精品解析：2026年山东济南市长清区马山初级中学等校中考数学模拟卷一

九年级数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 绝对值等于3的数是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 3或 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了绝对值，根据绝对值的性质及其定义即可求解． 【详解】解：∵，， ∴绝对值等于3的数是3或， 故选：D． 2. 如图是一个电风扇的旋钮开关，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据俯视图是从上面看到的图形解答即可． 【详解】解：从上面看，是一个圆，且中间有两条竖的实线， ∴俯视图如下： ∴D选项符合题意． 3. 河南省文化和旅游厅指出，河南五一期间接待游客5518万人次，游客接待量位居全国第一，数据“5518万”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：5518万， 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原来的数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，确定a与n的值是解题的关键． 4. 下列文物图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用单项式乘以多项式和幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别计算得出答案． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，正确，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，不是同类项无法合并，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了单项式乘以多项式和幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键． 6. 将一个直角三角形的三条边长都扩大到原来的2022倍，得到的新三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 形状不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】原直角三角形三边满足勾股定理，三边扩大相同倍数后，仍满足勾股定理，即可判断形状． 【详解】解：设原直角三角形的两直角边长为、，斜边长为， 由勾股定理得， 三边扩大到原来的2022倍后，新三角形三边长为、、， ， 新三角形满足勾股定理的逆定理，新三角形为直角三角形． 7. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据k的符号判断函数所在象限，再结合各点横坐标的位置分析y值的范围，进而得到大小关系． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小． ∵点，的横坐标均小于， ∴都在第三象限， ∵， ∴． ∵点的横坐标大于， ∴在第一象限，， ∴． 8. 投掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子向上一面的点数相同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先列表，然后根据表格求得所有等可能的结果与两个骰子的点数相同的情况，再根据概率公式求解即可． 【详解】列表得： ∵共有种等可能的结果，两个骰子向上一面的点数相同的有种情况， ∴两个骰子向上一面的点数相同的概率是：． 故选：B． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率的知识．此题比较简单，注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比． 9. 如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，于点M，N，再分别以点M，大于的长为半径画弧，射线交于点D，则线段的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，灵活运用所学知识是解题的关键．先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，由作图方法可知，是的角平分线，，进而推出，，则，，设，则，再证明∽△CAB得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图方法可知，是的角平分线， ∴， ∴，， ∴，， 设，则， 又∵， ∴∽， ∴，， ∴， 解得或 (舍去)， 经检验，是原方程的解， ∴线段的长度是， 故选C． 10. 如图1，在等边三角形中，点D为边的中点．动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的三等分点时，的长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象和等边三角形的性质得到等边三角形的边长，再分两种情况画出图形，利用相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识进行解答即可． 【详解】解：根据题意动点P从点A出发，沿边方向匀速运动过程中，的面积先增大，再减小，当点P运动到点B时，的面积最大，如图1，根据函数图象可得此时的面积为， ∵点D为边的中点，等边三角形， ∴， 解得； 当点P运动到的三等分点时，分两种情况， ①如图2，点P靠近点B，连接，则，过点P作于M， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； ②如图3，点P靠近点C，连接，则，过点P作于N， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴． 即的长为或． 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．） 11. 把多项式分解因式的结果是_______． 【答案】 【解析】 【分析】提取公因式即可． 【详解】解：． 12. 如图，飞镖游戏板被等分成若干个相同的小正方形，某位同学向游戏板投掷飞镖，假设飞镖落在游戏板上每个点的概率相同，则落在涂色部分的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了几何概率的应用,属于简单题, 用涂色部分的面积除以图形总面积即可得到答案. 【详解】解：涂色部分的面积为， ∴飞镖落在涂色部分的概率. 故答案为： 13. 如图，五边形是正五边形，F，G是边上的点，且．若，则_______ ． 【答案】##度 【解析】 【分析】过点作交于点，根据平行线的性质先求出的度数，由多边形内角和定理可求出的度数，最后利用平行线的性质求得即可． 【详解】解：如图，过点作交于点， ， ， 在正五边形中，， ， ，， ， ． 14. 一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数．从某时刻开始内只进水不出水，从第到第内既进水又出水，从第开始只出水不进水容器内水量y（单位：L）与时间（单位：）之间的关系如图所示，则图中a的值是__________． 【答案】36 【解析】 【分析】根据图象可知进水的速度为5（L/min），再根据第16分钟时容器内水量为35L可得出水的速度，进而得出第24分钟时的水量，从而得出a的值． 【详解】解：由图象可知，进水的速度为：20÷4=5（L/min）， 出水的速度为：5-(35-20)÷(16-4)=3.75（L/min）， 第24分钟时的水量为：20+(5-3.75)×(24-4)=45（L）， a=24+45÷3.75=36． 故答案为：36． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题时首先正确理解题意，利用数形结合的方法即可解决问题． 15. 如图，沿翻折矩形，A对应M，D落在上的N处，作于H，，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用翻折的对称性得出垂直平分，进而将转化为，将转化为，把求的最小值转化为求的最小值，再通过轴对称求最短路径． 【详解】连接， 沿翻折矩形，对应，落在上的处， 为线段的垂直平分线， ， 又， ， 与都过点， 点，，在同一直线上， 为的中点， ， 点与点关于对称，点与点关于对称， ， ， 作点 A 关于直线的对称点，连接 在上， ， ， 四边形为矩形， ，，， 点为点A关于直线的对称点， ，， ， ， 当D，N，三点共线时取等号， 此时 N为直线与 的交点，在上， 的最小值为 ． 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答时应写出文字说明，证明或演算步骤．） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值的运算，先化简，再进行加减运算即可，熟练掌握相关运算法则，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 17. 解不等式组并写出所有的正整数解． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，求不等式组的正整数解，首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定解集中的整数解即可． 【详解】解： 解得：， 解得：． ∴不等式组的解集是：． ∴正整数解是：，，． 18. 如图，在平行四边形中，点在的延长线上，点在的延长线上，满足．连接，分别与交于点．求证：． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 【解析】 【分析】结合平行四边形的性质证明，由全等三角形的性质即可证明． 【详解】略 19. 综合与实践：数学兴趣小组的同学结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】将一束光线从游泳池边点A处发出，经水面点C折射到池底B处． 【测量数据】点A，D，E在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内，是法线，点N在上．记入射角为，折射角为．测得点A到水面的距离，水深，入射角． 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求的长； （2）小组的同学发现，根据光的折射物理学知识可知．从而可求得． ①由上可在中推理求得 ； ②求B，E之间的距离．（参考数据：，，） 【答案】（1） （2）①；②B，E之间的距离为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，矩形的判定与性质： （1）利用正切的定义即可求解； （2）①根据，求出，由题意可得，利用勾股定理求出，再利用正切的定义即可解答；②由①知，四边形是矩形，由（1）知，推出，由即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得， 则， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：①∵在中，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； ②由①知，四边形是矩形，由（1）知， ∴， ∴， 答：B，E之间的距离为． 20. 如图，是的外接圆，是直径，，连接，与相交于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题考查了圆与三角形的综合问题、切线的判定以及解三角形： （1）先根据边长之间的关系得到相等的角，再根据圆周角定理得到角度之间的关系，最后证得，即可求得结果； （2）先根据角度之间的关系得到，然后根据正切值设出边长，再根据勾股定理求得结果； 准确找到角之间的关系是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵是直径，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 在中，， 解得：（舍去）， ∴． 21. 某校为了解七、八年级学生对垃圾分类知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取了20名学生进行测试，发现成绩都在60分以上（满分100分），把成绩（x）分成A，B，C，D四个等级：A：，B：，C：，D： 通过对成绩进行整理，绘制了如下统计图： 已知八年级B等级测试成绩的数据为：81，82，83，84，85，88，88，89． 根据上述信息，解答下列问题： （1）八年级成绩的中位数是___________； （2）若把每个等级中各个数据用该组的中间值代替（如C等级的中间值为），计算七年级测试成绩的平均数； （3）小明的测试成绩为82分，他的成绩在本年级参加测试的学生中处于中上水平，请判断小明是___________年级的学生，并说明理由． 【答案】（1） （2）七年级测试成绩的平均数为分； （3）七，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了中位数，方差，频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体，掌握题意读懂统计图是解题的关键． （1）根据中位数的定义解答即可； （2）根据加权平均数公式计算即可； （3）利用中位数的意义解答即可． 【小问1详解】 解：八年级A等级人数为：（人）， 把八年级20名学生成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是82，83， 故中位数为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：（分）， 答：七年级测试成绩的平均数为分； 【小问3详解】 解：七年级成绩的中位数位于C组，即低于80分，而小明的测试成绩为82分，高于七年级成绩的中位数，低于八年级成绩的中位数，小明的成绩在本年级参加测试的学生中处于中上水平，所以小明是七年级学生． 故答案为：七． 22. 野生木耳是本市著名特产之一．某土特产专卖店经销A，B两种品牌的野生木耳，进价和售价如表所示： 品牌 A B 进货（元/袋） 销售（元/袋） 80 100 （1）第一次进货时，该专卖店用4800元购进A品牌野生木耳，用6080元购进B品牌野生木耳，且两种品牌所购得的数量相同，求的值． （2）第二次进货时，A品牌每袋上涨5元，该土特产专卖店计划购进A，B两种品牌共180袋，销售时A、B两种品牌售价不变，则该土特产专卖店至少购进B品牌多少袋，能使第二次进货全部售完后获得的利润不低于3600元． 【答案】（1）60 （2）至少购进B品牌100袋 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用等知识点，审清题意、列出分式方程、不等式以及函数解析式成为解题的关键． （1）根据用4800元购进A品牌野生木耳，6080元购进B品牌野生木耳，再根据两种品牌所购得的数量相同列出分式方程求解即可； （2）设购进B为m袋，A为袋，然后根据题意列一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：，解得：． 经检验：是原方程的解． 答：x的值为60． 【小问2详解】 解：设购进B为m袋，A为袋，由题意可得： ， 解得：． 答：至少购进B品牌100袋． 23. 定义：如图1，点M、N把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的勾股点．已知点M、N是线段的勾股点，若，，则或，所以的长为或． （1）【类比探究】如图2，是的中位线，M、N是边的勾股点（），连接、分别交于点G、H．求证：G、H是线段的勾股点． （2）【知识迁移】如图3，C，D是线段的勾股点，以为直径画，P在上，，连接，，若，求证：是的切线． （3）【拓展应用】如图4，点是反比例函数上的动点，直线与坐标轴分别交于A、B两点，过点P分别向x、y轴作垂线，垂足为C、D，且交线段于E、F．证明：E、F是线段的勾股点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）由是的中位线，可知，则D、G、H、E分别为各边中点，得到、、分别为中位线，再利用题中新定义列出关系式，即可得证； （2）如图3，连接，，根据勾股点的定义可得，由圆周角定理可知，由勾股定理得：，得和各角之间的关系，从而计算的度数，得出结论； （3）根据点在反比例函数上，得，分别表示，，，，根据和和是等腰直角三角形利用勾股定理可得结论． 【小问1详解】 证明：如图2， ∵是的中位线， ∴，，， ∴，， ∴、、分别是、、的中位线， ∴，，， ∵M、N是边的勾股点（）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴G、H是线段的勾股点； 【小问2详解】 证明：如图3，连接，， ∵， ∴， ∴， ∵C，D是线段的勾股点， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，∵， ∴， 解得， 则； ∴； ∴， 又∵； ∴，即， ∴是的切线； 【小问3详解】 证明：∵点在反比例函数上， ∴， ∵，， ∴，，，， 由题知：，， ∴， ， ∴， ∴E、F是线段的勾股点． 24. 对于抛物线（），如果抛物线与x轴有两个交点，我们就将它的顶点以及它与x轴的两个交点构成的三角形称为该抛物线的“内接三角形”． （1）若抛物线有“内接三角形”，求m的取值范围． （2）如图1，抛物线与x轴的交点分别为点A、点B（点A在点B左边），顶点为点D，该抛物线的“内接三角形”为等边三角形． ①求的值； ②如图2，若该抛物线经过点，的平分线交于点P，点M为射线上一点．连接直线交射线于点N，求的值． 【答案】（1） （2）①6；② 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的“内接三角形”定义知：要使抛物线有内接三角形，必须，即，据此求解即可； （2）①设，则，根据一元二次方程根与系数关系及抛物线顶点坐标可得：，顶点，过点D作轴，垂足为C，利用等边三角形性质建立方程求解即可； ②把点代入，得：，再由，可得，再由为等边三角形，平分，利用三角函数定义即可求得，作轴交于点E，作轴交延长线于点F，则轴，可证，，再根据相似三角形的性质可得，再根据三角函数定义求出即可得解． 【小问1详解】 解：∵抛物线有“内接三角形”， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：①设，则是方程的两个根， 所以，， ∴， 由顶点坐标公式可得：， ∵是等边三角形， ∴， 如图，作轴于点C，则，， 在中，， ∴， 两边平方得：， 即， 整理得：， 解得：或9， ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，解得， ∴； ②∵抛物线经过点， ∴， ∵， ∴， ∴解析式为， ∴， ∴，即， ∵平分，是等边三角形， ∴，， ∴， 如图，作轴交于点E，作轴交延长线于点F，则轴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 如图，作于G，则， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，相似三角形的性质与判定，等边三角形性质，三角函数等，熟练掌握相关知识，理解新定义，灵活运用方程思想是解题关键． 25. 将矩形绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点A，B，D的对应点分别为点，，，设直线与直线交于点E． （1）猜想与的数量关系，并证明； （2）如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点E重合），连接，求证：四边形是平行四边形； （3）在矩形绕点C顺时针旋转的过程中，若，，当，，D三点在同一条直线上时，请求出的值． 【答案】（1），见解析 （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）连接，根据矩形的性质得出，推得，根据旋转的性质得出，根据全等三角形的判定与性质即可证明； （2）连接，根据旋转的性质得出，根据矩形的性质得出，，，根据等腰三角形三线合一的性质得出，推得，根据平行四边形的判定定理即可证明； （3）分为：点，在的同一侧时和点，在的异侧时，两种情况分别求解，根据勾股定理求出，结合图形求出的值即可． 【小问1详解】 解：，理由如下： 四边形与四边形都是矩形，如图①，连接， ， ， 即， 将矩形绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 证明：如图2：连接， 根据旋转的性质可得：， 四边形是矩形， ，，， 即， 又， ， ， ，， 四边形是平行四边形； 【小问3详解】 解：如图3，当点，在的同一侧时， 根据旋转的性质可得：，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 如图4：当点，在的异侧时， 根据旋转的性质可得：，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定定理，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 绝对值等于3的数是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 3或 2. 如图是一个电风扇的旋钮开关，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 河南省文化和旅游厅指出，河南五一期间接待游客5518万人次，游客接待量位居全国第一，数据“5518万”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 下列文物图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 将一个直角三角形的三条边长都扩大到原来的2022倍，得到的新三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 形状不能确定 7. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 投掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子向上一面的点数相同的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，于点M，N，再分别以点M，大于的长为半径画弧，射线交于点D，则线段的长度是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在等边三角形中，点D为边的中点．动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的三等分点时，的长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．） 11. 把多项式分解因式的结果是_______． 12. 如图，飞镖游戏板被等分成若干个相同的小正方形，某位同学向游戏板投掷飞镖，假设飞镖落在游戏板上每个点的概率相同，则落在涂色部分的概率为______． 13. 如图，五边形是正五边形，F，G是边上的点，且．若，则_______ ． 14. 一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数．从某时刻开始内只进水不出水，从第到第内既进水又出水，从第开始只出水不进水容器内水量y（单位：L）与时间（单位：）之间的关系如图所示，则图中a的值是__________． 15. 如图，沿翻折矩形，A对应M，D落在上的N处，作于H，，，则的最小值为________． 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答时应写出文字说明，证明或演算步骤．） 16. 计算：． 17. 解不等式组并写出所有的正整数解． 18. 如图，在平行四边形中，点在的延长线上，点在的延长线上，满足．连接，分别与交于点．求证：． 19. 综合与实践：数学兴趣小组的同学结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】将一束光线从游泳池边点A处发出，经水面点C折射到池底B处． 【测量数据】点A，D，E在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内，是法线，点N在上．记入射角为，折射角为．测得点A到水面的距离，水深，入射角． 【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求的长； （2）小组的同学发现，根据光的折射物理学知识可知．从而可求得． ①由上可在中推理求得 ； ②求B，E之间的距离．（参考数据：，，） 20. 如图，是的外接圆，是直径，，连接，与相交于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 21. 某校为了解七、八年级学生对垃圾分类知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取了20名学生进行测试，发现成绩都在60分以上（满分100分），把成绩（x）分成A，B，C，D四个等级：A：，B：，C：，D： 通过对成绩进行整理，绘制了如下统计图： 已知八年级B等级测试成绩的数据为：81，82，83，84，85，88，88，89． 根据上述信息，解答下列问题： （1）八年级成绩的中位数是___________； （2）若把每个等级中各个数据用该组的中间值代替（如C等级的中间值为），计算七年级测试成绩的平均数； （3）小明的测试成绩为82分，他的成绩在本年级参加测试的学生中处于中上水平，请判断小明是___________年级的学生，并说明理由． 22. 野生木耳是本市著名特产之一．某土特产专卖店经销A，B两种品牌的野生木耳，进价和售价如表所示： 品牌 A B 进货（元/袋） 销售（元/袋） 80 100 （1）第一次进货时，该专卖店用4800元购进A品牌野生木耳，用6080元购进B品牌野生木耳，且两种品牌所购得的数量相同，求的值． （2）第二次进货时，A品牌每袋上涨5元，该土特产专卖店计划购进A，B两种品牌共180袋，销售时A、B两种品牌售价不变，则该土特产专卖店至少购进B品牌多少袋，能使第二次进货全部售完后获得的利润不低于3600元． 23. 定义：如图1，点M、N把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的勾股点．已知点M、N是线段的勾股点，若，，则或，所以的长为或． （1）【类比探究】如图2，是的中位线，M、N是边的勾股点（），连接、分别交于点G、H．求证：G、H是线段的勾股点． （2）【知识迁移】如图3，C，D是线段的勾股点，以为直径画，P在上，，连接，，若，求证：是的切线． （3）【拓展应用】如图4，点是反比例函数上的动点，直线与坐标轴分别交于A、B两点，过点P分别向x、y轴作垂线，垂足为C、D，且交线段于E、F．证明：E、F是线段的勾股点． 24. 对于抛物线（），如果抛物线与x轴有两个交点，我们就将它的顶点以及它与x轴的两个交点构成的三角形称为该抛物线的“内接三角形”． （1）若抛物线有“内接三角形”，求m的取值范围． （2）如图1，抛物线与x轴的交点分别为点A、点B（点A在点B左边），顶点为点D，该抛物线的“内接三角形”为等边三角形． ①求的值； ②如图2，若该抛物线经过点，的平分线交于点P，点M为射线上一点．连接直线交射线于点N，求的值． 25. 将矩形绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点A，B，D的对应点分别为点，，，设直线与直线交于点E． （1）猜想与的数量关系，并证明； （2）如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点E重合），连接，求证：四边形是平行四边形； （3）在矩形绕点C顺时针旋转的过程中，若，，当，，D三点在同一条直线上时，请求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $