精品解析：湖北省武汉市第十一中学2025-2026学年高一下学期四月月考数学试卷

武汉十一中高一下学期四月月考数学试卷 时间：2026.4.22 一、单选题 1. 已知（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，，若，则（ ） A. B. C. 5 D. 6 3. 在中，角A､B､C所对的边分别为a､b､c，若，则最大角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 雷峰塔是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔．如图，某同学为了测量雷峰塔的高度，在地面C处时测得塔顶A在东偏北45°的方向上，向正东方向行走50米后到达D处，测得塔顶A在东偏北75°的方向上，仰角为45°，则可得雷峰塔离地面的高度值为（ ） A. 米 B. 50米 C. 米 D. 米 5. 设，，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，分别是内角所对的边，若 （其中,且则的形状是 A. 有一个角为的等腰三角形 B. 正三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 7. 如图，在中，是的中点，在边上，，与交于点.若，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，其中的内角的对边分别是，则线段长度的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 二、多选题 9. 已知，函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（ ） A. 点是函数的一个对称中心 B. 函数在区间上单调递增 C. 将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象 D. 函数的图象关于直线对称 10. 下列说法正确的是（    ） A. 已知向量，则“与共线”是“”的充要条件 B. 若，、分别表示、的面积，则 C. 若为的外心，且，则是等边三角形 D. 已知单位向量满足，则 11. 已知，，分别是的三个内角，，的对边，其中正确的命题有（    ） A. 已知，，，则有两解 B. 若，，要使满足条件的三角形有且只有两个，则 C. 若，，，内有一点使得与夹角为，与夹角为，则 D. 已知，，设，若是钝角三角形，则的取值范围是 三、填空题 12. 已知，如果与的夹角为钝角，则的取值范围是_____. 13. 在中,,,,则______,则______. 14. 已知等腰直角的斜边长为，其所在平面上两动点、满足（且、、），若，则的最大值为____________． 四、解答题 15. 已知复数，，其中是虚数单位，． （1）若为纯虚数，求的值； （2）若，求的取值范围． 16. 在中，内角所对的边分别是，且，. （1）求角； （2）若，求边上的角平分线长； 17. 已知函数． （1）求函数的解析式及对称中心； （2）若，且，求的值． （3）在锐角中，角、、分别为、、三边所对的角，若，求周长的取值范围． 18. 已知函数在上为奇函数，，. （1）求实数的值； （2）指出函数的单调性（说明理由，不需要证明）； （3）设对任意，都有成立；请问是否存在的值，使最小值为，若存在求出的值. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角A； （2）若，设点P为的费马点，求； （3）设点P为的费马点，，求实数t的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉十一中高一下学期四月月考数学试卷 时间：2026.4.22 一、单选题 1. 已知（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数相等的条件可求. 【详解】，而为实数，故， 故选：B. 2. 已知向量，，，若，则（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】先利用向量坐标运算法则求出，再由，利用向量夹角余弦公式列方程，求出实数的值． 【详解】向量，，， ，又， ，即， 解得实数． 故选：． 3. 在中，角A､B､C所对的边分别为a､b､c，若，则最大角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由正弦定理得到，进而确定最大角为C，利用余弦定理求出. 【详解】由正弦定理得：，可知：，设，则最大角为C，， 故选：B 4. 雷峰塔是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔．如图，某同学为了测量雷峰塔的高度，在地面C处时测得塔顶A在东偏北45°的方向上，向正东方向行走50米后到达D处，测得塔顶A在东偏北75°的方向上，仰角为45°，则可得雷峰塔离地面的高度值为（ ） A. 米 B. 50米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】由题意画出简图，运用正弦定理和锐角的正切函数的定义，可得所求值. 【详解】由题可得，，， 则，， 由正弦定理可得：，即，解得， 在中，. 故选：A 5. 设，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定等式，利用同角公式及和角的正弦公式化简变形，再利用正弦函数性质推理即得. 【详解】由，得， 于是，即， 由，，得， 则或，即或（不符合题意，舍去）， 所以. 故选：D 6. 在中，分别是内角所对的边，若 （其中,且则的形状是 A. 有一个角为的等腰三角形 B. 