精品解析：山西省实验中学2025-2026高一下学期5月科目诊断数学试卷

2025—2026山西省实验中学高一下（5月）月考数学试卷 一．选择题（共8小题，40分） 1. 已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的高为（ ） A. 1 B. C. D. 2 2. 如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形中的长度为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ） A. B. C. D. 5. 在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，为的中点，在上，且，平面，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 7. 如图，在棱长为的正方体中， 为的中点，为上任意一点， ，为上两动点，且的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（ ） A. 点到平面的距离 B. 直线与平面所成的角 C. 三棱锥的体积 D. 二面角的大小 8. 已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，三棱锥的体积为，为的中点，则过点的平面截球所得截面面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．多选题（共3小题，18分） 9. 有下列命题，其中错误的命题为（ ） A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C. 有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 D. 直四棱柱是直平行六面体 10. 如图，直线垂直于以为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系中正确的是（ ） A. B. 平面 C. D. 11. 如图，菱形的边长为2，．将沿折到的位置，连接得三棱锥，则（ ） A. 若三棱锥的体积为，则或3； B. 若平面，则； C. 若M，N分别为，的中点，则平面； D. 当时，三棱锥的外接球的体积为． 三、填空题（共3小题，15分） 12. 设正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为___． 13. 在三棱锥中，，，，，，则三棱锥外接球的体积为________ 14. 已知侧棱长为2的正三棱锥如图所示，其侧面是顶角为的等腰三角形，一只蚂蚁从点出发，围绕棱锥侧面爬行两周后又回到点，则蚂蚁爬行的最短路程为_______． 四、解答题（共5小题，77分） 15. 如图，有一块正四棱柱形状的木料，分别为底面棱，的中点，，． （1）求点 到平面的距离； （2）现要沿着和B将木料锯开，在木块表面应该如何画线？请在图中画出，并求出截面多边形的周长． 16. 在正方体中，为的中点，与平面交于点． （1）求三棱锥的体积； （2）求三棱锥外接球的表面积； （3）证明：，，三点共线． 17. 如图，为圆的直径，点在圆上，且，矩形所在的平面和圆所在的平面垂直，且. （1）求证：平面平面； （2）在线段上是否存在了点，使得平面？并说明理由. 18. 如图，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距离为1． （1）证明：； （2）已知与的距离为2，求与平面所成角的正弦值． 19. 如图1，在矩形中，为的中点．将沿向上翻折，进而得到多面体（如图2）． （1）当平面平面时，求直线与平面所成角的正切值； （2）在翻折过程中，求直线与平面所成角的最大值； （3）在翻折过程中，求二面角的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026山西省实验中学高一下（5月）月考数学试卷 一．选择题（共8小题，40分） 1. 已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的高为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由侧面积求出圆锥的底面圆半径，再根据勾股定理可求得其高. 【详解】设圆锥的底面圆的半径为 ，母线为，则， 所以其侧面积为，解得， 所以圆锥的高为. 故选：C. 2. 如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形中的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由斜二测画法作出原图，根据图形中线段的长度计算即可. 【详解】在已知直观图中，，如图， 在原图形中，，，， ， 故选：D. 3. 如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设半球的半径为，连接交于点，连接，利用四棱锥的体积公式求出半径，再代入球的体积公式即可求解. 【详解】依题意，设半球的半径为， 连接交于点，连接，如图所示： 则有，易得， 所以正四棱锥的体积为： ， 解得：， 所以半球的体积为：. 故选：C. 4. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用得到关于的方程，解方程即可得到答案. 【详解】如图，设，则， 由题意，即，化简得， 解得（负值舍去）. 故选：C. 【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题. 5. 在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，得到，把异面直线与所成角转化为直线与所成角，取的中点，在直角中，即可求解. 【详解】在正方体中，连接，，可得， 所以异面直线与所成角即为直线与所成角， 即为异面直线与所成角， 不妨设，则，， 取的中点，因为，所以， 在直角中，可得. 故选：B. 6. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，为的中点，在上，且，平面，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】连接，与交于点，连接，易证，得，由平面利用线面平行的性质定理可得，即可求得. 【详解】如图，连接，与交于点，连接. 因为为的中点，所以，由四边形是平行四边形，可得， 则，所以，所以． 又平面平面，平面平面，所以，所以． 故选：D． 7. 如图，在棱长为的正方体中， 为的中点，为上任意一点， ，为上两动点，且的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（ ） A. 点到平面的距离 B. 直线与平面所成的角 C. 三棱锥的体积 D. 二面角的大小 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平面，可判断A；直线与平面所成的角的正弦值为点到平面的距离除以线段的长度，结合A选项可判断正弦值不是定值；根据面积为定值，结合A选项可判断该选项不正确；二面角的两个半平面为，棱为，是一个确定的图形，所以二面角的大小为定值. 【详解】根据正方体的性质，，平面，平面，平面，为上任意一点，点到平面的距离为定值，记作，可判断A不正确； 记直线与平面所成的角，不是定值，所以正弦值不是定值，所以B正确； 根据正方体的性质，平面，平面，， 所以三棱锥的体积，是定值，所以C不正确； 二面角的两个半平面为，棱为，是一个确定的图形，所以二面角的大小为定值，所以D不正确. 故选：B 【点睛】此题考查正方体中空间角和空间距离的求法，关键在于准确找出其中的平行与垂直关系，进行准确辨析. 8. 已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，三棱锥的体积为，为的中点，则过点的平面截球所得截面面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意先求出，再由三棱锥的体积为，得到高，再利用正三棱锥可看作正方体的一角，正方体的外接球与三棱锥的外接球相同， 求出外接球的半径，球的最大截面圆为过球心的圆.当垂直于过的截面时，截面圆半径最小，求出此时半径即可求出相应的面积. 即可求出过点的平面截球所得截面面积的取值范围. 【详解】 设在底面上的射影为，因为，所以为的中心，由题可知，，由，解得 在正中，可得.从而直角在中解得. 进而可得，，，因此正三棱锥可看作正方体的一角， 正方体的外接球与三棱锥的外接球相同，正方体对角线的中点为球心. 记外接球半径为，则，因为球的最大截面圆为过球心的圆， 所以过的平面截球所得截面的面积最大为； 又为中点，由正方体结构特征可得 由球的结构特征可知，当垂直于过的截面时， 截面圆半径最小为所以. 因此，过的平面截球所得截面的面积范围为. 故选：A. 二．多选题（共3小题，18分） 9. 有下列命题，其中错误的命题为（ ） A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C. 有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 D. 直四棱柱是直平行六面体 【答案】ABD 【解析】 【分析】按照棱柱和直四棱柱、直平行六面体的定义判断即可. 【详解】A选项，它的每相邻两个四边形的公共边不一定互相平行，错， B选项，也是它的每相邻两个四边形的公共边不一定平行，错， C选项，它符合棱柱的定义，对， D选项，直四棱柱的底面不一定是平行四边形，错， 故选：ABD. 10. 如图，直线垂直于以为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系中正确的是（ ） A. B. 平面 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意，平面，则由线面垂直的性质可得A对，而，则由线面垂直的判定定理可得平面，即B对， 采用反证法排除C，由平面可得，判断D对 ． 【详解】由题意有，平面， ∵平面，∴，故A正确； 而，且，平面， ∴平面，故B正确； 若，因为，平面， 所以平面，又平面，所以， 又平面，平面，所以， 则中有2个直角，矛盾，故C错误； 由平面，平面，可得，故D正确； 故选：ABD 11. 如图，菱形的边长为2，．将沿折到的位置，连接得三棱锥，则（ ） A. 若三棱锥的体积为，则或3； B. 若平面，则； C. 若M，N分别为，的中点，则平面； D. 当时，三棱锥的外接球的体积为． 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项，根据二面角可能是锐角或钝角两种情况，结合体积的已知条件建立等量关系求解即可；选项，由线面垂直可得线线垂直，根据勾股定理求解即可；选项，利用线面平行的判定定理即可做出判断；选项，结合选项，求出外接球的半径，即可求出体积. 【详解】选项，设，若平面，平面，所以， 因为菱形的边长为2，，所以为等边三角形，所以，即， 因为，平面，所以平面， 又平面，则， 又因为，所以，选项错误； 选项，由选项可知，当时，平面， 设为三棱锥的外接球的球心，为等边的重心，过作，垂足为， 因为，所以， 所以三棱锥的外接球半径， 所以三棱锥的外接球的体积，选项正确； 选项，设在的投影为，因为，所以在所在的直线上， 又，所以，解得， 因为二面角可能为钝角或锐角， 当二面角为钝角时， ， 所以； 当二面角为锐角时， 因为，所以，在中，由余弦定理得， ，即， 解得，所以是的中点，所以， 所以， 综上，或3，选项正确； 选项，若M，N分别为，的中点，由中位线定理可得， 因为平面，平面，所以平面，选项正确. 三、填空题（共3小题，15分） 12. 设正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为___． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用台体的体积公式即可得到结果. 【详解】上底面积=6， 下底面积S2=6×=24， ∴体积V= ==28． 故答案为． 【点睛】本题考查棱台体积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意体积公式的合理运用． 13. 在三棱锥中，，，，，，则三棱锥外接球的体积为________ 【答案】## 【解析】 【分析】由勾股定理先算出，再根据正弦定理判断出是以为斜边的等腰直角三角形，结合，可知中点即为球心位置，求出半径即可求出体积. 【详解】解：如图，因为，，，所以， 在中，由正弦定理得，即， 所以，则， 取中点，连接，则， 即为三棱锥外接球得球心，外接球的半径， 所以三棱锥外接球的体积. 14. 已知侧棱长为2的正三棱锥如图所示，其侧面是顶角为的等腰三角形，一只蚂蚁从点出发，围绕棱锥侧面爬行两周后又回到点，则蚂蚁爬行的最短路程为_______． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由题意，利用侧面展开图两次，则顶角为，利用余弦定理可得蚂蚁爬行的最短路程为． 考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题 四、解答题（共5小题，77分） 15. 如图，有一块正四棱柱形状的木料，分别为底面棱，的中点，，． （1）求点 到平面的距离； （2）现要沿着和B将木料锯开，在木块表面应该如何画线？请在图中画出，并求出截面多边形的周长． 【答案】（1） （2）作图见解析；周长为 【解析】 【分析】（1）通过作辅助线求得等腰的面积以及的面积，利用等体积法即可求得点到平面的距离； （2）根据平面的基本性质可找到截面与正四棱柱的交线，进而计算各交线的长，即可求得截面的周长. 【小问1详解】 分别取AD，DC的中点R，T，连接ER，FT， 在中，, 在，，同理- 故等腰的面积为， 又的面积为 设到平面BEF的距离为h，由，得， 故，故到平面BEF的距离为． 【小问2详解】 连接AC，过点B作直线MN，分别交直线DC，DA的延长线于N，M两点， 连接EM，FN分别交，于P，Q两点，连接PB，BQ，则五边形EPBQF为所求截面． - 在正方形中，， 在中，，， 故，由，故， 故，，故，， 同理，可求得，， 故五边形EPBQF周长为：， 则截面周长为． - 16. 在正方体中，为的中点，与平面交于点． （1）求三棱锥的体积； （2）求三棱锥外接球的表面积； （3）证明：，，三点共线． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据计算可得； （2）棱锥的外接球即为正方体的外接球，求出正方体的体对角线即为外接球的直径，从而求出外接球的表面积； （3）连接，根据点、面的位置关系证明即可. 【小问1详解】 三棱锥的体积为． 【小问2详解】 三棱锥的外接球即为正方体的外接球， 又正方体外接球的直径， 所以三棱锥外接球的半径为， 所以三棱锥外接球的表面积为． 【小问3详解】 连接，，易得，所以四点共面． 由为的中点，得为的中点，则． 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． 因为与平面交于点，所以平面，． 因为平面，所以平面，则为平面与平面的公共点， 所以，所以三点共线． 17. 如图，为圆的直径，点在圆上，且，矩形所在的平面和圆所在的平面垂直，且. （1）求证：平面平面； （2）在线段上是否存在了点，使得平面？并说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）存在，点为线段的中点，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直、线面垂直的性质证得，再利用线面垂直、面面垂直的判断推理作答. （2）取 的中点的中点，利用中位线性质及平行公理证得，再利用线面平行的判断推理作答. 【小问1详解】 因平面平面，平面平面，平面，则平面， 而平面，有，又为圆的直径，有， 因，平面，因此平面，又平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 取的中点的中点，连接，如图， 则，在矩形中，，则有， 因此四边形为平行四边形，则，又平面平面， 所以平面，即存在一点为的中点，使得平面. 18. 如图，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距离为1． （1）证明：； （2）已知与的距离为2，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得平面，再由勾股定理求出为中点，即可得证； （2）利用直角三角形求出的长及点到面的距离，根据线面角定义直接可得正弦值. 【小问1详解】 如图， 底面，面， ，又，平面，, 平面ACC1A1，又平面， 平面平面， 过作交于，又平面平面，平面， 平面 到平面的距离为1，， 在中，， 设，则， 为直角三角形，且， ，，， ，解得， ， 【小问2详解】 ， ， 过B作，交于D，则为中点， 由直线与距离为2，所以 ，，， 在，， 延长，使，连接， 由知四边形为平行四边形， ，平面，又平面， 则在中，，， 在中，，， , 又到平面距离也为1， 所以与平面所成角的正弦值为. 19. 如图1，在矩形中，为的中点．将沿向上翻折，进而得到多面体（如图2）． （1）当平面平面时，求直线与平面所成角的正切值； （2）在翻折过程中，求直线与平面所成角的最大值； （3）在翻折过程中，求二面角的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形边长性质以及三角形相似可得，再由面面垂直性质证明可证明平面，结合线面角定义即可求得结果； （2）根据线面垂直判定定理可证明平面，结合性质定理可得平面，作出线面角的平面角并得出正切值的表达式，再结合三角函数值域求得，可得结论. （3）根据二面角定义利用线面垂直性质作出二面角的平面角，结合三角函数最值求出正切值的最大值，即可求得结果. 【小问1详解】 连接交于点，如下图所示： 则， 因为，所以，即， 又，所以，可得， 同理易证，所以， 翻折后当平面平面时，平面平面，且， 又平面，所以平面； 可知即为直线与平面所成的角， 在中，， 即直线与平面所成角的正切值为； 【小问2详解】 过点作，垂足为，如下图所示： 因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 又，平面， 所以平面， 即即为直线与平面所成的角， 在翻折过程中，设，由（1）可知，， 在中，， 所以， 设，则， 所以，其中， 所以，解得， 显然当时，，故， 即，又易知，所以， 即直线与平面所成角的最大值为； 【小问3详解】 过作于点，连接，如下图所示： 由（2）知平面，因为平面，所以， 又，平面， 所以平面， 又平面，所以，又， 所以为二面角的平面角， 因为，，所以，可得， 结合（2）可得， 在中，, 令，则， 即，其中， 所以，解得， 显然当时，，故， 即，结合，可知， 因此二面角的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $