第2章 第6讲 函数的概念与表示法(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

**基本信息** 聚焦函数概念与表示法，通过分层训练构建从定义域、分段函数到新定义函数的知识逻辑，题型覆盖基础应用与创新拓展，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固练|10题|定义域求解/分段函数求值/性质判断|函数概念生成→基本性质应用| |综合运用练|4题|值域与函数方程综合|概念拓展→综合问题解决| |创新拓展练|2题|新定义与图象变换创新|知识迁移→创新能力培养|

课时分层测评7　函数的概念与表示法 (时间：60分钟　满分：80分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (每小题5分，共50分) 1.(2026·北京东城模拟)下列函数中，定义域是(0，＋∞)的函数是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ln x C．f(x)＝2x D．f(x)＝tan x 答案：B 解析：对于A，要使得根号下有意义，则x≥0，即定义域是，故A错误；对于B，要使得对数有意义，则真数x＞0，即定义域是，故B正确；对于C，由指数函数的定义可知其定义域为R，故C错误；对于D，要使得正切函数有意义，则x≠kπ＋，k∈Z，即定义域是，故D错误.故选B. 2.(2026·湖北黄冈模拟)已知函数f(x)＝x2的定义域A⊆R，值域B＝，则满足条件的f(x)有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：C 解析：令f(x)＝x2＝9，则x＝±3，则满足条件的f(x)有f(x)＝x2，x∈；f(x)＝x2，x∈；f(x)＝x2，x∈，故满足条件的f(x)有3个.故选C. 3.(2026·吉林长春模拟)已知f(x)＝则f(f(－))＝(　　) A．－ B． C． D． 答案：A 解析：函数f(x)＝则f(－)＝＝，所以f(f(－))＝f()＝log2＝－.故选A. 4.若函数f(x)的定义域是［0，8］，则函数g(x)＝的定义域是(　　) A．(1，16) B．(1，16］ C．(1，4) D．(1，4］ 答案：D 解析：依题意，函数g(x)＝解得1＜x≤4.故选D． 5.德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者，用其名字命名的高斯函数为G(x)＝［x］，其中［x］表示不超过x的最大整数，例如＝－2，＝1.定义符号函数sgn(x)＝则sgn＋G＝(　　) A．－2 B．－1 C.1 D.2 答案：D 解析：因为2＜e＜3，由题意可得G＝2.故选D． 6.(2026·北京朝阳模拟)已知函数f(x)＝|x|－|x－2|＋1，则对任意实数x，有(　　) A．f(1－x)＝2－f(1＋x) B．f(－x)＝－f(x)－2 C．f(2－x)＝2＋f(x) D．f(2＋x)＝f(2－x) 答案：A 解析：因为f(x)＝－＋1＝作出函数图象，如图.由图象可知，函数图象关于点中心对称，故A正确；图象不关于点对称，故B错误；当x＝1时，f＝1≠2＋f＝3，故C错误；令x＝－1，则f(2－1)＝1≠f(3)＝3，故D错误.故选A. 7.(多选)设函数y＝f(x)在R上有定义，对于任一给定的正数p，定义函数fp(x)＝则称函数fp(x)为f(x)的“p界函数”．若给定函数f(x)＝x2－2x－1，p＝2，则下列结论正确的是(　　) A．fp＝f B．fp＝f C．fp＝f D．fp＝f 答案：ACD 解析：因为f(x)＝x2－2x－1，p＝2，所以f2(x)＝对于A，fp＝f2＝2，f＝f＝1＋2－1＝2，故A正确；对于B，fp＝f2＝4，f＝f＝4＋4－1＝7，故B错误；对于C，fp＝f2＝2，f＝f＝2，故C正确；对于D，fp＝f2＝－1，f＝f＝－1，故D正确.故选ACD. 8.(多选)(2026·四川绵阳模拟)已知定义在R上的函数f(x)＝且f＝9，则(　　) A．a的值可以为－1 B．a的值可以为2 C．若f(a)＝81，则a＝1 D．若m＞n，且f＝f(n)，则m的最大值为a＋3 答案：ACD 解析：对于A，当a＝－1时，f(x)＝ f＝f＝32＝9，符合题意，故A正确；对于B，当a＝2时，f(x)＝f＝f＝f＝35≠9，不符合题意，故B错误；对于C，f(a)＝f＝3a＋3＝81，则a＋3＝4，即a＝1，故C正确；对于D，当x≤a时，f(x)＝f，则函数的周期为3，由m＞n，f＝f(n)，要使m最大，则m＞a，n≤a，因为f(n)＝f，k∈N，当n＋3k＞a时，令m＝n＋3k，k取满足n＋3k＞a的最小正整数，当k＝1时，m取得最大值n＋3，又n≤a，则m的最大值为a＋3，故D正确.故选ACD. 9.(多题同解)(1)(2026·浙江杭州模拟)函数f(x)＝已知a∈R，则f＝　　　　． (2)设f(x)＝若f＝f(m＋1)，则m＝　　　　． 答案：(1)0　(2) 解析：(1)≤1时，f(a)＝0，f＝f(0)＝0；＞1时，f(a)＝，－1＜＜0，或0＜＜1，f＝0.综上所述，f＝0. (2)依题意，可知m＞0，当0＜m＜1时，m＋1＞1，所以由f＝f＝3m⇒m＝；当m≥1时，m＋1＞1，所以由f＝f得3(m－1)＝3m，无解.综上m＝. 10.(2026·黑龙江牡丹江期末)若函数f(x)＝的定义域是R，则实数m的取值范围是　　　　． 答案： 解析：函数f(x)＝的定义域是R，则2mx2－mx＋1＞0恒成立，当m＜0时显然不成立；当m＝0时，则1＞0恒成立，当m＞0时，Δ＝m2－8m＜0，解得0＜m＜8.综上所述：实数m的取值范围是． (每小题5分，共20分) 11.已知函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(－1，＋∞) C．［－1，1) D．(1，＋∞) 答案：C 解析：因为y＝x在单调递增，y＝－单调递增，所以当x≥1时，f(x)＝x－单调递增，则f(x)≥f＝0.又函数f(x)的值域是R，所以x＜1时，函数y＝(1－a)x＋2a的值域要取到的所有实数，所以1－a＞0，当1－a＞0时，即a＜1时，函数y＝(1－a)x＋2a单调递增，x→－∞时，y→－∞，故需1－a＋2a＝a＋1≥0，即a≥－1.所以－1≤a＜1.故选C. 12.(2026·吉林长春模拟)令函数h(x)＝2ln x＋3，再定义g(x)＝h(x)＋h，函数f(x)满足f(x)＋f＝g(x)，f(x)－f＝－［h(x)－h()］，则g·f＝(　　) A.3 B.6 C.9 D.18 答案：B 解析：因为h＝5＋1＝6. 又＝1.所以g＝6.故选B． 13.(多选)(2026·江西南昌模拟)对于任意的x，y∈R，函数f(x)满足f(x＋1)－f(x－1)＝f(2)＋4x－6，f(－2)＝6，则下列结论正确的是(　　) A．f(0)＝1 B．f(2)＝6 C．f(2 026)－f(2 024)＝8 100 D．f(6)＝36 答案：BC 解析：根据题意可知，函数f(x)满足f(x＋1)－f(x－1)＝f(2)＋4x－6，令x＝1，得f(2)－f(0)＝f(2)＋4－6，解得f(0)＝2，故A错误；令x＝－1，得f(0)－f(－2)＝f(2)－4－6，即f(2)＋f(－2)＝f(0)＋10.因为f(0)＝2，f(－2)＝6，所以f(2)＝6，故B正确；因为f(2)＝6，则f(x＋1)－f(x－1)＝4x，令x＝2 025，则f(2 026)－f(2 024)＝4×2 025＝8 100，故C正确；又f(6)＝f(4)＋4×5＝f(4)＋20，f(4)＝f(2)＋4×3＝18，则f(6)＝18＋20＝38，故D错误．故选BC． 14.(开放题)已知函数f(x)满足f＝f(x)＋1，则f(x)的解析式可以是　　　　(写出满足条件的一个解析式即可)． 答案：f(x)＝x(答案不唯一) 解析：设f(x)＝ax，由f＝f(x)＋1，代入可得，a＝ax＋1，解得a＝，所以f(x)＝x(答案不唯一，只要正确即可)． (每小题5分，共10分) 15.Dirichlet函数是近代分析学的重要研究对象，在微积分中有着非常广泛应用．已知Dirichlet函数的定义为D(x)＝若xD(x)≤g(x)，则g(x)可以是(　　) A．g(x)＝ B．g(x)＝x C．g(x)＝x2 D．g(x)＝ 答案：D 解析：若g(x)＝，当x∈Q时，取x＝2，则D＝1，此时xD(x)＞g(x)，故A错误；若g(x)＝x，当x∈∁RQ时，取x＝－，则D＝0，此时xD(x)＞g(x)，故B错误；若g(x)＝x2，当x∈Q时，取x＝，则D＝1，此时xD(x)＞g(x)，故C错误；若g(x)＝，当x∈Q时，D(x)＝1，此时x≤恒成立，即xD(x)≤g(x).当x∈∁RQ时，D(x)＝0，此时0＜恒成立，即xD(x)＜g(x)，故任意x∈R，均有xD(x)≤g(x)，故D正确.故选D. 16.(2026·广东深圳模拟)下列函数的图象绕坐标原点沿逆时针旋转后得到的曲线仍为一个函数的图象的有　　　　(写出对应编号)． ①f(x)＝x；②f(x)＝x2； ③f(x)＝ln(x≥0)；④f(x)＝x． 答案：①③④ 解析：利用运动是相对的，函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转，可以看作坐标轴绕坐标原点顺时针方向旋转，根据函数的定义，对于定义域内的每一个自变量x，都有唯一确定的函数值y与之对应，逆时针旋转后得到的曲线，如果仍为一个函数的图象，则曲线与任意一条垂直于x轴的直线最多只有一个交点，所以函数的图象与任一斜率为1的直线都最多只有一个交点，结合函数图象可知，对于①，f(x)＝x的图象与直线y＝x＋b都只有一个交点，故①正确；对于②，f(x)＝x2的图象与直线y＝x有两个交点，故②错误；对于③，f(x)＝ln(x≥0)，f′(x)＝，f′(0)＝1，所以f(x)＝ln处的切线方程为y＝x，f(x)＝ln的图象与直线y＝x＋b都最多只有一个交点，故③正确；对于④，f(x)＝x的图象与直线y＝x＋b都只有一个交点，故④正确．故答案为①③④． 学生用书⬇第23页 学科网（北京）股份有限公司 $