浙江杭州市2025-2026学年七年级数学下学期期末试卷（浙教版七年级下册）

**基本信息** 杭州七年级数学期末卷以原创情境题（如校园文化节场地规划、正方形纸片面积比较）融合几何直观、模型意识等核心素养，覆盖浙教版下册全册知识，梯度设计合理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/36|平移、二元一次方程、因式分解等|第10题结合校园场景考图形关系，体现应用意识| |填空题|6/18|分式意义、频率、幻方、面积比较|第16题原创设计正方形覆盖面积差异，培养空间观念| |解答题|8/72|几何证明、统计、方程组应用、三角板综合|第24题三角板滑动探究平行条件，发展推理能力与创新意识|

杭州市七年级数学下学期期末考试试卷 （答案及解析） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 2．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效。 3．测试范围：新教材浙教版七年级下册全册。 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列图案中可以由图形“”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．下列调查中，适合采用全面调查的是（   ） A．了解漓江的水质情况 B．了解某班同学的跳绳成绩 C．了解某批次新能源汽车的抗撞击能力 D．了解全国中学生的视力状况 4．微电子技术的不断进步，使半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小．某种电子元件面积大约为， 数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 5．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 6．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 7．已知 是方程的一个解，那么的值是（    ） A． B． C． D． 8．如图，，点E是上一点，平分，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 9．甲、乙两人同时从A地出发，到距离A地30千米的B地．甲比乙每小时少行3千米，结果乙比甲早到40分钟．设乙每小时行x千米，则可列方程（　　） A． B． C． D． 10．【原创】如图，为迎接校园文化节，学校要在一块长为，宽为的长方形活动场地中规划出3块大小、形状完全相同的小长方形（图中阴影部分）区域布置文化展示．若小长方形的长为，宽为，则下列关系①2x+y=20②x+2y=16③y-x=4④x+y=18，其中正确的有几个（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．要使分式有意义，则的取值范围是______． 12．分解因式：________． 13．当今社会，正在改变我们的生活，在“”这个单词中，字母“e”出现的频率是________ ． 14．将平面镜，按如图所示的方式放置，从点M处射出一束光线经上的D点反射至上的E点，再经E点反射出的光线恰好与平行，若，则的度数________． 15．幻方是我国古代数学的杰作之一，如图所示的幻方中，每一横行、每一竖行以及每条对角线上的和都相等，则图中m的值是________． 16．【原创】图1是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，图2是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，阴影部分是未被这三张正方形纸片覆盖的部分．设图1阴影部分面积为，图2阴影部分面积为．若，a-b=2，=_____（用含，的代数式表示）． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）计算：． 18．（本题8分）先化简，再求值，其中，选择一个合适的整数a． 19．【原创】（本题8分）如图，点C，D在直线上，，． (1)求证：； (2)的角平分线交于点G，若=102°，求的度数． 20．（本题8分）为了解学生身体健康状况，某校对学生进行立定跳远水平测试．随机抽取名学生进行测试，并把测试成绩（单位：）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图． 学生立定跳远测试成绩的频数分布表 分组 频数 a 12 b 10 请根据图表中所提供的信息，完成下列问题： (1)本次调查的样本容量为 ；样本成绩的中位数落在 范围内； (2)通过计算请把频数分布直方图补充完整； (3)该校共有名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在范围内的有多少人？ 21．（本题10分）对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与_______（填“具有”或“不具有”）“友好关系”； (2)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为，的方程组，其中与，都是正整数，是否存在满足条件的正整数，使该方程组的解与具有“友好关系”？如果存在，请求出的值及此时方程组的解；如果不存在，请说明理由． 22．（本题10分）如图①是一张边长为的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为的小正方形，然后将图①剩余部分（阴影部分）剪拼成如图②的一个大长方形（阴影部分）． (1)请分别用含的代数式表示图①和图②中阴影部分的面积： 图①阴影部分面积为：___________；图②阴影部分面积为：___________； (2)根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于的恒等式为___________； (3)利用（2）中的结论，求的值． 23．（本题10分）2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙、丙三种型号以马为主题的生肖玩偶，已知购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元，购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元． (1)若丙型玩偶的单价为元，求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)在（1）的条件下，某班级计划用元全部购买甲、乙两种型号玩偶（两种玩偶都要有）作为班级活动的奖品，请问该班级有几种购买方案？ (3)某班级计划购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶给班级的位学生每人一只玩偶，请问该班级共需花费多少元？ 24．（本题12分）一副三角板按如图1初始放置，点在线段上，点与点重合，，，，．三角板保持不动，滑动三角板，当点沿射线方向滑动时，点随之在射线上滑动．        (1)当点滑动到的延长线上，连结，如图2． ①若，时，试说明的理由； ②若时，试说明的理由； (2)如图3，射线平分，在滑动过程中，是否存在与三角形的某一边平行？若存在，请直接写出的度数，若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州市七年级数学下学期期末考试试卷 （答案及解析） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 2．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效。 3．测试范围：新教材浙教版七年级下册全册。 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列图案中可以由图形“”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由平移的特点可知，只有D选项中的图案是经过平移得到． 2．下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、含有两个未知数，且未知数的最高次数是1，故该选项正确； B、含有两个未知数，且未知数的最高次数是2，故该选项错误； C、含有一个未知数，故该选项错误； D、不是整式方程，故该选项错误； 故选：A． 3．下列调查中，适合采用全面调查的是（   ） A．了解漓江的水质情况 B．了解某班同学的跳绳成绩 C．了解某批次新能源汽车的抗撞击能力 D．了解全国中学生的视力状况 【答案】B 【详解】解：A、漓江水域范围大，无法全面检测水质，适合抽样调查，不符合题意； B、一个班级学生数量少，便于全面统计跳绳成绩，适合全面调查，符合题意； C、测试汽车抗撞击能力具有破坏性，不能进行全面调查，适合抽样调查，不符合题意； D、全国中学生人数多，范围广，不适合全面调查，适合抽样调查，不符合题意． 4．微电子技术的不断进步，使半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小．某种电子元件面积大约为， 数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵的第一个非零数字是9，其前面有7个零（包括小数点前的零）， ∴，， ∴． 故选：D． 5．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，但还可分解为，此选项不符合题意； B、，分解正确，此选项符合题意； C、，不是整式，不符合因式分解定义，此选项不符合题意； D、不能用平方差公式分解，此选项不符合题意． 故选：B． 6．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、与不能合并，故A不符合题意； B、，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：B． 7．已知 是方程的一个解，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 是方程的一个解， 将代入原方程， 可得：， 整理得：， 解得：． 8．如图，，点E是上一点，平分，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设， ∵平分， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B 9．甲、乙两人同时从A地出发，到距离A地30千米的B地．甲比乙每小时少行3千米，结果乙比甲早到40分钟．设乙每小时行x千米，则可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意，得， 故选：A． 10．【原创】如图，为迎接校园文化节，学校要在一块长为，宽为的长方形活动场地中规划出3块大小、形状完全相同的小长方形（图中阴影部分）区域布置文化展示．若小长方形的长为，宽为，则下列关系①2x+y=20②x+2y=16③y-x=4④x+y=18，其中正确的有几个（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，根据题意得：. ①-②得：x-y=4,①+②得：3x+3y=36,所以x+y=12; 故选D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．要使分式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 12．分解因式：________． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 13．当今社会，正在改变我们的生活，在“”这个单词中，字母“e”出现的频率是________ ． 【答案】/ 【详解】解：单词“”由字母D，e，e，p，s，e，e，k组成，总字母数为8，其中字母“e”出现4次， 因此频率为． 故答案为：． 14．将平面镜，按如图所示的方式放置，从点M处射出一束光线经上的D点反射至上的E点，再经E点反射出的光线恰好与平行，若，则的度数________． 【答案】 【详解】解；由光的反射定律可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．幻方是我国古代数学的杰作之一，如图所示的幻方中，每一横行、每一竖行以及每条对角线上的和都相等，则图中m的值是________． 【答案】 【详解】解：如图：设第一列、第二行位置的数为x， ∵每一横行、每一竖行以及每条对角线上的和都相等， ∴，即，解得：． 故答案为． 16．【原创】图1是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，图2是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，阴影部分是未被这三张正方形纸片覆盖的部分．设图1阴影部分面积为，图2阴影部分面积为．若，a-b=2，=_____（用含，的代数式表示）． 【答案】2m 【详解】解：设， 则 ， ， ∴ ， ∵ ∴=2m. 三、解答题（本大题共8小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）计算：． 【详解】解：原式． 18．（本题8分）先化简，再求值，其中，选择一个合适的整数a． 【详解】解：原式 要使分式有意义，分母不能为，因此，，即且． ，为整数 可选整数． ∴原式． 19．【原创】（本题8分）如图，点C，D在直线上，，． (1)求证：； (2)的角平分线交于点G，若=102°，求的度数． 【详解】（1），且， ， ； （2），， ， 又为的角平分线， ， ， ． 20．（本题8分）为了解学生身体健康状况，某校对学生进行立定跳远水平测试．随机抽取名学生进行测试，并把测试成绩（单位：）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图． 学生立定跳远测试成绩的频数分布表 分组 频数 a 12 b 10 请根据图表中所提供的信息，完成下列问题： (1)本次调查的样本容量为 ；样本成绩的中位数落在 范围内； (2)通过计算请把频数分布直方图补充完整； (3)该校共有名学生，估计该学校学生立定跳远成绩在范围内的有多少人？ 【详解】（1）解：由统计图得，， ∴， ∵由样本容量为得中位数为第、个，， ∴中位数落在内， 故答案为：，； （2）解：补全频数分布直方图如图所示： （3）解：（人， 答：估计该校名学生中立定跳远成绩在范围内的有人． 21．（本题10分）对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与_______（填“具有”或“不具有”）“友好关系”； (2)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值； (3)未知数为，的方程组，其中与，都是正整数，是否存在满足条件的正整数，使该方程组的解与具有“友好关系”？如果存在，请求出的值及此时方程组的解；如果不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：具有“友好关系”，理由如下： ， ①-②得， 解得， 将代入②得， 解得， ∴方程组的解为， ∴， ∴方程组的解与具有“友好关系”， 故答案为：具有； （2）解：， ②-①得， ∴ ∵方程组的解与具有“友好关系”， ∴， 解得或， ∴的值为或； （3）解： ， 得，， 解得， 与，都是正整数， 当时，， 则， 此时方程组的解具有“友好关系”； 当时，， 则， 此时方程组的解不具有“友好关系”； 当时，（不合，舍去）； 当时，（不合，舍去）； 综上，时，方程组的解为，此时方程组的解具有“友好关系”． 22．（本题10分）如图①是一张边长为的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为的小正方形，然后将图①剩余部分（阴影部分）剪拼成如图②的一个大长方形（阴影部分）． (1)请分别用含的代数式表示图①和图②中阴影部分的面积： 图①阴影部分面积为：___________；图②阴影部分面积为：___________； (2)根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于的恒等式为___________； (3)利用（2）中的结论，求的值． 【详解】（1）解：图①中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图②是长为，宽为的长方形，即面积为， （2）解：由（1）得，； （3）解：原式． 23．（本题10分）2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙、丙三种型号以马为主题的生肖玩偶，已知购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元，购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元． (1)若丙型玩偶的单价为元，求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)在（1）的条件下，某班级计划用元全部购买甲、乙两种型号玩偶（两种玩偶都要有）作为班级活动的奖品，请问该班级有几种购买方案？ (3)某班级计划购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶给班级的位学生每人一只玩偶，请问该班级共需花费多少元？ 【详解】（1）解：设甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元．   由题意得 解得 答：甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元． （2）解：设甲、乙两种型号玩偶的分别购买只，只．   由题得 ， 化简得， ∴ ， 因为，都是正整数， 所以方程有4个正整数解， 分别为，，， 所以一共有四种购买方案． （3）解：设甲、乙、丙三种型号玩偶的单价分别为元，元，元．   由题意得， 解得， 共需花费 （元） ， 答：该班级共需花费元． 24．（本题12分）一副三角板按如图1初始放置，点在线段上，点与点重合，，，，．三角板保持不动，滑动三角板，当点沿射线方向滑动时，点随之在射线上滑动．        (1)当点滑动到的延长线上，连结，如图2． ①若，时，试说明的理由； ②若时，试说明的理由； (2)如图3，射线平分，在滑动过程中，是否存在与三角形的某一边平行？若存在，请直接写出的度数，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：①因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以； ②因为， 所以可设，则， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以； （2）解：因为平分，， 所以， 如图，当时，过点D作，则， ∵， ∴， ∴； 如图，当时，； 如图，当时，过点D作，则， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 杭州市七年级数学下学期期末试卷（新教材浙教版） 双向细目表 考查范围：图形的变化、数与式、方程与不等式、统计与概率、图形的性质 题号 难度 知识点 分值 一、单选题 1 容易 图形的平移 3 2 容易 二元一次方程的定义 3 3 容易 判断全面调查与抽样调查 3 4 容易 用科学记数法表示绝对值小于1的数 3 5 容易 综合提公因式和公式法分解因式,判断是否是因式分解,平方差公式分解因式 3 6 容易 同底数幂相乘,幂的乘方运算,运用完全平方公式进行运算,合并同类项 3 7 适中 二元一次方程的解 3 8 容易 根据平行线的性质求角的度数,角平分线的有关计算 3 9 容易 分式方程的行程问题 3 10 困难 二元一次方程组的应用 3 二、填空题 11 容易 分式有意义的条件 3 12 容易 提公因式法分解因式 3 13 容易 根据数据描述求频率 3 14 容易 根据平行线的性质求角的度数 3 15 适中 数字问题(一元一次方程的应用) 3 16 困难 多项式乘多项式与图形面积,整式加减的应用 3 三、解答题 17 容易 实数的混合运算,零指数幂,负整数指数幂,有理数的乘方运算 6 18 适中 分式化简求值,分式有意义的条件 8 19 适中 两直线平行内错角相等,两直线平行同旁内角互补,根据平行线的性质求角的度数,根据平行线判定与性质证明,角平分线的有关计算,同旁内角互补两直线平行 8 20 适中 由样本所占百分比估计总体的数量,求中位数,画条形统计图 8 21 困难 已知二元一次方程组的解求参数,加减消元法 10 22 适中 平方差公式与几何图形,平方差公式分解因式 10 23 适中 二元一次方程的解,销售、利润问题(二元一次方程组的应用),三元一次方程组的应用 10 24 困难 根据平行线判定与性质求角度,三角板中角度计算问题 12 $