精品解析：北京市石景山区2026年九年级综合练习（二模）数学

石景山区2026年初三综合练习 数学试卷 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效． 4．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每小题2分） 下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下图所示正三棱柱的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 算力是衡量国家竞争力的重要指标之一．近几年，我国智能算力增长迅猛．据统计，2024年底，我国智能算力约为次浮点运算/秒；2025年底，我国智能算力约为2024年底的2.2倍，达到次浮点运算/秒．则的值约为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有2个，黑球有n个．随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀．经过大量重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n的值为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 如果，那么代数式的值为（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知锐角．如图， （1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接； （2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交于点，，连接； （3）连接，，分别交，于点，． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线，，分别在，上，平分，平分，过点的直线与直线，分别交于点，（不与点，重合）． 有以下结论： ①；②；③； 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 10. 分解因式：___________． 11. 方程的解为________． 12. 在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则________（填“”，“”或“”）． 13. 能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为________，________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上，将沿轴向右平移得到，若四边形的面积为，则点的坐标为________． 15. 如图，矩形中，在上，连接，，将沿翻折，点的对应点恰好落在上．若，，则________，，两点间的距离为________． 16. 某校运动会上，名运动员参加米跑、立定跳远、实心球、跳高四项全能比赛．每个单项计分规则：第一名分，第二名分，第三名分，第四名分．四项比赛全部结束后，统计比赛结果，发现每个单项及总分无并列名次，总分第一名得分，且该运动员实心球得分低于另外三个单项得分；总分第三名得分，且该运动员实心球得分高于另外三个单项得分． （1）总分第一名的运动员，获得________个单项第一名； （2）总分第二名的运动员，在实心球项目中的得分为________分． 三、解答题（共分，第题每题分，第题每题分，第题每题分，第题分，第题分，第题分，第题每题分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． 求k的取值范围； 若k为负整数，求此时方程的根． 20. 在中，，是的中点，点在边上，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接并延长到点，使得，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长． 21. 《营造法式》是北宋官方颁布的建筑设计与施工规范，其创立的“材份制”规定所有建筑构件的尺寸均以“份”为基本单位，不同材等对应的份的实际长度（单位：寸）不同，具体如表： 材等 一等 二等 三等 四等 五等 六等 份实际长度（寸） 书中记载：栌斗的长度为份，高度为份；华栱的长度为份，高度为份；散斗的长度为份，高度为份．图为斗拱结构示意图，标注了栌斗、散斗、华栱等构件在整体斗拱结构中的具体位置与形态． 某考古队在一处建筑群遗址中，发现了两座采用不同材等建造的建筑遗存，出土了栌斗、华栱、散斗三种构件的完整标本．经精密测量，采用第一种材等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华栱实际高度之和为寸；采用第一种材等制作的散斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比为．判断该建筑群所用的两种材等分别对应几等材，并说明理由． 22. 在平面直角坐标系中，直线与的图象交于点． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，又小于函数的值，直接写出的取值范围． 23. 的发展使人们的生活更加便利和高效．某科技公司正在研制作业批改系统，为测试三款不同系统A，B，C的响应时间，分别记录它们批改同一批20份作业的响应时长（单位：秒），数据如下： a．A系统的响应时长：20，21，22，23，23，24，24，25，25，26，26，26，27，27，28，29，29，30，32，33 b．B系统的响应时长：23，24，24，25，25，25，26，26，26，26，26，26，27，27，27，28，28，28，29，29 c．三款系统响应时间的平均数、众数、方差： 系统 平均数 众数 方差 A 26 n 11.5 B m 26 C 27.05 25.5 15.25 （1）表中m的值为________，n的值为________； （2）已知系统响应时间的方差越小时，系统的响应时间越稳定．结合数据分布特点，可判断________款系统的响应时间更稳定（填“A”或“B”或“C”）； （3）为评估批改系统的准确性，工作人员测试10篇作业，记录以上三款系统A，B，C的评分与人工评分的误差绝对值（单位：分，且为非负整数），数据如下： 系统 评分 A 0，0，0，0，2，2，2，2，2，q B 0，2，1，3，1，1，0，2，3，1 C 0，1，1，0，1，1，2，2，q，p 根据公司制定的批改系统的准确性标准，误差数据需同时满足以下两个条件： ①误差绝对值的平均数不超过1.2分；②误差绝对值的中位数不超过1分． 已知只有两套系统的准确性达标，则p的最大整数值是________． 24. 如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，延长交于点C，过点C作的平行线，交于点D，交于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 为探究不同材质保温材料的保温性能，某物理兴趣小组选取甲、乙两种保温材料，制作了除保温层材质外，其余结构、容量均完全相同的两个保温杯进行实验．他们向两个保温杯中装入质量相同的水，用电加热器同时将两杯水加热至相同的初始温度后停止加热，并立即盖紧杯盖．记以甲材料为保温层的为1号杯，以乙材料为保温层的为2号杯，将两个保温杯置于恒定的相同室温环境中．在实验的第（从停止加热开始计时），记录1号、2号杯中水的温度分别为，（单位：），实验所得部分数据如表： 0 5 10 15 20 25 35 45 55 65 80 80.0 72.1 65.2 59.2 54.0 49.5 42.1 36.7 32.6 29.4 26.0 80.0 66.4 55.9 47.8 41.6 36.7 30.0 26.0 23.6 22.1 20.9 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系． （1）在同一平面直角坐标系中，已画出与的函数图象，且已描出与的部分对应点．请根据表格中的数据，补全表格中未描出的其余对应点，并用平滑的曲线画出与的完整函数图象． （2）根据以上数据与函数图象，解决以下问题： ①当时，1号杯和2号杯的水温相差________（精确到个位）； ②某种茶叶用的水冲泡，待茶水温度降至时饮用口感最佳．小石直接向1号杯和2号杯中分别倒入的水冲泡该茶叶（忽略冲泡过程中的热量损失）．从盖紧杯盖开始计时，1号杯茶水经过约________（精确到个位）后饮用口感最佳，此时2号杯中茶水的温度为________（精确到个位）． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求该抛物线的对称轴； （2），是抛物线上两点．过点作轴的垂线，交直线于点． ①当，时，比较，的大小； ②当时，线段的长随的增大而增大，求的取值范围． 27. 在中，，，为直线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． （1）如图1，当点在的延长线上且时，记，的交点为，连接．求证：； （2）如图2，当点在的延长线上时，取的中点，连接．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，给定图形和两点，．若图形上存在两个不重合的点，，使得将点沿方向平移线段的长度后得到的点与将点沿方向平移线段的长度后得到的点重合，则称点与点关于图形双向合． 已知点，，． （1）在点，，中，与原点关于线段双向合的点是________； （2）若点是的边上一点，且点与点关于线段双向合，求点的坐标； （3）点是直线上一动点，以为圆心作半径为的．当点运动时，对于上任意一点，都能在的边上找到一点，使得，两点关于双向合，直接写出点的纵坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石景山区2026年初三综合练习 数学试卷 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效． 4．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每小题2分） 下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下图所示正三棱柱的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据主视图的定义，从正面观察几何体，看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线，据此判断即可． 【详解】解：该几何体是正三棱柱，且根据立体图可知，其摆放方式为底面三角形的一条边在正前方，一个顶点在正后方， 从正面看，能看到正前方的一个侧面，其投影为矩形， 三棱柱后方有一条侧棱被前方的侧面挡住，不可见， 该侧棱在主视图中应画为虚线，且位于矩形的中间位置， 该几何体的主视图是中间有一条竖直虚线的矩形， 可知主视图是． 2. 算力是衡量国家竞争力的重要指标之一．近几年，我国智能算力增长迅猛．据统计，2024年底，我国智能算力约为次浮点运算/秒；2025年底，我国智能算力约为2024年底的2.2倍，达到次浮点运算/秒．则的值约为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的乘法计算，根据倍数关系求出的表达式，再整理为标准科学记数法形式即可得到结果。 【详解】解：∵ 2025年底智能算力为2024年底的倍，2024年底智能算力为， ∴ ， 先计算系数部分：， 因此 。 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：， A错误； ， B错误； ， C错误； ， D正确． 4. 实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于A，，，，故A错误； 对于B，，，，又，，故B错误； 对于C，，，又，，故C正确； 对于D，，，，故D错误． 5. 已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有2个，黑球有n个．随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀．经过大量重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n的值为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】依题意有：， 解得：n=3． 故选：B． 6. 如果，那么代数式的值为（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先通过通分、因式分解约分化简代数式，再利用已知条件整体代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， 将代入得，原式． 7. 已知锐角．如图， （1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接； （2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交于点，，连接； （3）连接，，分别交，于点，． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据作法可得，，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，即可对A选项进行判断；根据圆周角等于圆心角的一半，即可对C选项进行判断；过点O作的垂线，根据垂径定理的相关性质即可对B选项进行判断，根据全等三角形得到与相等的，结合反证法即可对D选项进行判断. 【详解】解：由作法可知， ∴，故A选项正确，不符合题意； 如解图，过点O作交圆于，交弧于点， ∴， ∴， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， 故C选项正确，不符合题意； 如解图，连接，在和中， ， ∴ ， ∴, ， 假设， 结合垂径定理同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 此时，与题干矛盾， 所以假设不成立，故D选项错误，符合题意． 【点睛】本题考查了作图－复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了圆心角、弧、弦的关系和垂径定理、全等三角形． 8. 如图，直线，，分别在，上，平分，平分，过点的直线与直线，分别交于点，（不与点，重合）． 有以下结论： ①；②；③； 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义可证，从而判断①；利用角平分线的性质定理可得点到、的距离相等，进而通过全等三角形证明，从而判断②；分情况讨论，当在的同侧时，根据②的结论得出，证明，得出，进而可得，当在的异侧时，得出，从而判断③． 【详解】解：①， ， 平分，平分， ， ， ， 在中， ， ．故①正确； ②过点作于，交于，作于， ， ， 平分，，， ， 同理可得， ， 在和 中， ， ， ．故②正确； ③当在的同侧时由②可得 ， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， 当在的异侧时， ， 同理可得，而， ∴，故③不正确． 综上所述，正确的结论是①②． 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每小题2分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不等于零求解即可．熟知分式有意义的条件是解答的关键． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴，即， 故答案为：． 10. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式x，在利用完全平方公式即可作答． 【详解】 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的知识，灵活运用提公因式法和完全平方公式是解答本题的关键． 11. 方程的解为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 12. 在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则________（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】根据可判断反比例函数的图象所在象限及每个象限内随的变化规律，结合两点横坐标的大小即可比较和的大小． 【详解】解：， 反比例函数的图象在二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大． ， 点，都在第四象限， ． 13. 能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为________，________． 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】只需找到满足，但不满足的一组实数即可． 【详解】解：当，时，满足条件， 此时，，可得，不满足， 因此，可以说明该命题是假命题． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上，将沿轴向右平移得到，若四边形的面积为，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的性质可得且，从而判定四边形为平行四边形，利用平行四边形的面积公式求出的长，进而根据平移规律求出点的坐标． 【详解】解：由平移的性质可知，且 四边形是平行四边形 点的坐标为 平行四边形边上的高为 四边形的面积为 平移的距离为 点是由点向右平移得到的 点的横坐标为，纵坐标为 点的坐标为 15. 如图，矩形中，在上，连接，，将沿翻折，点的对应点恰好落在上．若，，则________，，两点间的距离为________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得，，，在中利用勾股定理求出的长，设，在中利用勾股定理构建关于的方程求解即可得到的长；连接交于点，根据线段垂直平分线的判定可得垂直平分，在中利用勾股定理求出，再利用等面积法求出的长，进而可得的长． 【详解】解：由折叠的性质可知，， 四边形是矩形， ，， 点在上  在中， 由勾股定理得 设，则， 在中，由勾股定理得 即 解得 连接交于点 ，， 垂直平分， ，， 在中，由勾股定理得， ， ， ， ． 16. 某校运动会上，名运动员参加米跑、立定跳远、实心球、跳高四项全能比赛．每个单项计分规则：第一名分，第二名分，第三名分，第四名分．四项比赛全部结束后，统计比赛结果，发现每个单项及总分无并列名次，总分第一名得分，且该运动员实心球得分低于另外三个单项得分；总分第三名得分，且该运动员实心球得分高于另外三个单项得分． （1）总分第一名的运动员，获得________个单项第一名； （2）总分第二名的运动员，在实心球项目中的得分为________分． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先根据第一名的总分结合计分规则计算获得单项第一名的数量，再计算所有项目的总得分，结合第三名的得分条件和排名要求，推出剩余唯一的7分只能由第二名获得，即可得到结果． 【详解】解: （1）设总分第一名获得个单项第一名，若，总分为，不符合题意， 若，总分为，剩余一项得分为，满足总分，且符合实心球得分低于另外三个单项的条件，符合题意， 若，最高总分为，不可能，因此第一问结果为； （2）所有选手总分为，已知第一名得分，第三名得分，因此第二名和第四名总分为， 由排名可知，第二名总分，第四名总分， 因此，得， 由（1）可知，总分第一名拿了个分，剩余个分，且该分只能在实心球项目， 若该分由第三名获得，则第三名剩余三个项目总分为，三个项目每个至少得分，总分至少为，不可能， 若该分由第四名获得，则第四名总分至少为，超过第三名总分，不符合排名要求， 因此该分只能由第二名获得， 即第二名实心球得分为． 三、解答题（共分，第题每题分，第题每题分，第题每题分，第题分，第题分，第题分，第题每题分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取两个解集的公共部分即可得到不等式组的最终解集． 【详解】解：， 解不等式①：去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， 解不等式②：去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， 两个解集的公共部分为， 因此原不等式组的解集为． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． 求k的取值范围； 若k为负整数，求此时方程的根． 【答案】（）；（）时，，． 【解析】 【分析】（1）由题意可知：在该方程中，“根的判别式△>0”，由此列出关于k的不等式求解即可； （2）在（1）中所求的k的取值范围内，求得符合条件的k的值，代入原方程求解即可. 【详解】解：(1)由题意得Δ＞0， 即9－4(1－k)＞0， 解得k＞. (2)当k为负整数，则k＝－1， 原方程为x2－3x＋2＝0， 解得x1＝1，x2＝2. 【点睛】题目主要考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，求不等式解集等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 20. 在中，，是的中点，点在边上，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接并延长到点，使得，连接． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵在中，，是的中点， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）由条件可证明，可得，再由，即可证明结论； （2）由条件可得，再可得，则，，可得，再由，则在中即可求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵在中，，，， ∴， ∴， 由（1）可知，，四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴的长为． 21. 《营造法式》是北宋官方颁布的建筑设计与施工规范，其创立的“材份制”规定所有建筑构件的尺寸均以“份”为基本单位，不同材等对应的份的实际长度（单位：寸）不同，具体如表： 材等 一等 二等 三等 四等 五等 六等 份实际长度（寸） 书中记载：栌斗的长度为份，高度为份；华栱的长度为份，高度为份；散斗的长度为份，高度为份．图为斗拱结构示意图，标注了栌斗、散斗、华栱等构件在整体斗拱结构中的具体位置与形态． 某考古队在一处建筑群遗址中，发现了两座采用不同材等建造的建筑遗存，出土了栌斗、华栱、散斗三种构件的完整标本．经精密测量，采用第一种材等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华栱实际高度之和为寸；采用第一种材等制作的散斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比为．判断该建筑群所用的两种材等分别对应几等材，并说明理由． 【答案】两种材等分别为三等材、六等材 【解析】 【分析】设第一种材等1份的实际长度为x寸，第二种材等1份的实际长度为寸，根据“采用第一种材等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华栱实际高度之和为寸；采用第一种材等制作的散斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比为”列方程组求解即可． 【详解】解：设第一种材等1份的实际长度为x寸，第二种材等1份的实际长度为寸， 第一种材等栌斗实际长度 + 第二种材等华栱实际高度寸，栌斗长32份，华栱高21份，因此得； 第一种材等散斗实际高度：第二种材等散斗实际高度，散斗高都是10份，因此得， ∴， 解得 对照表格可知：1份实际长度0.5寸对应三等材，0.4寸对应六等材， 因此两种材等分别为三等材、六等材． 22. 在平面直角坐标系中，直线与的图象交于点． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，又小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（1）将代入先求出k，再将代入即可求出b； （2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的下方，画出临界状态图象分析即可． 【小问1详解】 解：由题意，将代入得：， 解得：； 将，代入得：， 解得：； 【小问2详解】 解：∵， ∴两个一次函数的解析式分别为， 把代入得：， ∴的函数图象总是经过点， 把代入得：， 解得：， 当直线平行时，， ∵当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，又小于函数的值， ∴当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的下方，则画出图象为， 由图象得：当直线在直线与直线之间时，符合题意， ∴m的取值范围为． 23. 的发展使人们的生活更加便利和高效．某科技公司正在研制作业批改系统，为测试三款不同系统A，B，C的响应时间，分别记录它们批改同一批20份作业的响应时长（单位：秒），数据如下： a．A系统的响应时长：20，21，22，23，23，24，24，25，25，26，26，26，27，27，28，29，29，30，32，33 b．B系统的响应时长：23，24，24，25，25，25，26，26，26，26，26，26，27，27，27，28，28，28，29，29 c．三款系统响应时间的平均数、众数、方差： 系统 平均数 众数 方差 A 26 n 11.5 B m 26 C 27.05 25.5 15.25 （1）表中m的值为________，n的值为________； （2）已知系统响应时间的方差越小时，系统的响应时间越稳定．结合数据分布特点，可判断________款系统的响应时间更稳定（填“A”或“B”或“C”）； （3）为评估批改系统的准确性，工作人员测试10篇作业，记录以上三款系统A，B，C的评分与人工评分的误差绝对值（单位：分，且为非负整数），数据如下： 系统 评分 A 0，0，0，0，2，2，2，2，2，q B 0，2，1，3，1，1，0，2，3，1 C 0，1，1，0，1，1，2，2，q，p 根据公司制定的批改系统的准确性标准，误差数据需同时满足以下两个条件： ①误差绝对值的平均数不超过1.2分；②误差绝对值的中位数不超过1分． 已知只有两套系统的准确性达标，则p的最大整数值是________． 【答案】（1）； （2）B （3）4 【解析】 【分析】（1）根据平均数以及众数的定义即可求解； （2）根据方差的定义分析即可； （3）根据B系统的平均数可知A系统和C系统满足条件，进而可知的取值范围，然后即可求解的取值． 【小问1详解】 解：B系统的平均数：， A系统数据中，众数为：， 【小问2详解】 解：B系统的方差为： ， 则B系统最稳定； 【小问3详解】 解：B系统误差绝对值的平均数为：， 则不满足准确性标准， ∴A系统和C系统满足条件， 则A系统误差绝对值的平均数为：， ∴， 当时，中位数为，不满足条件； 当时，中位数为，不满足条件； 当时，中位数为，满足条件； 则C系统误差绝对值的平均数为：， ∴， ∵ ∴， 当时，中位数为：1，则满足条件； 故的最大整数值为：4． 24. 如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，延长交于点C，过点C作的平行线，交于点D，交于点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴ ∵ ∴，即 ∵是半径， ∴ （2）10 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆的切线的性质以及平行线的性质证明，再由垂径定理的推论即可证明； （2）连接交于点，连接并延长交于点，由平行线分线段成比例定理可设，可证明四边形是矩形，则，然后对运用勾股定理求解，则，再由，求出，最后根据切线长定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接交于点，连接并延长交于点 ∵ ∴ ∴设 ∵是的直径， ∴， ∴ 由（1）知，而 ∴ ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵是的切线， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴， ∴ ∵过点P作的两条切线，切点分别为A，B， ∴． 25. 为探究不同材质保温材料的保温性能，某物理兴趣小组选取甲、乙两种保温材料，制作了除保温层材质外，其余结构、容量均完全相同的两个保温杯进行实验．他们向两个保温杯中装入质量相同的水，用电加热器同时将两杯水加热至相同的初始温度后停止加热，并立即盖紧杯盖．记以甲材料为保温层的为1号杯，以乙材料为保温层的为2号杯，将两个保温杯置于恒定的相同室温环境中．在实验的第（从停止加热开始计时），记录1号、2号杯中水的温度分别为，（单位：），实验所得部分数据如表： 0 5 10 15 20 25 35 45 55 65 80 80.0 72.1 65.2 59.2 54.0 49.5 42.1 36.7 32.6 29.4 26.0 80.0 66.4 55.9 47.8 41.6 36.7 30.0 26.0 23.6 22.1 20.9 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系． （1）在同一平面直角坐标系中，已画出与的函数图象，且已描出与的部分对应点．请根据表格中的数据，补全表格中未描出的其余对应点，并用平滑的曲线画出与的完整函数图象． （2）根据以上数据与函数图象，解决以下问题： ①当时，1号杯和2号杯的水温相差________（精确到个位）； ②某种茶叶用的水冲泡，待茶水温度降至时饮用口感最佳．小石直接向1号杯和2号杯中分别倒入的水冲泡该茶叶（忽略冲泡过程中的热量损失）．从盖紧杯盖开始计时，1号杯茶水经过约________（精确到个位）后饮用口感最佳，此时2号杯中茶水的温度为________（精确到个位）． 【答案】（1） （2）①；②； 【解析】 【分析】本题考查了用描点法画函数图像以及利用函数图像解决实际问题： （1）将表格中的数据标在平面直角坐标系中，再用平滑曲线连接即可； （2）①观察图像得到1号杯和2号杯在时的水温，相减即可； ②观察图像，先找到1号杯降温至时的时间，再找到对应时间里2号杯的温度即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：①由图可知，当时，1号杯的水温为，2号杯的水温为， 则水温相差为：； ②由图可知，1号杯茶水经过约后，温度降至，2号杯茶水此时的温度大约为， 即从盖紧杯盖开始计时，1号杯茶水经过约后饮用口感最佳，此时2号杯中茶水的温度为． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求该抛物线的对称轴； （2），是抛物线上两点．过点作轴的垂线，交直线于点． ①当，时，比较，的大小； ②当时，线段的长随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式求解即可； （2）①把，代入求解即可；②先得到，然后得到，再画出函数图象分析即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点 ∴ ∴ ∴抛物线的对称轴为直线 【小问2详解】 解：由（1）可得，抛物线的表达式为， ∴； ∴， ∵过点作轴的垂线，交直线于点． ∴当时， 解得 ∴ ①当时，，， ∴； ②∵， ∴ ∴点关于直线的对称点， ∵抛物线开口方向向上， ∴当时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离 ∴ ∵ 作出函数图象如图： ∵线段的长随的增大而增大， ∴或 解不等式组得， 而 ∴； 解得，，与矛盾，故舍去， 综上：的取值范围是． 27. 在中，，，为直线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． （1）如图1，当点在的延长线上且时，记，的交点为，连接．求证：； （2）如图2，当点在的延长线上时，取的中点，连接．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明：∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由旋转的性质得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴； （2）解：，证明如下： 延长到点，使， 同（1）理，是等边三角形， ∴，， 由旋转的性质得，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， 又∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）证明是等边三角形，推出，得到，得到是的中位线，根据三角形中位线的性质即可证明； （2）延长到点，使，同理得到和都是等边三角形，证明，得到，再证明是的中位线，根据三角形中位线的性质即可得到． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：，理由略． 28. 在平面直角坐标系中，给定图形和两点，．若图形上存在两个不重合的点，，使得将点沿方向平移线段的长度后得到的点与将点沿方向平移线段的长度后得到的点重合，则称点与点关于图形双向合． 已知点，，． （1）在点，，中，与原点关于线段双向合的点是________； （2）若点是的边上一点，且点与点关于线段双向合，求点的坐标； （3）点是直线上一动点，以为圆心作半径为的．当点运动时，对于上任意一点，都能在的边上找到一点，使得，两点关于双向合，直接写出点的纵坐标的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）由，，设，，，且，得，设，根据双向合的定义可得，，，即可判断； （2）由，，设，，，且，得，设，根据双向合的定义可得，，，再由点是的边上一点，分点在上，点在上，点在上进行讨论即可求解； （3）由题意设圆心的坐标为，，是上任意两个不重合的点，点是的边上一点，设，，，，且或，根据双向合的定义可得，，由，是上任意两个不重合的点， 的半径为，可得，则上最远点到的边的最小距离，即圆心到的边的最小距离，再分圆心与上的点的最小距离，圆心与上的点的最小的距离，圆心与上的点的最小的距离进行分类讨论即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴设，，，且， ∴， 设， ∵， 根据双向合的定义可得，或， ∴或， ∴，， ∴点与原点关于线段双向合，点，不与原点关于线段双向合． 【小问2详解】 解：∵，， ∴设，，，且， ∴， 设， ∵， 根据双向合的定义可得，或， ∴或， ∴，， ∵点是的边上一点， 当点在上时， ∵，， ∴，符合， ∴点的坐标为； 当点在上时，设直线的解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，符合， ∴； 当点在上时， ∵，， 则，不满足，不符合题意； 综上所述，点的坐标为或． 【小问3详解】 解：由题意设圆心的坐标为，，是上任意两个不重合的点，点是的边上一点， 设，，，，且或， 根据双向合的定义可得，或， ∴或， 即， ∵，， ∴， ∵，是上任意两个不重合的点， 的半径为， ∴， ∴， ∵对于上任意一点，都能在的边上找到一点，使得，两点关于双向合， ∴上最远点到对应的边的最小距离， ∵的半径为， ∴圆心到的边的最小距离， 如图，当圆心与上的点的最小距离时，过点作于点，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当圆心与上的点的最小的距离时，设与直线相交于点，连接，则 ， 由（2）可知，直线的解析式为， 联立， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴无论取何值，都成立， 当，即， 令 ， 当时， ， 解得，， ∴的解集为； 如图，当圆心与上的点的最小的距离时，连接，即 ， ∵，， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴无论取何值， 都成立， 当 ，即 ， 令 ， 当时，， 解得，， ∴ 的解集为； 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $