精品解析：2025年山西省吕梁市中阳县部分学校中考第二次模拟数学试卷

2025年山西省中考模拟联考试题（二） 数学 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列实数中，属于无理数的是（　　） A. B. 0 C. D. 5 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 已知直线经过第一、三象限，则值可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 截至2025年3月16日，《哪吒之魔童闹海》动画电影全球票房突破151亿元，一举登顶全球动画电影票房冠军，并跻身全球影史票房榜前5名！这部影片是中国文化传承、创新与传播的重要载体，对提升文化软实力和推动产业发展具有深远影响，是中国大国运下文运崛起的重要标志．数据151亿用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 5. 化简的结果为（　　） A B. C. D. 6. 以下调查中，适合全面调查的是（　　） A. 了解山西中学生的视力情况 B. 检测临汾地区和运城地区的城市空气质量 C. 调查汾河源头现有鱼的数量 D. 调查某教研组老师是否参加新教材培训 7. 如图是第九届亚冬会期间热销的一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成，使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带A总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）．对该单肩包的背带长度进行测量，设双层部分的长度为，单层部分的长度为，得到如下数据： 双层部分长度 2 6 10 14 … 单层部分长度 116 108 100 92 … 则与之间的关系式为（　　）． A. B. C. D. 8. 太原的名优特产老陈醋醋香四溢，具有软化血管等功效．一位经销商在直播平台经营某种老陈醋礼盒，其进价为每盒50元，按70元出售，平均每天可售出100盒．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20盒．若该经销商想要平均每天获利2240元，每盒老陈醋礼盒应降价多少元？若设每盒老陈醋礼盒应降价元，根据题意，所列方程正确的是（　　） A B. C. D. 9. 水平放置曲轴连杆的工作原理示意图如图所示，连杆在电机的带动下绕轴匀速转动，连杆拖动气缸中的活塞做直线运动．已知连杆，连杆，当连杆从位置顺时针运动至连杆与首次相切时，活塞移动的距离为（活塞移动的距离为线段的长度）（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，位于第二象限，为的中点，，点的坐标为．现进行如下变换：第1次是将关于轴对称，第2次是将第1次得到的轴对称图形关于轴对称，第3次是将第2次得到的轴对称图形关于轴对称，第4次是将第3次得到的轴对称图形关于轴对称，第5次是将第4次得到的轴对称图形关于轴对称……，以此类推，则经过2025次变换后点的坐标为（　　） A. B. C. D. 第II卷 非选择题 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 将多项式因式分解可得___________． 12. 已知反比例函数的图象经过点，则___________． 13. 为了深刻践行低碳环保的生活理念，某高校发起了“拒绝外卖，走出寝室”的活动．该校原来每周的外卖量为3000单，若计划一周后外卖量下降到不超过2400单，则第一周该校外卖量的下降率至少为___________． 14. 如图1是精美红木木雕算盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为算盘）．通过测量得到扇形的圆心角为，则算盘的面积为___________． 15. 如图，在四边形中，，，，对角线，交于点．若、则的长为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解方程组： 17. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点． （1）尺规作图：以为边，作矩形（不要求写作法，但保留作图痕迹）； （2）若在菱形中，，求所作矩形的面积． 18. 2025年3月14日是第六个“世界圆周率日”，也是国际数学日．某市团委在全市中小学生中，举办了数值背诵、数学难题解答、圆周率主题手抄报三项比赛活动．现对各校选手进行评分，小明将其所在学校参赛选手的成绩（用表示）分为四组：A组，B组，C组，D组，并绘制了如下所示的不完整的统计图表（参赛选手的成绩均不低于60分）： 本校参赛选手的成绩频数统计表 A组（） 4 B组（） C组 D组（） 10 本校参赛选手的成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）统计表中，___________，___________； （2）扇形统计图中A组所对应圆心角的度数为___________，小明所在学校所有参赛选手成绩的中位数一定在___________组范围内； （3）小明根据本校参赛选手的成绩，估计全市参赛的2000名选手中会有200名选手的成绩低于70分；可实际上只有98名选手的成绩低于70分，请你分析小明估计不准确的原因； （4）小明所在的学校从本校获得一等奖选手的三名辅导老师甲、乙、丙中随机选两位老师去参加学校组织的“集体备课”心得座谈，请你用列表法或画树状图法求恰好选到甲、乙两位老师去参加心得座谈的概率． 19. 全球已进入数字化时代！互联网是，数字空间是．已知人们目前能够实现进入数字空间使用的穿戴设备有设备和设备两种，其中设备的单价是设备单价的，用39万元购买设备比用28万元购买设备能够多购买3件．求两种穿戴设备的单价分别是多少万元． 20. 跳台滑雪要想取得好成绩，就必须在第一阶段达到高速度，所以大跳台必须达到一定的高度．如图1是首钢滑雪大跳台，是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，是世界首例永久性保留和使用的滑雪大跳台场馆，跳台造型设计融入了中国知名的世界文化遗产——敦煌壁画中的“飞天”元素．图2是其示意图，为登台梯，为大跳台最高点，赛道由三段组成（平行于地面）． （1）数学兴趣1组已测得，并由计算器查得，求大跳台最高点的高度（结果保留到个位）． （2）数学兴趣2组通过测量得到，从处看的仰角为（即），并由计算器查得，请问能否根据这些数据求出大跳台最高点的高度？若能，请求出来；若不能，请说明理由．（结果保留到个位） （3）如果要计算大跳台最后一段（坡面）的坡度，你认为需要测量哪些数据？测量以及计算时需要注意什么？ 21. 阅读与思考 下面是勤思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等角准正多边形”的研究报告 勤思小组 研究对象：等角准正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念一性质一判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）一猜想一推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其所有的各角都相等，且有两条边不等于其他相等的边，我们称这个凸多边形为等角准正多边形．如图1，我们学习过的矩形（正方形除外）就是等角准正四边形，类似地，还有等角准正六边形、等角准正八边形…… 【特例研究】根据等角准正多边形的定义，等角准正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果在六边形中，，且，那么六边形是等角准正六边形． 性质探索：根据定义，探索等角准正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等角准正六边形的每个内角均等于___________．每个外角均等于___________． 对角线．．．．．． 任务： （1）直接写出研究报告中空缺的内容：___________，___________． （2）在图2中，等角准正六边形的三组正对边与与与分别有什么位置关系？请证明你的结论． （3）如图3，已知八边形中，，，且．求证：八边形是等角准正八边形 22. （项目学习）学科实践 问题情境： 如图，某杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端处恰好弹跳到人梯顶端椅子处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，跳起的演员距点所在铅垂线的水平距离为时，身体离地面最高，已知，人梯到起跳点的水平距离为． 小试牛刀： 任务一：（1）请以点为坐标原点建立恰当的平面直角坐标系，并求出抛物线对应的二次函数表达式． 任务二：（2）求人梯的高． 攻坚克难： 任务三：（3）在演员起跳的过程中，当他距离地面的高度不低于时，观众能获得最佳观赏体验，但演员刚起跳时现场突发状况，风力突然增大，使得演员高度瞬间下降．求在这种情况下观众能获得最佳观赏体验时，演员所在位置的水平距离范围． 23. 综合与探究 问题情境： 如图1，已知，平分，过点分别作于点，于点． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： （2）如图2，直角三角板（足够大）的直角顶点在线段上，两直角边，分别交两边于点．请探究和之间的数量关系，并说明理由． （3）将图2中的Rt沿着线段的方向平移，使点与点重合，Rt的两直角边分别交直线于点．将平移后的绕点顺时针旋转若干角度，使，若，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年山西省中考模拟联考试题（二） 数学 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列实数中，属于无理数的是（　　） A. B. 0 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如（每两个1之间依次多1个0）等形式．根据无理数的定义即可得出结论． 【详解】解：，，是有理数，是无理数．         故选：C． 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，单项式除以单项式，根据运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，计算错误，不合题意； B．，计算错误，不合题意； C．，计算错误，不合题意； D．，计算正确，符合题意； 故选：D． 3. 已知直线经过第一、三象限，则的值可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正比例函数图象与性质，由直线经过第一、三象限，得到，解不等式即可确定答案，熟记正比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：直线经过第一、三象限， ，解得， 由四个选项中的数值可知，满足， 故选：D． 4. 截至2025年3月16日，《哪吒之魔童闹海》动画电影全球票房突破151亿元，一举登顶全球动画电影票房冠军，并跻身全球影史票房榜前5名！这部影片是中国文化传承、创新与传播的重要载体，对提升文化软实力和推动产业发展具有深远影响，是中国大国运下文运崛起的重要标志．数据151亿用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：151亿． 故选：B． 5. 化简的结果为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，先计算括号内分式加法运算，再计算除法运算即可. 【详解】解： ； 故选：C 6. 以下调查中，适合全面调查的是（　　） A. 了解山西中学生的视力情况 B. 检测临汾地区和运城地区的城市空气质量 C. 调查汾河源头现有鱼的数量 D. 调查某教研组老师是否参加新教材培训 【答案】D 【解析】 【分析】根据抽样调查和全面调查的特点，选择合适的调查方式．本题考查了调查的两种方式，熟练掌握两种方式使用的基本特点是解题的关键． 【详解】解：了解山西中学生的视力情况，采用抽样调查方式， ∴A不符合题意； 检测临汾地区和运城地区的城市空气质量，采用抽样调查方式， ∴B不符合题意； 调查汾河源头现有鱼的数量，采用抽查方式， ∴C不符合题意； 调查某教研组老师是否参加新教材培训，采取全面调查的方式， ∴D符合题意； 故选：D． 7. 如图是第九届亚冬会期间热销的一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成，使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带A总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）．对该单肩包的背带长度进行测量，设双层部分的长度为，单层部分的长度为，得到如下数据： 双层部分长度 2 6 10 14 … 单层部分长度 116 108 100 92 … 则与之间的关系式为（　　）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了表格表示函数关系式，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法，由表格数据可知，y与x成一次函数关系，然后用待定系数法求出一次函数解析式即可． 【详解】解：由表格数据可知，双层部分的长度每增加，单层部分的长度就减少，因此y与x成一次函数关系， 设，把，，把，代入得： ， 解得： ∴y与x的函数表达式为． 故选：C． 8. 太原的名优特产老陈醋醋香四溢，具有软化血管等功效．一位经销商在直播平台经营某种老陈醋礼盒，其进价为每盒50元，按70元出售，平均每天可售出100盒．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20盒．若该经销商想要平均每天获利2240元，每盒老陈醋礼盒应降价多少元？若设每盒老陈醋礼盒应降价元，根据题意，所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意设每盒应降价元，再根据利润（售价进价）销量即可列出方程． 【详解】解：设每盒应降价元， ∵商场平均每天可销售老陈醋礼盒100盒，如果降价2元，则每天可多售出20盒， ∴销量为：盒， ∵平均每天盈利2240元， ∴， 故选：B． 9. 水平放置的曲轴连杆的工作原理示意图如图所示，连杆在电机的带动下绕轴匀速转动，连杆拖动气缸中的活塞做直线运动．已知连杆，连杆，当连杆从位置顺时针运动至连杆与首次相切时，活塞移动的距离为（活塞移动的距离为线段的长度）（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，根据勾股定理求得的长，即可解答，正确理解切线的性质是解题的关键． 【详解】解：与相切， ， ， ， 故选：A． 10. 如图，在平面直角坐标系中，位于第二象限，为的中点，，点的坐标为．现进行如下变换：第1次是将关于轴对称，第2次是将第1次得到的轴对称图形关于轴对称，第3次是将第2次得到的轴对称图形关于轴对称，第4次是将第3次得到的轴对称图形关于轴对称，第5次是将第4次得到的轴对称图形关于轴对称……，以此类推，则经过2025次变换后点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称及规律探索．先求得点的坐标是，再根据关于坐标轴对称的点的坐标特征“关于轴对称的点坐标，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点坐标，纵坐标不变，横坐标互为相反数”，找到图形的变换规律即可求解． 【详解】解：∵点的坐标为，且，点为的中点，∴点的坐标是， 由题意可得，图形第一次关于轴对称后，点的对应点的坐标是， 第二次关于轴对称后，点的对应点的坐标是， 第三次关于轴对称后，点的对应点的坐标是， 第四次关于轴对称后，点的对应点的坐标是，与原点重合， 由此可得，点的对应点的坐标随图形变换每4次一循环， ， 图形经过第2025次变换后，相当于第一次关于轴对称后的图形，此时点的对应点的坐标为， 故选：C． 第II卷 非选择题 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 将多项式因式分解可得___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解，先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可. 【详解】解： ； 故答案为： 12. 已知反比例函数的图象经过点，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，根据题意，将代入函数表达式解方程即可得到答案．熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ，解得， 故答案为：3 ． 13. 为了深刻践行低碳环保的生活理念，某高校发起了“拒绝外卖，走出寝室”的活动．该校原来每周的外卖量为3000单，若计划一周后外卖量下降到不超过2400单，则第一周该校外卖量的下降率至少为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要查了一元一次不等式的应用．设第一周该校外卖量的下降率为x，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】解：设第一周该校外卖量的下降率为x，根据题意得： ， 解得：． 故答案为： 14. 如图1是精美的红木木雕算盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为算盘）．通过测量得到扇形的圆心角为，则算盘的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积公式，掌握是解题的关键． 根据，结合扇形面积公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在四边形中，，，，对角线，交于点．若、则的长为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．，，可得为等边三角形．作于点，可得为的中点，可求得的长，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得为的一半．作于点，则为直角三角形的斜边，利用平行线分线段成比例定理可得的长，利用勾股定理可得的长，进而根据勾股定理可得的长，据此求解即可． 【详解】解：过点作于点，过点作于点，连接． ， ． ，即， ． ，， 为等边三角形， ． ， ． ． ． ． ， ． ． ． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的运算，二次根式的乘法运算，负整数幂及二元一次方程组的解法，熟练掌握二次根式的混合运算及二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）先计算负整数幂，二次根式的乘法运算，求绝对值，然后再进行加减运算； （2）利用加减消元进行二元一次方程组的求解． 【详解】解：（1）原式 ； （2）将方程组整理，得， ①②，得， 解得． 把代入②，得， 解得． 所以原方程组的解为． 17. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点． （1）尺规作图：以为边，作矩形（不要求写作法，但保留作图痕迹）； （2）若在菱形中，，求所作矩形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，菱形的性质，矩形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）以点为圆心，为半径作弧，以点为圆心，为半径作弧，两弧交于点，可得，那么四边形为平行四边形，而菱形得到，即可得到矩形； （2）根据菱形得到菱形对角线相等，互相平分且垂直，则，由勾股定理得，即可求出，，即可求解矩形面积． 【小问1详解】 解：如图： 四边形即为所要作的矩形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ． ． 又， ． 在中，． 又， ， （舍负）， ， 矩形的面积为． 18. 2025年3月14日是第六个“世界圆周率日”，也是国际数学日．某市团委在全市中小学生中，举办了数值背诵、数学难题解答、圆周率主题手抄报三项比赛活动．现对各校选手进行评分，小明将其所在学校参赛选手的成绩（用表示）分为四组：A组，B组，C组，D组，并绘制了如下所示的不完整的统计图表（参赛选手的成绩均不低于60分）： 本校参赛选手的成绩频数统计表 A组（） 4 B组（） C组 D组（） 10 本校参赛选手的成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）统计表中，___________，___________； （2）扇形统计图中A组所对应圆心角的度数为___________，小明所在学校所有参赛选手成绩的中位数一定在___________组范围内； （3）小明根据本校参赛选手的成绩，估计全市参赛的2000名选手中会有200名选手的成绩低于70分；可实际上只有98名选手的成绩低于70分，请你分析小明估计不准确的原因； （4）小明所在的学校从本校获得一等奖选手的三名辅导老师甲、乙、丙中随机选两位老师去参加学校组织的“集体备课”心得座谈，请你用列表法或画树状图法求恰好选到甲、乙两位老师去参加心得座谈的概率． 【答案】（1）8，18 （2）36度，C （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了用列表法或画树状图法求概率，数据统计分析； （1）先求出样本容量，进而求出m、n值； （2）利用乘以A组的占比，中位数的定义即可得到答案； （3）根据抽样的要求分析即可得到答案; （4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好同时选到甲、乙两位老师的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【小问1详解】 解：样本容量：（人）， ， ， 【小问2详解】 解：由（1）得，扇形统计图中A组所对应的圆心角的度数为：， ∵小明所在学校所有参赛选手的成绩的中位数是第20、21个数据，，， ∴中位数一定在C组范围内； 【小问3详解】 解：抽样调查是从研究对象的总体中抽取一部分个体作为样本进行调查，据此推断有关总体的数字特征，这样经济性好，实效性强，适应面广．抽样调查时要注意抽样的随机性和取样具有代表性，这样由样本特征推断的总体特征才有一般性．如果小明抽到的是不同学校、不同层次的选手成绩，则根据计算结果（名），可以估计全市参赛的2000名选手中会有200名选手的成绩低于70分，但实际上只有98名选手的成绩低于70分，说明小明所在学校参赛选手的成绩整体较差，低分较多，不具有代表性． 【小问4详解】 解：画树状图如下： 由表格（或树状图）可知：随机选两位老师去参加学校组织的“集体备课”心得座谈，共有6种等可能的结果，其中恰好选到甲、乙两位老师的结果有2种，即（甲，乙），（乙，甲），所以（恰好选到甲、乙两位老师参加心得座谈）． 19. 全球已进入数字化时代！互联网是，数字空间是．已知人们目前能够实现进入数字空间使用的穿戴设备有设备和设备两种，其中设备的单价是设备单价的，用39万元购买设备比用28万元购买设备能够多购买3件．求两种穿戴设备的单价分别是多少万元． 【答案】A，B两种穿戴设备的单价分别是3万元和2.8万元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设设备的单价是万元，则设备的单价是万元，根据用39万元购买设备比用28万元购买设备能够多购买3件建立分式方程，求解并检验即可． 【详解】解：设设备的单价是万元，则设备的单价是万元． 根据题意，得． 解这个方程，得． 经检验，是原方程的根． （万元）， 所以，A，B两种穿戴设备的单价分别是3万元和2.8万元． 20. 跳台滑雪要想取得好成绩，就必须在第一阶段达到高速度，所以大跳台必须达到一定的高度．如图1是首钢滑雪大跳台，是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，是世界首例永久性保留和使用的滑雪大跳台场馆，跳台造型设计融入了中国知名的世界文化遗产——敦煌壁画中的“飞天”元素．图2是其示意图，为登台梯，为大跳台最高点，赛道由三段组成（平行于地面）． （1）数学兴趣1组已测得，并由计算器查得，求大跳台最高点的高度（结果保留到个位）． （2）数学兴趣2组通过测量得到，从处看的仰角为（即），并由计算器查得，请问能否根据这些数据求出大跳台最高点的高度？若能，请求出来；若不能，请说明理由．（结果保留到个位） （3）如果要计算大跳台最后一段（坡面）的坡度，你认为需要测量哪些数据？测量以及计算时需要注意什么？ 【答案】（1）60米 （2）能求出大跳台最高点的高度，见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）过点作于点，延长交于点，过点作于点．先证明四边形是矩形．得出，解直角三角形得出．．求出即可； （2）在第（1）题答图的基础上连接，解直角三角形得，，根据，得出，求出，然后求出结果即可； （3）根据坡度的定义，得出需要测量的数据即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点，延长交于点，过点作于点． ， ． ， ． ， ． ， 四边形是矩形． ， 在中，由， 得． 在中，由， 得． ． ． 答：大跳台最高点的高度约为． 【小问2详解】 解：能求出大跳台最高点的高度． 如图，在第（1）题答图的基础上连接． 由（1）可知， 设， 在中，由，得， 在中，由，得， ， ， 即， 解得． ． ． 答：大跳台最高点的高度约为． 【小问3详解】 解：需要测量的数据：坡面的垂直高度和水平距离，坡面的垂直高度和水平距离的比值即为大跳台最后一段（坡面）的坡度． 测量以及计算时需要注意：多次测量取平均值，注意单位统一． 说明：本题第（3）问答案不唯一． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握三角形函数定义，是解题的关键． 21. 阅读与思考 下面是勤思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等角准正多边形”的研究报告 勤思小组 研究对象：等角准正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念一性质一判定”路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）一猜想一推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其所有的各角都相等，且有两条边不等于其他相等的边，我们称这个凸多边形为等角准正多边形．如图1，我们学习过的矩形（正方形除外）就是等角准正四边形，类似地，还有等角准正六边形、等角准正八边形…… 【特例研究】根据等角准正多边形的定义，等角准正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果在六边形中，，且，那么六边形是等角准正六边形． 性质探索：根据定义，探索等角准正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等角准正六边形的每个内角均等于___________．每个外角均等于___________． 对角线．．．．．． 任务： （1）直接写出研究报告中空缺的内容：___________，___________． （2）在图2中，等角准正六边形的三组正对边与与与分别有什么位置关系？请证明你的结论． （3）如图3，已知八边形中，，，且．求证：八边形是等角准正八边形 【答案】（1） （2）均平行，见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质和判定，正多边形的性质，理解题意以及多边形的相关性质是解题关键． （1）根据等角准正六边形的定义解答即可； （2）连接，根据六边形是等角准正六边形，得出．结合四边形内角和得出，即可得，根据，得出．即可得．同理可证． （3）延长，与的延长线交于点，延长，与的延长线交于点，根据，得出，，根据，得出，即可得，同理，得出，即可证明． 【小问1详解】 解：每个外角均等于，等角准正六边形的每个内角均等于， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，，． 证明：方法一：连接，如图： 六边形是等角准正六边形， ． ， ． ， ． ． 同理可证． 方法二：延长交于点，如图： 六边形是等角准正六边形， ． ． ． ． ． 同理． 【小问3详解】 解：（方法不唯一）延长，与的延长线交于点，延长，与的延长线交于点，如图： ， ． ． ， ． ． ． 同理． ． 又，且， 八边形是等角准正八边形． 22. （项目学习）学科实践 问题情境： 如图，某杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端处恰好弹跳到人梯顶端椅子处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，跳起的演员距点所在铅垂线的水平距离为时，身体离地面最高，已知，人梯到起跳点的水平距离为． 小试牛刀： 任务一：（1）请以点为坐标原点建立恰当的平面直角坐标系，并求出抛物线对应的二次函数表达式． 任务二：（2）求人梯高． 攻坚克难： 任务三：（3）在演员起跳的过程中，当他距离地面的高度不低于时，观众能获得最佳观赏体验，但演员刚起跳时现场突发状况，风力突然增大，使得演员高度瞬间下降．求在这种情况下观众能获得最佳观赏体验时，演员所在位置的水平距离范围． 【答案】（1）建立平面直角坐标系见解析，；（2）；（3）与之间 【解析】 【分析】本题考查二次函数解应用题，涉及待定系数法确定函数表达式、已知自变量求函数值、解一元二次方程等知识，读懂题意，建立平面直角坐标系得到函数表达式是解决问题的关键． （1）以线段所在的直线为轴，线段所在的直线为轴，建立平面直角坐标系即可，根据题意，在建好的坐标系中，数形结合，设出抛物线顶点式，利用待定系数法确定函数表达式即可得到答案； （2）根据题意，得到点的横坐标为4，代入（1）中所求表达式即可得到答案； （3）根据题意，令，解一元二次方程，分析结果即可得到答案． 【详解】解：（1）以线段所在的直线为轴，线段所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示： ， 点的坐标为． 跳起演员距点所在铅垂线的水平距离为时，身体离地面最高， 抛物线顶点为． 设抛物线对应的二次函数表达式为． 点在抛物线上， ， 解得． 抛物线对应的二次函数表达式为； （2）人梯到起跳点的水平距离为， 点的横坐标为4． 把代入中，得． 人梯的高为； （3）由于演员刚起跳时风力突然增大，使得演员高度瞬间下降，则此时高度变为． 当时，， 解得． ， 观众能获得最佳观赏体验时，演员所在位置的水平距离范围是距离起跳点所在铅垂线与之间． 23. 综合与探究 问题情境： 如图1，已知，平分，过点分别作于点，于点． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： （2）如图2，直角三角板（足够大）的直角顶点在线段上，两直角边，分别交两边于点．请探究和之间的数量关系，并说明理由． （3）将图2中的Rt沿着线段的方向平移，使点与点重合，Rt的两直角边分别交直线于点．将平移后的绕点顺时针旋转若干角度，使，若，请直接写出的长度． 【答案】（1）正方形，理由见解析；（2），见解析；（3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，证明四边形是正方形是解题的关键． （1）先根据题意可证明四边形是矩形，再由角平分线的性质可得，据此可证明四边形是正方形； （2）过点F作交于Q，可证明是等腰直角三角形，得到，再证明，得到，则，由勾股定理得，则； （3）分点M在点O上方和下方两种情况，导角证明，通过勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出的长即可得到答案． 【详解】解（1）四边形是正方形，理由如下： ∵，，， ∴四边形是矩形， 又∵平分， ∴， ∴四边形是正方形； （2），理由如下： 如图所示，过点F作交于Q， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； （3）如图所示，当点M在点O上方时，设交于K， ∵， ∴， 由正方形的性质可得， 在中，， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点M在点O下方时， 同理可证明， 在中，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$