第2章 第7讲 函数的单调性和最值(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

**基本信息** 以函数单调性和最值为核心，通过分层训练系统整合定义法、图象法、复合函数法则等解题方法，构建从基础到创新的知识逻辑链，培养逻辑推理与数学抽象素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固练|8题|定义法/图象法判断单调性、复合函数单调性法则、基本不等式求最值|从基本函数单调性到简单应用，强化概念生成与直接应用| |综合运用练|3题|分离参数法、二次函数分类讨论、新定义转化|单调性与最值综合，构建原理推导与问题解决的逻辑联系| |创新拓展练|2题|定义法证明单调性、新定义问题建模|复杂情境中单调性迁移，发展数学建模与创新意识|

课时分层测评8　函数的单调性和最值 (时间：60分钟　满分：95分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (1－8题，每小题5分，共40分) 1.(2026·北京顺义模拟)下列函数中，单调递增且值域为的是(　　) A．y＝x2 B．y＝ C．y＝3x－1 D．y＝log2x 答案：B 解析：对于A，函数在上单调递减，在上单调递增，故A不满足函数的单调性；对于B，函数在上单调递增，且函数值域为，故B满足题意；对于C，函数在R上单调递增，且函数值域为，故C函数的值域不满足条件；对于D，函数在上单调递增，值域为R，故D函数的值域不满足条件.故选B. 2.函数f(x)＝x2－4＋3的单调递增区间是(　　) A． B．和 C． D．和 答案：D 解析：因为f(x)＝x2－4作出f(x)的图象，如图所示．由图象可知：函数f(x)的单调递增区间是(－2，0)和(2，＋∞)．故选D． 3.(2026·陕西西安模拟)若函数f(x)＝2x2＋ax－3在上单调，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：因为函数y＝2x在R上为增函数，y＝x2＋ax－3在上为减函数，在上为增函数，且函数f(x)＝上单调，根据复合函数的单调性，可得－≤1，即a≥－2.故选A. 4.(2026·陕西渭南模拟)定义一种运算a△b＝则函数f(x)＝x△21－x的最大值为(　　) A.1 B.2 C.0 D． 答案：A 解析：记g(x)＝x－21－x＝x－2·，由y＝x为定义域上的单调递增函数，y＝2·为定义域上的单调递减函数，由单调性的性质可知g(x)为定义域上的单调递增函数.又g＝1－20＝0，故由x≤21－x可得g(x)≤0＝g，解得x≤1；由x＞21－x可得g(x)＞0＝g，解得x＞1.所以f(x)＝x△21－x＝当x≤1时，f(x)＝x∈；当x＞1时，则1－x＜0，f(x)＝21－x∈.综上所述，当x＝1时函数f(x)取到最大值为1.故选A. 5.(多选)已知函数f(x)＝x－(a≠0)，下列说法正确的是(　　) A．当a＞0时，f(x)在定义域上单调递增 B．当a＝－4时，f(x)的单调递增区间是(－∞，－2)，(2，＋∞) C．当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4］⋃［4，＋∞) D．当a＞0时，f(x)的值域为R 答案：BCD 解析：当a＞0时，f(x)＝x－，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞).因为f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，在定义域上不单调，故A错误；又当x→－∞时，f(x)→－∞，当x→0－时，f(x)→＋∞，所以f(x)的值域为R，故D正确；当a＝－4时，f(x)＝x＋，由其图象(图略)可知B、C正确.故选BCD. 6.(新定义)(多选)(2026·安徽马鞍山模拟)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足：对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有＞0，则称函数f(x)为“理想函数”．给出下列四个定义域为(0，＋∞)的函数，其中能被称为“理想函数”的有(　　) A．f(x)＝1 B．f(x)＝x2 C．f(x)＝x2＋1 D．f(x)＝x2＋x 答案：BD 解析：依题意可得，当x1≠x2时，恒有＞0.令x1＞x2，故x2f(x1)－x1f(x2)＞0.又f(x)定义在(0，＋∞)上，故＞，即在(0，＋∞)上单调递增.对于A，＝在(0，＋∞)上单调递减，故A不正确；对于B，＝x在(0，＋∞)上单调递增，故B正确；对于C，＝x＋在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故C不正确；对于D，＝x＋1在(0，＋∞)上单调递增，故D正确.故选BD. 7.(开放题)(2026·陕西宝鸡模拟)若一个函数的定义域是R，值域为，则它的解析式可能为　　． 答案：y＝2x＋1(答案不唯一) 解析：函数的定义域是R，值域为，所以可取y＝2x＋1. 8.(2026·江西瑞金模拟)已知函数y＝2x＋22－x的最小值为a，则f(x)＝的值域为　　　　． 答案：⋃ 解析：因为2x＋22－x≥2＝4，当且仅当x＝1时取等号，所以a＝4，f(x)＝.易知f(x)的定义域是∪，当x＞0时，3x－1＞0，则＞0；当x＜0时，－1＜3x－1＜0，则＜－4，所以f(x)的值域为(－∞，－4)∪(0，＋∞). 9.(10分)(2026·江西九江模拟)已知f(x)＝是定义在［－2，2］上的函数，若满足f(x)＋f(－x)＝0且f(1)＝． (1)求f(x)的解析式； (2)(一题多解)设函数g(x)＝x2－2mx＋4(m∈R)，若对任意x1，x2∈［1，2］，都有g(x2)＜f(x1)恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)x∈［－2，2］，且f(x)＋f(－x)＝0， 所以f(x)为奇函数． 将x＝0代入f(x)＋f(－x)＝0可得f(0)＝0， 即＝0，所以c＝0， 即f(x)＝，因为f(1)＝， 所以f(－1)＝－，代入可得 解得故f(x)＝. 因为f(x)＝，所以f(－x)＝＝－f(x)，函数为奇函数，满足题意，故f(x)＝. (2)由题意可知，g(x2)max＜f(x1)min，设1≤a＜b≤2， 则f(b)－f(a)＝ ＝． 因为1≤a＜b≤2，所以b－a＞0，4－ab＞0，所以f(b)－f(a)＞0，即f(b)＞f(a)， 故函数f(x)＝在[1，2]上单调递增，最小值为f(1)＝. 法一：g(x)＝x2－2mx＋4＜在[1，2]上恒成立，只要2m＞， y＝x＋上单调递减，在上单调递增， 当x＝1时，x＋＝， 当x＝2时，x＋＝＜， 故当x＝1时，＝，所以m＞. 所以实数m的取值范围为(，＋∞). 法二：g(x)＝x2－2mx＋4＝＋4－m2，x∈[1，2]， 当m≤时，g(x)max＝g(2)＜，即4－4m＋4＜，解得m＞，舍去； 当m＞时，g(x)max＝g(1)＜，即1－2m＋4＜，解得m＞，因此m＞. 综上所述，实数m的取值范围为(，＋∞). (10、11题，每小题5分，共10分) 10.(2025·山东泰安一模)若＋log5a＝16b＋2log25，则(　　) A．a＜b8 B．a＞b8 C．a＞8b D．a＜8b 答案：D 解析：依题意，得a，b＞0，则16b＋2log25＝24b＋log5＜24b＋log5，即＋log5a＜24b＋log5，令f(x)＝2x＋log5(2x)，y＝f(x)在R上单调递增，则f＝＋log5a，f＝24b＋log5，即f＜f，故＜4b，即a＜8b.故选D. 11.(2026·安徽淮北模拟)已知函数f(x)＝则不等式f≥f的解集为(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：当2a－1≥0，即a≥，又可得a2≥0，当x≥0时，f(x)＝上单调递增，由f≥f，可得a2≥2a－1，解得a≥；当－1≤2a－1＜0，即0≤a＜时，由f≥f(2a－1)，可得a≥－，所以4a2－7a＋2≤0，解得≤a＜；当2a－1＜－1，即a＜0，由f≥f，得－a≥－，所以4a2－5a＋2≤0，因为Δ＝－4×4×2＜0，所以不等式4a2－5a＋2≤0无解.综上所述：不等式f≥f的解集为.故选C. 12.