正三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：在边AB，AC上分别取点D，E，使，以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，则：四边形ADFE为菱形，连接AF，DE，AF⊥DE，且；∵； ∴；∴AF⊥BC；又DE⊥AF；∴DE∥BC，且AD=AE；∴AB=AC，即b=c； ∴延长AF交BC的中点于O，则：S△ABC＝，b=c； ∴；∴；∴； ∴∠BAC=90°，且b=c；∴△ABC的形状为等腰直角三角形． 考点：平面向量数量积的运算 7. 如图，在中，是的中点，在边上，，与交于点.若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的线性表示，表示出向量和向量，再由向量的数量积的运算律化简可得选项. 【详解】由已知得：，设，所以， 又点C、O、E三点共线，所以，解得，所以， 又， 所以， 所以，即，所以. 故选：A. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性表示和向量的数量积的应用，属于中档题. 8. 已知，，其中的内角的对边分别是，则线段长度的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用正弦定理进行边角互化，再由余弦定理求出角，再把变形然后平方，转化成边的关系，再利用基本不等式求出的最小值即可. 【详解】因为， 所以由正弦定理可得，即， 由余弦定理可知，因为，所以. 因为，所以， 将上式两边平方可得， 即 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以线段长度的最小值为. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题有两个关键点： 关键一：把变形为然后再平方，转化成边的关系； 关键二： 把转化成. 二、多选题 9. 已知，函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（ ） A. 点是函数的一个对称中心 B. 函数在区间上单调递增 C. 将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象 D. 函数的图象关于直线对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二倍角公式与辅助角公式整理函数解析式，根据整体思想，结合三角函数的对称性以及周期性，可得ABD的正误；根据函数图象的变换，可得C的正误. 【详解】由题可知，最小正周期为， ，，令， 点是的一个对称中心，A正确； ， 函数在区间上单调递增，B正确； ，C错误； ， 当，函数的图象关于直线对称，D正确. 故选：ABD. 10. 下列说法正确的是（    ） A. 已知向量，则“与共线”是“”的充要条件 B. 若，、分别表示、的面积，则 C. 若为的外心，且，则是等边三角形 D. 已知单位向量满足，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，令，即可举出反例判断；对于B，由向量的线性运算结合三角形重心的性质即可判断；对于C，由分解向量后，由向量模的平方展开结合外接圆半径相等有，注意到，从而即可进一步判断；对于D，注意到，平方可得，而，由此结合数量积的运算律即可求解. 【详解】对于A，若，则有与共线，但不可能成立，故A错误； 对于B，如图设，，由，得， 取的中点，连接，则有，所以， 即，则点为的重心， 设，，的面积分别为，则，，的面积分别为， 由重心的性质可知，所以，则，故B正确； 对于C，因为为的外心，所以，而，同理有， ， 又因为， 所以，即， 也就是说是等边三角形，故C正确； 对于D，因为，所以， 所以，，解得， 从而 ，故D正确. 11. 已知，，分别是的三个内角，，的对边，其中正确的命题有（    ） A. 已知，，，则有两解 B. 若，，要使满足条件的三角形有且只有两个，则 C. 若，，，内有一点使得与夹角为，与夹角为，则 D. 已知，，设，若是钝角三角形，则的取值范围是 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，利用余弦定理即可判断；对于B，根据余弦定理得到，根据方程有两个不相等正根列不等式即可求出判断；对于C，根据即可判断；对于D，分为为钝角和为钝角两种情况，分别讨论即可判断. 【详解】对于A，，故有唯一解，故A错误； 对于B，由余弦定理可得，即， 整理可得， 由题意可知，关于的方程有2个不相等的正根， 则，解得，且，可得，故B错误； 对于C：设，则在直角三角形中，，， 在中，有，即， 即有，整理可得， 即，故C正确； 对于D：若为钝角，如图，作于点， 有，即，即， 若为钝角，如图，作于点， 有，即，即， 综上所述， 的取值范围是，故D正确. 三、填空题 12. 已知，如果与的夹角为钝角，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量夹角为钝角可得其数量积小于零，且不共线，解不等式即可. 【详解】向量与的夹角为钝角，则， 解得或； 又向量与不共线，所以，解得且； 故所求的取值范围是. 故答案为： 13. 在中,,,,则______,则______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用面积公式得到，利用余弦定理得到，再利用正弦定理得到答案. 【详解】， ，. . 故答案为：；. 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力. 14. 已知等腰直角的斜边长为，其所在平面上两动点、满足（且、、），若，则的最大值为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】分析可知点在内或其边界上，取线段的中点，可得，求出的最大值，即可得解. 【详解】因为 ， 所以，，所以，， 所以，， 因为且、、，所以，、、， 所以，点在内或其边界上，取线段的中点， 则， 故当最大时，取最大值， 如下图所示，当点与的顶点重合时，取得最大值，且最大值为， 因为，所以，， 当且仅当、、三点共线且在线段上时，等号成立， 故. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义： （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义． 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 四、解答题 15. 已知复数，，其中是虚数单位，． （1）若为纯虚数，求的值； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）z1为纯虚数，则其实部为0，虚部不为0，解得参数值； （2）由z1＝z2，实部、虚部分别相等，求得关于的函数表达式，根据的范围求得参数取值范围. 【小问1详解】 由z1为纯虚数， 则，解得m＝－2. 【小问2详解】 由，得 ∴ ∵， ∴当时，，当时，， ∴实数的取值范围是. 16. 在中，内角所对的边分别是，且，. （1）求角； （2）若，求边上的角平分线长； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对式子进行整理可求得，即可求出答案； （2）利用余弦定理求出，根据即可求出答案. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 又，所以， 又，所以. 【小问2详解】 由及余弦定理得，即， 又因为，所以， 所以， 所以，即. 17. 已知函数． （1）求函数的解析式及对称中心； （2）若，且，求的值． （3）在锐角中，角、、分别为、、三边所对的角，若，求周长的取值范围． 【答案】（1）,对称中心为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的定义，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质求解即可； （2）由得出，再根据两角差的正弦公式计算即可； （3）由得出，根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式及辅助角公式，将转化为三角函数，根据为锐角三角形得出A的范围，结合三角函数的性质得出范围即可求解． 【小问1详解】 . 令，则，， 函数的对称中心为，. 【小问2详解】 由可知，， 化简得， ，，， . 【小问3详解】 由可得， 即， 又，则，则，所以. 由正弦定理有 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得. 所以，则， 所以，则， 所以的周长的取值范围为. 18. 已知函数在上为奇函数，，. （1）求实数的值； （2）指出函数的单调性（说明理由，不需要证明）； （3）设对任意，都有成立；请问是否存在的值，使最小值为，若存在求出的值. 【答案】（1）； （2）减函数； （3）. 【解析】 【分析】（1）因为为奇函数，所以恒成立，据此可求出的值； （2）由（1）可求出，讨论，根据复合函数的单调性可判断的单调性； （3）根据题意，结合（1）对原不等式变形可得， 又根据的单调性得，整理得， 从而转化为求的最小值，再解关于的不等式， 对函数换元讨论求最小值，得到关于的方程解之即可得到答案. 【小问1详解】 因为函数在上为奇函数，所以恒成立， 即恒成立， 所以，又，所以； 【小问2详解】 由（1）知 因为在是减函数，又， 所以在上为减函数； 【小问3详解】 因为对任意都有, 所以对任意都有， 由在上为减函数； 所以对任意都有， 所以对任意都有， 因为， 所以即，解得 因为， 令，则， 令，它的对称轴为， 当，即时， 在上是增函数， ， 解得舍去， 当即时， 此时， 解得，所以. 【点睛】小问(3)属于单调性和奇偶性综合应用问题，以及函数不等式恒成立问题，解决问题的关键是利用函数性质进行恒等变形，转化为不等式恒成立问题，求最值解不等式得到的范围，再通过换元把转化为二次函数闭区间上最值问题.本小题难度较大，对数学能力要求较高. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角A； （2）若，设点P为的费马点，求； （3）设点P为的费马点，，求实数t的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简可得，即可求得答案； （2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案； （3）由（1）结论可得，设，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再结合基本不等式即可求得答案. 【小问1详解】 由，得， 故. 由正弦定理可得，故直角三角形，即. 【小问2详解】 由（1）可得，所以三角形的三个角都小于， 则由费马点定义可知：， 设， 由，得， 整理得， 则. 【小问3详解】 如图，点为的费马点，则， 设， 则由，得； 由余弦定理得， ， ， 故由，得， 即，而，，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立. 又，即有，解得或（舍去）， 故实数的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用面积法得到，最后根据向量数量积的定义即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $