x＜0时，f(x)＝＝－6.故选C． 3.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＝，且0＜x＜3时，f(x)＝2x，则f(605)＝(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 答案：A 解析：因为f(x＋3)＝，故f(x＋6)＝＝f(x)，所以函数f(x)的周期为6，故f(605)＝f(5)＝f(2＋3)＝＝1.故选A． 4.(2025·山东济南一模)已知函数f(x)＝则f＋f＞0的解集为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：当x＞0时，f(x)＝1－ex，－x＜0，f(－x)＝e－(－x)－1＝ex－1＝－f(x)；当x＜0时，f(x)＝e－x－1，－x＞0，f(－x)＝1－e－x＝－f(x)；且当x＝0时，f(x)＝0，所以f(x)为奇函数，易知f(x)为R上的递减函数，则f＋f＞0⇔f＞－f＝f⇒2x＜3－x⇒x＜1，所以原不等式的解集为.故选A. 5.(多选)(2026·江苏淮安模拟)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则下列说法正确的是(　　) A．f＝－3 B．f＝13 C．f(x)在上是单调减函数 D．函数f(x)仅有一个零点 答案：AD 解析：对于A，因为f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b，可得f(0)＝20＋b＝0，解得b＝－1，所以f(x)＝2x＋2x－1，则f＝－f＝－(21＋2－1)＝－3，故A正确；对于B，由f＝－f＝－(23＋2×3－1)＝－13，故B不正确；对于C，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1在(0，＋∞)是单调递增函数，又因为f(x)为在R上的奇函数，所以f(x)在(－∞，0)也是递增函数，故C不正确；对于D，由f(0)＝0，且f(x)在(－∞，0)和[0，＋∞)是单调递增函数，所以函数f(x)仅有一个零点，故D正确.故选AD. 6.(多选)(2026·福建泉州模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则下列说法正确的是(　　) A．f(π)＝4－π B．f(x)是周期为4的周期函数 C．当1≤x≤3时，f(x)＝2－x D．当－4≤x≤4时，方程f(x)＝m(－1≤m＜0)的所有实根之和为4 答案：BC 解析：由f(x＋2)＝－f(x)得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则周期T＝4，故B正确；又当0≤x≤1时，f(x)＝x，所以f(π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝π－4，故A错误；当－1≤x≤0时，则0≤－x≤1，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－(－x)＝x，所以当－1≤x≤1时，f(x)＝x，当1≤x≤3时，则－1≤x－2≤1，因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(x－2)＝－(x－2)＝2－x，故C正确；作出函数f(x)在［－4，4］的图象，如图，则f(x)的最小值为－1，若m＝－1，则方程f(x)＝m在［－4，4］的解为x1＝－1，x2＝3，则x1＋x2＝2；若－1＜m＜0，则方程f(x)＝m在［－4，4］的解共有4个，设从小到大依次为x1，x2，x3，x4，根据对称性可知x1＋x2＝－2，x3＋x4＝6，所以x1＋x2＋x3＋x4＝4，故D错误．故选BC． 7.(开放题)(2025·江苏苏州模拟)请写出一个同时满足以下三个条件的函数f(x)＝　　　　． ①f(－x)＋f(x)＝0，②f＝f(x)，③f(x)不是常数函数． 答案：tan x(答案不唯一) 解析：条件①f(－x)＋f(x)＝0，函数f(x)为奇函数，条件②f＝f(x)，函数f(x)周期为π，可考虑三角函数，函数解析式可以为f(x)＝tan x(答案不唯一)． 8.(多题同解)(1)若f(x)＝ax＋sin为偶函数，则a＝　　　　，若f(x)＝(＋1)x2 027为偶函数，则a＝　　　　． (2)(一题多解)若函数f(x)＝是定义在R上的奇函数，则a＝　　　　． 答案：(1)0　1　(2) 解析：(1)第一空：由f(x)＝ax＋sin，x∈R得f(x)＝ax＋cos x，依题意，可知f(－x)＝－ax＋cos x＝ax＋cos x＝f(x)，可得2ax＝0恒成立，所以a＝0. 第二空：函数f(x)＝＋1的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，若f(x)为偶函数，则g(x)＝＋1是奇函数，所以g(x)＋g(－x)＝0，即(＋1)＋(＋1)＝－＋2＝0，所以a＋1＝2，解得a＝1. (2)法一：因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以＝－，即＝，所以＝，即x－ax＝ax，解得a＝. 法二：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(1)＋f(－1)＝0，即＝－，整理解得a＝. 法三：f(x)＝得，f(x)＝＝.因为y＝sin x是奇函数，又f(x)是奇函数，所以函数y＝e－ax＋e(1－a)x是偶函数，所以－a＋(1－a)＝0，解得a＝. 9.(10分)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈［0，2］时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x∈［2，4］时，求f(x)的解析式； (3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 026)． 解：(1)证明：因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． 所以f(x)是周期为4的周期函数． (2)当x∈［－2，0］时，－x∈［0，2］，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2. 又f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，所以f(x)＝x2＋2x． 又当x∈［2，4］时，x－4∈［－2，0］，所以f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)． 又f(x)是周期为4的周期函数，所以f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8. 从而求得x∈［2，4］时，f(x)＝x2－6x＋8. (3)f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数， 所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)＝0， f(2 024)＋f(2 025)＋f(2 026)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝1， 所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 026)＝1. (10、11题，每小题5分，共10分) 10.(2026·湖北武汉模拟)已知函数f(x)＝－x3，则满足不等式f＋f＞2的实数m的取值范围是(　　) A．m＜ B．m＞ C．m＜－ D．m＞－ 答案：C 解析：设g(x)＝f(x)－1＝－x3－1＝－x3＝－x3.g(x)的定义域是R，关于原点对称，g(－x)＝－(－x)3＝＋x3＝－g(x)，所以g(x)是奇函数.由题知g(x)在R上单调递减，由f＋f＞2得[f(m＋2)－1]＋＞0，即g(m＋2)＋g＞0，g＞－g＝g(1－2m).因为g(x)在R上单调递减，所以m＋2＜1－2m，解得m＜－，故选C. 11.(2026·浙江杭州模拟)已知函数f(x)满足f＝2，且对∀x∈R，f＝1－，则满足f≤1 015的正整数n的最大值为(　　) A.2 026 B.2 027 C.2 028 D.2 029 答案：C 解析：依题意，f＝1－＝1－＝，f＝1－＝1－＝f(x)，所以函数是周期为3的周期函数.又f＝2，f＝1－＝，f＝1－＝－1，f＝675×＋2＝，f＝675×＋2＋＝1 015，f＝676×＝1 014，f＝676×＋2＝1 016，所以满足f≤1 015的正整数n的最大值为2 028.故选C. 12.(15分)(一题多问)已知f(x)是定义在［－1，1］上的偶函数，且x∈［－1，0］时，f(x)＝． (1)求函数f(x)的表达式； (2)判断并证明函数f(x)在区间［0，1］上的单调性； (3)解不等式f(1－a)－f(3＋a)＜0. 解：(1)当x∈(0，1］时，－x∈［－1，0)，因为f(x)是定义在［－1，1］上的偶函数， 所以f(x)＝f(－x)＝－， 因此f(x)＝ (2)函数f(x)在区间［0，1］上单调递减． 证明如下：设x1，x2是［0，1］上任意两个实数，且x1＜x2，则有0≤x1＜x2≤1，由(1)可知f(x)＝－，x∈［0，1］， 于是f(x1)－f(x2)＝－． 因为0≤x1＜x2≤1，所以x1－x2＜0，x1x2＜1， 所以f(x1)－f(x2)＞0⇒f(x1)＞f(x2)， 所以函数f(x)在区间［0，1］上单调递减． (3)因为偶函数f(x)在区间［0，1］上单调递减， 所以f(1－a)－f(3＋a)＜0⇒f(1－a)＜f(3＋a)⇒解得a∈∅， 所以不等式f(1－a)－f(3＋a)＜0的解集为空集． (每小题5分，共10分) 13.(2026·山东青岛模拟)已知函数f(x)是R上的奇函数，且f(x)＝f，当x∈时，f(x)＝2x－3，则f＝(　　) A.2 B.1 C.0 D．－1 答案：D 解析：因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0.又f(x)＝f，所以f(x)＝f＝－f，则f＝－f(x)＝f，即f＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，则f＝f(0)＝0.因为当x∈时，f(x)＝2x－3，所以f＝－1.由f(x)＝f，则f＝f(0)＝0，f＝f＝－f＝1，则f＋f＋f＋f＝－1＋0＋1＋0＝0，则f＝506×[f(1)＋f＋f＋f]＋f＝－1.故选D. 14.(2025·浙江宁波模拟)设f(x)，g(x)是定义在R上的函数，则下列说法正确的是(　　) A．若f为偶函数，则f(x)为偶函数 B．若f为奇函数，则f(x)为奇函数 C．若f(x)为单调函数且f为周期函数，则g(x)为周期函数 D．若f为单调函数且g(x)为单调函数，则f(x)为单调函数 答案：C 解析：对于A，不妨设f(x)＝当x≠±1时，f＝f，且f＝f＝0，f＝f(0)＝0，故f为偶函数，但f(x)＝不是偶函数，故A错误；对于B，令f(x)＝当x∉时，f＝f(x)＝x，f＝f＝1，f＝f＝2，所以f恒等于x，单调递增且为奇函数，但f(x)＝不是单调函数，也不是奇函数，故B错误；对于C，f(g(x))为一个周期为T的函数，则f(g(x＋T))＝f(g(x))．又f(x)为单调函数，所以g(x＋T)＝g(x)，则g(x)为一个周期为T的周期函数，故C正确；对于D，若g(x)的值域不是R，则无法判断该值域以外的部分f(x)是否单调，例如g(x)＝ex，f(x)＝，f＝ex单调递增，且g(x)单调递增，但f(x)不是单调函数，故D错误．故选C． 学生用书⬇第31页 学科网（北京）股份有限公司 $