第一章 集合、常用逻辑用语、不等式（单元测试）-2027届高三数学一轮总复习（新高考专用）

**基本信息** 聚焦集合、常用逻辑用语、不等式三大模块，通过基础与综合题结合，构建“概念-推理-应用”逻辑链条，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合|第2、7、9、12题|集合运算、关系判断及子集计数|以集合概念为基础，通过交并补运算与元素关系深化对集合本质的理解| |常用逻辑用语|第1、3、10题|命题否定、充要条件判断|连接概念与推理，通过条件关系分析提升逻辑思维能力| |不等式|第4、5、11、13、14、16、18题|性质应用、解法、恒成立及实际建模|以不等式性质为核心，结合基本不等式解决最值与实际问题，体现工具性价值|

第一章 集合、常用逻辑用语、不等式（单元测试） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题“，”的否定是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】因带量词的命题的否定为：改变量词，否定结论， 故命题“，”的否定是“”. 2．已知集合，或，则（     ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【解析】或或 3．若：直线与平面有公共点，：直线与平面相交，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】根据可知直线在平面内或直线与平面相交， 故是的必要不充分条件． 4．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】因关于的不等式的解集为， 则，即， 则，即， 所以，解得或． 5．设，下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，，即； ，得，即，故A正确； 对于B，，由均值不等式得，即，，故B正确； 对于C、D ，，由均值不等式得，； ，即，故C错误，D正确. 6．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵， ， 当且仅当，即，时等号成立. 的取值范围是. 7．设集合若集合且，则满足条件的集合的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由集合得， 由集合且，得集合中必有元素3，4中的一个或两个，共有3种选择方法， 集合中可以有5，6，7中的元素，共有8种选择方法， 所以共有个满足条件的集合. 8．设是均含有2个元素的集合，且，记，则B中元素个数的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】，， 与的元素不同，则元素个数为4， 若中元素个数的最小值是4，则只能是，，与矛盾， 若从中选择1个元素，再加入一个新元素，这样元素个数为5个， 这5个元素适当排列，得到，，，， 例如，，， 取，，，，符合题意， 则中元素个数的最小值是， 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设集合，，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】因为，， 所以，，，． 10．下列各结论中正确的是（ ） A．“”是“”的充要条件 B．函数的最小值为2 C．“”是“”的必要不充分条件 D．是假命题，则实数a的取值范围是或 【答案】AD 【解析】对于A,,故“”是“”的充要条件，A正确， 对于B, ,当且仅当取等号，但无实数根，故等号取不到，因此2不是的最小值，B错误， 对于C，是的真子集,故“”是“”的充分不必要条件，C错误， 对于D, 由于是假命题，故，则或，故D正确. 11．已知正实数满足：，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】对于A选项， 因为，是正实数，所以，则， 又因为，所以， 故A选项正确. 对于B选项，根据基本不等式，， 已知，代入得， 两边平方得，即。 等号成立当且仅当，结合，解得，， 故B选项正确. 对于C选项，， 则因为均为正实数，所以由基本不等式得， 所以， 故C选项错误. 对于选项D， 由选项B知，所以， 因此， 即， 故D选项错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设集合，，若，则的值为________． 【答案】 【解析】由集合，，得， 又因为，则或， 当时，，，， 于是，得，因此； 当时，集合，，有，则，解得与矛盾，舍去. 因此． 13．已知均为正数，且，则的最小值为___________ 【答案】2 【解析】因为，所以. ，当且仅当时等号成立. 14．若实数使得命题：“，使得，均有”是假命题，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】由题意可知，原命题的否命题：“，使得”是真命题． 所以对任意实数，方程都有实数解． 故而对任意固定的实数都有解． 即关于的不等式对任意固定的实数都有解． 对不等式分情况讨论： ①.若,即.当时,不等式为,对任意显然有解. 当时,关于的二次函数开口向上, 其值域包含正数,故对任意,总存在使得.所以符合题意. ②.若,即.关于的二次函数开口向下, 其最大值为. 要使不等式对任意都有解,则需要其最大值对任意都非负, 即对任意恒成立,这显然是不可能的.故不符合题意. 因此，的取值范围是． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 【解析】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为， 则， ， ， 所以该校共有340人. （2）只修一门课的学生有 , 所以只修一门课的学生有251人. （3）正好修两门课的学生有 ， 所以正好修两门课的学生有84人. 16．（15分） 某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计9600元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为（）米，原有墙体足够长. (1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围. 【解析】（1）设甲工程队的总报价为元， 依题意，左、右两面墙的长度均为（）米， 则长方体前面新建墙体的长度为米， 所以， 即， 当且仅当，即时，等号成立. 故当左面墙的长度为10米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为19200元. （2）由题意可知，， 即对任意的恒成立， 所以，可得，即. ， 当且仅当，即时，取最小值36. 所以，即的取值范围是. 17．（15分） 已知集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围； (3)设命题p：，使得．若命题p为真命题，求实数m的取值范围． 【解析】（1）解不等式，得． 当时，，故． 因此． （2）“”是“”的必要不充分条件． 由题意得：，列不等式组：，解得， 所以实数m的取值范围为． （3）由，解得或， 命题p为真或， 即或得：或． 18．（17分） 19世纪，柯西在其著作《分析教程》中提出了著名的柯西不等式的雏形，在这个不等式的证明中带有“配凑”的色彩.配凑好比一个工匠加工一块原材料，原材料（原表达式）形状不规则，而工匠的目标是把它放进一个标准的模具（均值不等式的形式）里.为此，他需要“削”（拆项）､“补”（添项）､“打磨”（调整系数），直到原材料严丝合缝地嵌入模具，从而得到一个完美的产品（最值）. 例如：1.求函数的最小值.可作如下处理： ，当且仅当时，等号成立. 2.已知为正实数，且，求的最大值.可作如下处理： ， 当且仅当且，即时，等号成立. 根据以上信息解决以下问题： 已知. (1)若，证明：. (2)若恒成立，求参数的取值范围. (3)若，求的最小值. 【解析】（1）由题意可得,所以, 当且仅当即时等号成立； （2）因为，根据基本不等式,当且仅当时等号成立， 若恒成立，则恒成立，因为, 得到,解得或, 故参数的取值范围为; （3）题干条件可变形为,而, 注意到, 当且仅当时等号成立，故,所以, 即的最小值为. 19．（17分） 设是正整数，是的非空子集(至少有两个元素)，如果对于中的任意两个元素，，都有，则称集合具有性质. (1)试判断集合和是否具有性质，并说明理由. (2)若，证明：A不可能具有性质. (3)若，且具有性质和，求中元素个数的最大值. 【解析】（1）当时，因为存在，满足，与对于A中的任意两个元素x，y，都有，相矛盾，所以集合B不具有性质； 当时，对于集合中任意两元素之差的绝对值共有以下种情形： 因为这种情形都满足，所以集合C具有性质； （2）将集合中的元素分为如下11个集合: ， 要从集合中选取12个元素，由于前9个集合中，每个集合中的2个元素之差的绝对值等于3，不满足题意，所以前9个集合中，每个集合最多选1个元素，而最后2个集合中各只有1个元素，就算必选，也才只有11个元素，而题意中要选12个元素，所以必有2个元素取自前9个集合中的同一集合，这样就存在两个元素之差的绝对值等于3，不满足题意，所以A不可能具有性质； （3）先说明连续11项中集合A中最多选取5项，以为例. 按相差7来构造抽屉，按相差来分类研究： ①5，6，7同时选，因为具有性质和，所以选5则不选1，9，选6则不选2，10，选7则不选3，11，则只剩4，8可选，由于，所以只能选其中1个数，此时只能选5，6，7，4或5，6，7，8共4个元素，故中属于集合A的元素不超过5个. ②5，6，7中选2个，若只选5，6，则1，2，9，10，7不可选，又中只能选1个元素，3，8可以选(4与8不能同时选)，若选，最多全选，也才是5个元素，故中属于集合A的元素不超过5个. 若选5，7，则只能从2，4，8，10中选，但4，8不能同时选，故中属于集合A的元素不超过5个. 若选6，7，则2，3，10，11，5不可选，又中只能选1个元素，4，9可以选，故中属于集合A的元素不超过5个. ③5，6，7中选0个或只选1个，又四个集合每个集合至多选1个元素，故中属于集合A的元素不超过5个. 由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合A的元素至多只有5个，如取， 因为，则把每11个连续自然数分组，前21组每组至多选取5项. 从232开始，最后10个数至多选取5项，故集合A的元素最多有个. 给出如下选取方法:从中选取，然后在这5个数的基础上每次累加11，构造21次.此时集合A中的元素为，共有110个元素，经检验可得该集合符合要求.故集合A中的元素最多有110个. 1 / 4网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式（单元测试） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题“，”的否定是（     ） A．， B．， C．， D．， 2．已知集合，或，则（     ） A．或 B． C． D．或 3．若：直线与平面有公共点，：直线与平面相交，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 5．设，下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．设集合若集合且，则满足条件的集合的个数是（     ） A． B． C． D． 8．设是均含有2个元素的集合，且，记，则B中元素个数的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设集合，，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 10．下列各结论中正确的是（ ） A．“”是“”的充要条件 B．函数的最小值为2 C．“”是“”的必要不充分条件 D．是假命题，则实数a的取值范围是或 11．已知正实数满足：，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设集合，，若，则的值为________． 13．已知均为正数，且，则的最小值为___________ 14．若实数使得命题：“，使得，均有”是假命题，则的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 16．（15分） 某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计9600元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为（）米，原有墙体足够长. (1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围. 17．（15分） 已知集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围； (3)设命题p：，使得．若命题p为真命题，求实数m的取值范围． 18．（17分） 19世纪，柯西在其著作《分析教程》中提出了著名的柯西不等式的雏形，在这个不等式的证明中带有“配凑”的色彩.配凑好比一个工匠加工一块原材料，原材料（原表达式）形状不规则，而工匠的目标是把它放进一个标准的模具（均值不等式的形式）里.为此，他需要“削”（拆项）､“补”（添项）､“打磨”（调整系数），直到原材料严丝合缝地嵌入模具，从而得到一个完美的产品（最值）. 例如：1.求函数的最小值.可作如下处理： ，当且仅当时，等号成立. 2.已知为正实数，且，求的最大值.可作如下处理： ， 当且仅当且，即时，等号成立. 根据以上信息解决以下问题： 已知. (1)若，证明：. (2)若恒成立，求参数的取值范围. (3)若，求的最小值. 19．（17分） 设是正整数，是的非空子集(至少有两个元素)，如果对于中的任意两个元素，，都有，则称集合具有性质. (1)试判断集合和是否具有性质，并说明理由. (2)若，证明：A不可能具有性质. (3)若，且具有性质和，求中元素个数的最大值. 1 / 4网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $