第1章 第3讲 不等式的性质(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

课时分层测评3　不等式的性质 (时间：60分钟　满分：80分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (每小题5分，共50分) 1.(2026·辽宁沈阳模拟)已知a，b均为正实数，若M＝a3＋b3，N＝a2b＋ab2，则(　　) A．M＜N B．M≤N C．M＞N D．M≥N 答案：D 解析：由a，b均为正实数，M＝a3＋b3，N＝a2b＋ab2，得M－N＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)≥0，当且仅当a＝b时取等号，所以M≥N．故选D． 2.(2026·山东泰安模拟)已知x，y∈R，则xy＜0是＝＋的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案：A 解析：当x＝y＝0时，成立，但xy＜0不成立，所以xy＜0是的不必要条件；若xy＜0，则，所以xy＜0是的充分条件．综上，xy＜0是的充分不必要条件．故选A． 3.(2026·北京昌平期末)已知a＞b＞0，d＜c＜0，则下列大小关系正确的是(　　) A．＞ B．＜ C．＞ D．＜ 答案：B 解析：因为d＜c＜0，所以＜.因为a＞0，所以a×＜a×，即＜.因为a＞b＞0，所以＜，综上，＜，故A错误，B正确；因为d＜c＜0，所以＞.因为a＞b＞0，所以＜，综上，无法判断大小，故C错误，D错误.故选B. 4.(2026·山西临汾模拟)若3≤a≤5，－2≤b≤1，则2a－b的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：由3≤a≤5，－2≤b≤1可得6≤2a≤10，－1≤－b≤2，故5≤2a－b≤12.故选D． 5.(2026·湖北武汉期末)已知正实数a，b满足＞1，则下列不等式一定成立的是(　　) A．b＞a＞0 B．a＋b＞2 C．a＋b＞ab＋1 D．b2＋2a＞a2＋2b 答案：D 解析：对于A，当a＞1时，a－1＞0，此时b－1＞a－1即b＞a＞1；当a＜1时，a－1＜0，此时b－1＜a－1即b＜a＜1，故A错误；对于B，当a＞1时，b＞a＞1，a＋b＞2成立；当a＜1时，b＜a＜1，a＋b＜2，故B错误；对于C，当a＞1时，取a＝2，b＝3，此时a＋b＝5，ab＋1＝7，不满足a＋b＞ab＋1；当a＜1时，取a＝0.5，b＝0.4，此时a＋b＝0.9，ab＋1＝1.2，不满足a＋b＞ab＋1，故C错误；对于D，b2＋2a＞a2＋2b等价于＞0，当a＞1时，b＞a＞1，a＋b＞2，此时b－a＞0，a＋b－2＞0，(b－a)(a＋b－2)＞0；当a＜1时，b＜a＜1，a＋b＜2，此时b－a＜0，a＋b－2＜0，＞0，故D正确.故选D. 6.(2026·浙江杭州模拟)在统计某学校所有选择理科和文科的学生数据中，发现理科生多于文科生，女生多于男生，则关于本次学生样本的数据中，结论一定成立的是(　　) A．理科男生多于文科女生 B．文科女生多于文科男生 C．理科女生多于文科男生 D．理科女生多于理科男生 答案：C 解析：根据已知条件设理科女生有x1人，理科男生有x2人；文科女生有y1人，文科男生有y2人．根据题意可知x1＋x2＞y1＋y2，x1＋y1＞x2＋y2，根据同向不等式可加的性质有x1＋x2＋x1＋y1＞y1＋y2＋x2＋y2，即x1＞y2，所以理科女生多于文科男生，故C正确，其他选项没有足够证据论证．故选C． 7.(多选)(2026·广东茂名模拟)下列命题正确的是(　　) A．若a＞b，则a2＞b2 B．若a＜b＜0，则b2＜ab＜a2 C．若a＞b＞0，＞，则m＜0 D．若2＜a＋b＜3，－1＜a－b＜2，则3＜3a＋b＜8 答案：BCD 解析：对于A，取a＝1，b＝－2，满足a＞b，但是a2＜b2，故A错误；对于B，因为a＜b＜0，不等式两边同时乘以负数a，不等号方向改变，所以a2＞ab，不等式两边同时乘以负数b，不等号方向改变，所以ab＞b2，所以b2＜ab＜a2，故B正确；对于C，因为a＞b＞0，－＝＝＝.又因为＞，所以＞0，而a＞b＞0，即b－a＜0，m＜0，所以m＜0，故C正确；对于D，设3a＋b＝x＋y，即3a＋b＝a＋b，则解得x＝2，y＝1，所以3a＋b＝2＋，又2＜a＋b＜3，则4＜2＜6，且－1＜a－b＜2，所以3＜2＋＜8，所以3＜3a＋b＜8，故D正确.故选BCD. 8.(多选)(2026·山东临沂模拟)已知a＞b＞c，则下列不等式正确的是(　　) A．＜ B．ab2＞cb2 C．a＋b＞c D．a2＋c2＞b2 答案：AD 解析：对于A，－＝＝.因为a＞b＞c，所以c－b＜0，a－c＞0，a－b＞0，即＜0，所以＜，故A正确；对于B，取a＞b＝0＞c，此时ab2＝cb2＝0，故B错误；对于C，取a＝－1＞b＝－2＞c＝－3，则a＋b＝c＝－3，故C错误；对于D，若a＞b＝0＞c，则a2＋c2＞b2＝0显然成立，若a＞b＞0＞c，则a2＋c2＞a2＞b2成立，若a＞0＞b＞c，则a2＋c2＞c2＞b2成立，若a＞b＞c≥0或c＜b＜a≤0时，则a2＋c2＞b2显然成立，综上所述，只要a＞b＞c，就一定有a2＋c2＞b2，故D正确.故选AD. 9.(开放题)(2026·北京海淀期中)能说明“若a＞b，则＜”为假命题的一组a，b的值依次为a＝　　；b＝　　　　． 答案：1　－1(答案不唯一，只要a＞0，b＜0或a＞0，b＝0或a＝0，b＜0均可) 解析：若，则由a＞b⇒ab＞0，因此假命题时，只要满足a＞0，b＜0或a＞0，b＝0或a＝0，b＜0即可，如a＝1，b＝－1(答案不唯一)． 10.已知f(n)＝－n，g(n)＝n－，φ(n)＝，则f(n)，g(n)，φ(n)的大小关系为　　　　　　　　． 答案：f(n)＜φ(n)＜g(n) 解析：f(n)＝－n＝＝φ(n)，g(n)＝n－＝φ(n)，所以f(n)＜φ(n)＜g(n)． (每小题5分，共20分) 11.(2026·北京丰台模拟)已知a＜b，c＜d，则下列不等式恒成立的是(　　) A．a－c＜b－d B．ac＜bd C．2a＋2c＜2b＋2d D．a2＋c2＜b2＋d2 答案：C 解析：对于A，举反例：取a＝1，b＝2，c＝3，d＝4，则a－c＝－2，b－d＝－2，显然－2＜－2不成立，故A不恒成立；对于B，举反例：取a＝－2，b＝－1，c＝－3，d＝－2，则ac＝6，bd＝2，显然6＜2不成立，故B不恒成立；对于C，由于指数函数y＝2x是严格递增函数，a＜b和c＜d分别推出2a＜2b和2c＜2d，因此2a＋2c＜2b＋2d恒成立，故C恒成立；对于D，举反例：取a＝－3，b＝2，c＝－4，d＝1，则a2＋c2＝25，b2＋d2＝5，显然25＜5不成立，故D不恒成立．故选C． 12.(多选)(2025·山东济南二模)已知实数a，b满足a＞，则下列不等关系一定成立的是(　　) A.2a＞2b＋1 B．a2＞4b C．a2＞b2＋1 D．a2＞b 答案：ABD 解析：因为a＞≥b＋1，所以a＞b＋1，所以2a＞2b＋1，故A正确；因为－4b＝≥0，所以≥4b.由a＞≥0，所以a2＞≥4b，故B正确；若a＝2，b＝－2，满足a＞，显然a2＞b2＋1不成立，故C错误；当b＋1≤1，则b≤0，必有a2＞0≥b；当b＋1＞1，则b＞0，故a＞b＋1＞b＞0，必有a2＞b，故D正确.故选ABD. 13.(2026·吉林长春模拟)正整数a，b满足3＜a＜b＜9，则的最大值为　　　　． 答案： 解析：，要使其最大，则a，b都最小即可．因为3＜a＜b＜9，且a，b为正整数，故取a＝4，b＝5，此时． 14.(新情境)(2025·江苏淮安模拟)希罗平均数(Heronian mean)是两个非负实数的一种平均数，若a，b是两个非负实数，则它们的希罗平均数H＝．记A＝，G＝，则A，G，H从小到大的关系为　　　　．(用“≤”连接) 答案：G≤H≤A 解析：由基本不等式可知，G≤A，当且仅当a＝b时等号成立.因为H－G＝－＝＝≥0，当且仅当＝，即a＝b时等号成立，所以H≥G.因为H－A＝－＝＝－≤0，当且仅当＝，即a＝b时等号成立，所以H≤A；综上所述，G≤H≤A，当且仅当a＝b时等号成立. (每小题5分，共10分) 15.(2026·福建莆田期末)a克糖水中含有b克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加m克糖(假设全部溶解)，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为＞，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是(　　) A．＜ B．＜ C．log8 5＜log16 10 D．＋＜ 答案：C 解析：对于A，＞＞2，＝＞，故A错误；对于B，＞，2＞0，＜，则＞，故B错误；对于C，由lg 8＞lg 5，lg 2＞0，得log85＝＜＝＝log1610，故C正确；对于D，＋＞＋＝，故D错误.故选C. 16.(多选)(2026·东北三省八校联考模拟)建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．现欲在原设计方案的基础上，同时增加住宅的窗户面积和地板面积，则下列有关说法正确的是(　　) A．若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变好 B．若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变差 C．若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差 D．若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差 答案：AD 解析：设窗户面积与地板面积分别为m，n，由题意可知0＜＜1，即0＜m＜n，按采光标准，窗户面积与地板面积的比值≥，且当越大时，住宅的采光条件越好.对于A、B，当a＞0时，－＝＝＞0，故0＜＜，所以若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变好，故A正确，B错误；对于C，若增加的窗户面积为s，则增加的地板面积为9s，故－＝＝＝.若＝，则－＝0，此时住宅的采光条件不变，故C错误；对于D，若增加的窗户面积为s，则增加的地板面积为11s，故－＝＝＝＜0，所以若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差，故D正确.故选AD. 学科网（北京）股份有限公司 $