(15分)(一题多问)已知a∈R，函数f(x)＝x2＋的定义域为(1，＋∞)． (1)求f(2)的值(用含a的式子表示)； (2)若函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围； (3)在(2)的条件下，若对(1，＋∞)内的任意实数x，不等式f＞4＋恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)由函数f(x)＝x2＋可得，f(2)＝22＋＝4＋. (2)任取x1＞x2＞1，则f(x1)－f(x2)＝(＋)－＝(－)＋＝(x1－x2)·. 因为函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x1)－f(x2)＞0. 因为x1＞x2＞1，所以x1－x2＞0，x1x2＞0， 所以(x1＋x2)x1x2－a＞0，即a＜(x1＋x2)x1x2恒成立． 因为x1＞x2＞1，所以x1＋x2＞2，x1x2＞1，所以(x1＋x2)x1x2＞2，所以a≤2. 故实数a的取值范围是(－∞，2］． (3)由(1)可知f(2)＝4＋， 所以不等式f＞4＋可化为f(ex－)＞f(2). 因为f(x)在(1，＋∞)上单调递增， 所以ex－＞2恒成立， 即a＜(ex)2－2ex在(1，＋∞)上恒成立． 记g(x)＝(ex)2－2ex，x∈(1，＋∞)． 令t＝ex，则t＞e， 所以y＝t2－2t＝(t－1)2－1在(e，＋∞)上单调递增， 所以y＞e2－2e，所以a≤e2－2e． 故实数a的取值范围是(－∞，e2－2e］． 13.(5分)已知函数f(x)的定义域为D，若∀x∈D，都有f(x＋t)＞f(x)，t∈N*，则称函数f(x)为“t距”增函数．若函数f(x)＝2x2＋a|x|(a∈R)，且f(x)是(－1，＋∞)上的“3距”增函数，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，＋∞) B．(－3，＋∞) C．(－∞，－4) D．(－∞，－2) 答案：B 解析：因为函数f(x)＝2x2＋a|x|(a∈R)，且f(x)是(－1，＋∞)上的“3距”增函数，所以当x＞－1时，f(x＋3)＞f(x)恒成立．又因为y＝2x为增函数，所以(x＋3)2＋a(x＋3)＞x2＋a|x|．当x≥0时，(x＋3)2＋a(x＋3)＞x2＋ax，即2x＋a＋3＞0恒成立，于是a＋3＞0，解得a＞－3；当－1＜x＜0时，(x＋3)2＋a(x＋3)＞x2－ax，即2ax＋6x＋3a＋9＞0恒成立，整理得(2x＋3)(a＋3)＞0，解得a＞－3．综上，实数a的取值范围为(－3，＋∞)．故选B． 14.(15分)(新定义)(2026·广东韶关期末)设函数f(x)的定义域为D，对于区间I＝［a，b］(a＜b，I⊆D)，若满足以下两条性质之一，则称I为f(x)的一个“Ω区间”． 性质1： 对任意x∈I，有f(x)∈I； 性质2： 对任意x∈I，有f(x)∉I． (1)分别判断区间［1，4］是否为下列两函数的“Ω区间”，并说明理由． ①y＝－x＋5，②y＝． (2)若［0，2］是函数y＝－x2＋2mx的“Ω区间”，求实数m的取值范围． 解：(1)对于①，由一次函数y＝－x＋5的性质，得它在［1，4］上单调递减， 所以当x∈［1，4］时，y∈［1，4］，故区间［1，4］是y＝－x＋5的“Ω区间”． 对于②，由反比例函数y＝的性质得它在［1，4］上单调递减， 所以当x∈［1，4］时，y∈，此时不满足任意y∈［1，4］，也不满足任意y∉［1，4］， 故区间［1，4］不是y＝的“Ω区间”． (2)依题意，知［0，2］是函数y＝－x2＋2mx的“Ω区间”，f(0)＝0＋0＝0，所以f(x)＝－x2＋2mx满足性质1， ①若m≤0时，且x∈［0，2］，可知f(x)＝－x2＋2mx在x∈［0，2］上单调递减，所以解得m不存在，故舍去． ②若0＜m＜2时， f(x)在x∈上单调递增， 在x∈上单调递减，所以f(x)max＝f(m)， ． ③若m≥2时，f(x)在x∈［0，2］上单调递增， 解得m不存在，故舍去． 综上可知，若［0，2］是函数y＝－x2＋2mx的“Ω区间”，实数m的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $